-

2021年1月30日发(作者：赠与房产过户)
实用

三角函数与三角形

(
一
)

知识点与重难点

知识点

三角函数的有关概念

同角三角函数的基本关系式

正弦、余弦的诱导公式

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质



函数
y =Asin(
ω
x+
φ
)
的图象与性质

两角和
(
差
)
的正弦、余弦及正切

二倍角的正弦、余弦及正切

积化和差、


和差化积、半角公式

正弦定理、余弦定理及其应用

(
二
)

基本公式与性质

了解

理解

B
B
B
B
掌握

A

C
B
A
B
1
.
2
k





：
sin(
2k



)

sin

,
c os(
2
k



)

cos

,
tan(
2
k



)
tan








2




：
sin(


)

cos



,
cos(


)

sin


,

tan(


)

cot


2
2
2


2
.





：
sin(



)
< br>sin



,
cos(


< br>)


cos

,

tan(



)


tan





2




：

sin(



)

cos



,
cos(


)


sin


,
tan(


)


cot


2
2
2


3
.





：
sin(



)
< br>
sin


,
cos(


< br>)


cos

,

tan(



)

tan



：
sin(
3

3

3


)


cos


,
cos(


)


sin

,
tan(


)

cot


2
2
2
4
.
2





：
sin(
2



)
< br>
sin


,
cos(
2



)

cos

tan(
2



)


tan


3

3

3

3





：
sin(


)


cos



,
cos(


)

sin

tan(


)


cot


2
2
2
2
文档

实用

< br>


：
sin(


)


sin


,



cos(


)

cos

,





tan(


)


tan


5
.
sin(



)

si n

cos


cos

sin

,
cos(



)

cos
cos

m
sin

sin


6
.
tan(



)

ta n


tan

,


1
m
tan

tan

7
.
s in
2


2
sin

cos

=
2
tan

，


tan
2


2
1

tan


1

tan
2


cos
2
< br>
cos


sin


2cos


1

1

2sin


=< br>1

tan
2

2
2
2
2
8
.
sin


2
1

cos
2

1

cos
2



2,
cos


，
1

cos


2
sin
2
，
1

cos


2
cos
2

2
2
2
2
a2

b
2
(
a
a
2

b2
cos


b
a
2

b
2
sin

)

a
2

b
2
sin(



)

9
．
a
c os


b
sin


10.
三角函数的 奇偶性和单调性具体如下表：

函数


奇偶性

单调区间

[2
k


y

sin
x

奇


在
在

,
2
k


]
2
2
上增

2
,2
k


3

]
2
减
(
k

Z
)



[2
k


y

cos
x

在
[2
k



,2
k

]
上增

偶
在
[2
k

,2
k



]
减
(
k

Z
)

y

tan
x


奇

(
k


在

,
k


)
2
2
上增
(
k

Z
)

11
．
三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：
首先判定函数的定义域是否关于原 点对称，
当
函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；

12< br>．函数
y

A
sin(

x

< br>)
(
A

0,


0)
的单调区间 的确定，基本思路是把

x


看作
一个整体，运用复合函 数的单调规律得解；

文档

实用

13
．
比较三角函数值的大小，
利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，
再利 用单调性比较大小．

a
b
c



2< br>R
sin
A
sin
B
sin
C
14.
正弦定理

：
（
R
为

ABC
外接圆的半径）
. < br>
a

2
R
sin
A
,
b

2
R
sin
B
,
c

2
Rsin
C

a
:
b
:
c

s in
A
:sin
B
:sin
C

15.
余弦定理：

a
2

b
2

c
2

2
bc
cos
A
;
b< br>2

c
2

a
2

2
ca
cos
B
;
c
2

a
2

b
2

2
ab
cos
C
.
16.
面积定理：

S

（
1
）
1
1
1
ah
a

bh
b

ch< br>c
h
、
h
、
h
2
2
2
（< br>a
b
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
1
1
1
ab
sin
C

bc
sin
A

ca
sin
B
2
2
2
.

S

（
2
）

(
三
)

解题方法

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字
1
，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

1
加余弦想余弦，
1
减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为；

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值围；

文档

实用

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集








(
四
)

典型例题与巩固练习

2
f(
x
)


2sin
x

2
3
sin
x
cos
x

1

例
（
1
市
2011
届高三数学第二轮调研试卷
★
）
已知 函数
⑴求
f
(
x
)
的最小正周期及对称中心；
< br>x

[

⑵若


,
]
6
3
，求
f
(
x
)
的最大值和最小值
.
注解：本题考查了半角公式、二倍角公式、和差角公式的应用以及三角函数图象与性质

f
(
x
)

3
sin
2
x
< br>cos
2
x

2sin(2
x

)
6






















解：⑴
∴
f
(
x
)
的最小正 周期为

T

2



2
，



























--------------6
分


k

< br>sin(2
x

)

0
x

(
k

Z
)
6
2
12
令
，则
，

k



,0),(
k
< br>Z
)
f
(
x
)
2
12
∴
的 对称中心为
；






















------------8
分

(
x

[

⑵∵



5

1

,
]


2
x



sin(2
x

)

1
6
3

∴
6
6
6
6

∴
2

∴

1

f
(
x
)

2

x

x


∴当


6
时，
f
(
x
)
的最小值为

1
；当

6
时，
f
(
x
)
的最大值为
2
。


----------14
分

巩固练习：

1.

（
2010
文数
★< br>）（本小题满分
12
分）

已知函数
f
(
x
)

sin
2
x

2sin
x

文档

2
实用

（
I
）求函数
f
(
x
)
的最小正周期。

(II)

求 函数
f
(
x
)
的最大值及
f
(
x
)
取最大值时
x
的集合。

2.

（
20 10
理数
★★
）（本小题满分
12
分）







f

x



1

cot
x

sin
2
x

m
sin

x


sin

x


4


4

。


已知函数


3


，

f

x

8
4

上的取值围；

(1)
当
m=0
时，求
在区间

(2)
当
tan
a

2
时，
f

a


3
5
，求
m
的值。

3.
< br>（
2010
文数
★★
）（本小题满分
12
分）


已知函数
f
(
x
)

sin(


x
)cos

x

cos2

x
（


0
）的最小正周期为

，

（Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）将函数
y

f
(
x
)
的图像上各点的横坐标缩短到原来的
1
，纵坐标不变，得到函
2



数
y
< br>g
(
x
)
的图像，求函数
y

g
(
x
)
在区间

0,

上的最小值
. 
16

2
f
(
x
)

si n

x

3
sin

x

cos

x

1(


0)
的周期为

.
4.

（
2010
★
）已知函数
x< br>
[0,
]
2
时，求
f
(
x
)的取值围；




（
1
）当



（
2
）求函数
f
(
x
)的单调递减区间
.

例
2
（
2011
★）在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对 应的边为
a
,
b
,
c


sin(
A

（
1
）若

6
)

2cos
A
,

求
A
的值；

1
cos
A

,
b

3
c
3
（< br>2
）

若
，求
sin
C
的值
.
注解：本题考查和差角公式、角的围限制、特殊值所对应的角以及余弦定理


巩固练习：

文档

实用

1.

（
2010
年高考卷
★★
）
（本题满分
14
分）
在

ABC
中，
角
A
,
B
,C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
，
co s
2
C


已知
1
4
.
（Ⅰ）求
sin
C
的值；

（Ⅱ）当
a

2
，
2sin
A

sin
C
，求
b
及
c
的长
.
2.

（
2010
年高考卷
★★
）（本小题满分
12
分）在△
ABC
中，< br>a
,
b
,
c
分别为角
A, B, C
的对< br>边，且
2
a
sin
A

(2
b
< br>c
)sin
B

(2
c

b
)si n
C
.

（Ⅰ）求
A
的大小；

（Ⅱ）求
sin
B

sin
C
的最大值
.
1
3.
（
2010
年全国
★★
）
已知△< br>ABC
中，
角
A
、
B
、
C
所对的边
a
、
b
、
c
满足
a
2
+ c
2

–

b
2
=
2
ac
．

A

C




①求
sin
2
2
+ cos2B
的值；


②若
b = 2
，求△
ABC
面积
S
的最大值．

4.
（
2010
年
★★
）
（本小题满分
12
分）
△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对应边分别为
a
，
b
，
c
，
2
22
且满足
a

ab

b

c
.




（
1
）求角
C
；




（
2
）若△
ABC
的周长为
2
，求△
ABC面积的最大值。


例
3
（
2009
年
★★
）（本小题满分
14
分）

设向量
a
(4cos

,sin

),
b

(sin< br>
,4cos

),
c

(cos

,

4sin

)

tan(



)
的值；

（
1
）若
a
与
b

2
c
垂直，求
（< br>2
）求
|
b

c
|
的最大值
; < br>（
3
）若
tan

tan


16
，求证：
a
∥
b

注解：
本题考查到了向量的运算 法则、向量垂直以及平行特殊性质、模的运算、和差角公式
以及三角函数中最大值与最小值的处理，这是 一题典型的向量与三角函数的结合题。


巩固练习：

1. (2009
年卷文
★★
)
（本小题满分
12
分）

文档

实用

已知向量
a

(sin
,

2
)
与
b

(
1,
cos

)
互相垂直，其中
（
1
）求
sin

和
cos

的值




(
0
,
)
2


（
2
）若
5
cos(



)< br>
3
5
cos

，
0



2
,
求
cos

的值

2.
（
2011
宿迁
2
模
★★
）
（本题满分
1 4
分）在

ABC
中，角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，
且满足< br>(2
b

c
)cos
A

a
cos
C
。

（
1
）求角
A
的大小；

u
r
r
u
r
r
C
m

( 0,

1),
n

(cos
B
,2cos
2
)
m

n
2
，试求
（
2
）设< br>的最小值。




3.
（
20112
模
★★
）

已知向量
a

(sin
x
,
1
)
，
b

(
1
,
cos
x
)
．


（
1
）求满足
a
∥
b
的实数
x
的集合；





x



,



2

2
2

时的值域．

（
2
）设函数
f
(x
)

|
a

b
|
，求
f< br>(
x
)
在

例
4
（
2010
文数
★
）（本小题满分
12
分）



在△
ABC
中，已知
B=45
°
,D
是
BC
边上的一点，

AD=10,AC=14,DC=6
，求
AB
的长
.
注解：此题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的一些应用。


巩固练习：

1.
(2010
年高考全国
2
卷理 数
17
★
）（本小题满分
10
分）


A BC
中，
D
为边
BC
上的一点，
BD

3 3
，
sin
B

2.
（
2009
天津卷< br>★★
）（本小题满分
12
分）

在

ABC
中，
BC

（Ⅰ）求
AB
的值。

53
，
cos

ADC

，求
AD
．< br>
13
5
5
,
AC

3
,
sin
C

2
sin
A

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