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2021年1月30日发(作者：花子)

三角形问题中的数学思想方法


数学思想和方法是数学基础知识 、
基本技能的本质体现，
是形成数学能力、
数学意识的
桥梁，是灵活应用数学 知识、技能的灵魂
.
因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正
确运用数学思想方 法
.
这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转
化思想、数形 结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用
.

一、
分类讨论思想

由于题目的约束较弱
(
条件趋一般)
或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因
而有必要考查全面
(
所有不同情况
)
才能把握问题的实质
.
此种情况下应当进行适当分类，就每
种情形研究讨论结论的正确性
.

例
1

在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为
15cm
和
6cm
两部分，求 三角形
各边的长
.

分析
:
要注意等腰三角形有两边相等，

一腰上的中线把它的腰分成 的两段相等
.
由于问题
中未指明哪一段为
15cm
，哪一段为
6cm
，故需分类讨论
.

1
解
:
设腰长为xcm
，底边为
ycm
，即
AB=x
，则
AD=CD=
x
，
BC=y

2
1
1
⑴

若
x+
x=6
时，则
y+
x=15.

2
2
由
x+
A

D

1
1
x=6
得
x=4.
把
x=4
代入
y+
x =15
得
y=13.

2
2
C

B

图
1

因为
4+4<13
，所以不能构成三角形
.

⑵

若
x+
1
1
x=15
时，则
y+
x=6.

2
2
1
1
由
x+
x=15
得< br>x=10.
把
x=10
代入
y+
x=15
得
y=1.

2
2
10+1>10
符合题意，

所以 三角形三边分别为
10cm
、
10cm
、
1cm.

例
2

已知非直角三角形
ABC
中，∠
A=45°
，高
BD
和
CE
所在直线交于
H
，求∠
B HC
的度数
.

分析
:
三角形的形状不同，高的交点的位置 也就不同
.
高的交点可能在三角形内部，也可
A

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页



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6
页

E

B

H

D

C


能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论
.

解
:⑴当△
ABC
为锐角三角形时
(
图
2)

∵
BD
、
CE
是△
ABC
的高，

∠
A=45°
，

∴∠
ADB=
∠
BEH=90°.

在△
ABD
中，

∠
ABD=180°
－
90°
－
45°=45°.

∵∠
BHC
是△
BHE
的外角，

∴∠
BHC=90°+45°=135°.

⑵当△
ABC
为钝角三角形时
(
图
3)

∵
H
是△
ABC
两条高所在直线的交点

∠
A=45°
，

∴∠
ABD=180°
－
90°
－
45°=45°.

在
Rt
△
BEH
中，

∠
BHC=180°
－
90°
－
45°=45°.

∴∠
BHC
的度数是
135°
或
45°.

注意
：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解
.

二、
整体思想

研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼 点，而是将待解决的问题
看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问 题的目的
.

例
3
如图
4
，求∠
A+< br>∠
B+
∠
C+
∠
D+
∠
E+
∠F+
∠
G
的度数
.

分析
:
观察图形 可得，
图由一个四边形和一个三角形构成，
可根据四边形和三角形的内角
C

和定理求度数之和
.

B

D

解
:
因为∠
A +
∠
C+
∠
E=180°
，

又因为∠
B +
∠
D+
∠
F+
∠
G=360°
，
所以∠
A+
∠
B+
∠
C+
∠
D+
∠< br>E+
∠
F+
∠
G=540°.

A

E

G

图
4

F

B

D

图
3

H

A

E

C

剖析
:
例题中若直 接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的
.
因此，设法整体求值是
解题的关键.
事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰
.
如果从
全局着手，突破常规，则会柳暗花明
.

三、
方程思想
< br>求值时，
当问题不能直接求出时，
一般需要设未知数继之建立方程
.
用 解方程的方法求出
结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想
.

例
4
如图
5
，在△
ABC
中，∠
B =
∠
C
，∠
1=
∠
2
，∠
BAD=40° .
求∠
EDC.

分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠
EDC
的方程
.

解
:
设∠
EDC=x.

因为∠
1
是△< br>DEC
的外角，所以∠
1=x+
∠
C.

B

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页



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页

A

1

x

图
5

E

C

2

D


又 因为∠
1=
∠
2
，所以∠
2=x+
∠
C.

又因为∠
2
是△
ABD
的外角，所以∠
ADC=
∠
B+
∠
BAD.

所以∠
B+
∠
BAD =
∠
2+x
，即∠
B+40°=
∠
C+2x.

因为∠
B =
∠
C
，所以
2x=40°
，解得
x=20°.

剖析
:
方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解< br>.
事
实上，
用设未知数的方法表示所求，
可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系
.

四、
转化思想

用简 单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌
生的问题转化为熟悉的 问题来解
.
这种解题思想叫转化思想
.

例
5

如图
6
，求五角星各顶角之和
.

分析
:
因为∠
A
、∠
B
、∠
C
、∠
D
、∠
E
较分散，本例中又不

知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形

来处理
.
根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．

解
:
因为∠
1=
∠
C+
∠
E
，∠
2=
∠
B+
∠
D
，

又因为∠
1+
∠
2+
∠
A=180°
，所以∠
A+
∠
B+
∠C+
∠
D+
∠
E=180°.


点拨
:
此题还可以连接
CD
求解
.
当我们求多个角之和不能直接计算时 ，应考虑转化为三
角形求解
.

五、
数形结合思想

例
6
如图
7
，在△
ABC
中，已知
AD
是角平分线，

∠
B=60°
，∠
C=45°
，求 ∠
ADB
和
∠
ADC
的度数
.

分析:
在△
ABD
中，∠
ADB
是一个内角，它等于
180 °
－∠
B
－∠
BAD
，故求出∠
BAD
即可求出∠
ADB
的度数，这由已知条件不难求得
;
同理可求出∠
ADC
的度数
.

解
:
在△
ABC
中，

∵∠
B=60°
，

∠
C=45°
，

∠
B+
∠
C+
∠
BAC=180°
，
< br>∴∠
BAC=180°
－∠
B
－∠
C=180°
－< br>60°
－
45°=75°.

B

1
又∵
AD
是角平分线，

∴∠
BAD=
∠
DAC=
∠
BAC=37.5°.

2
在△
ABD
中，

∠
ADB=180°
－∠
B
－∠
BAD=180°
－
60°
－
37.5 °=82.5°.

同理∠
ADC=180°
－∠
C
－∠< br>DAC=180°
－
45°
－
37.5°=97.5°.

D

图
7

C

A

C

图
6

D

B

A

1

2

E

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页



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