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2021年1月30日发(作者：灰姑娘的故事1)

[
适用年级
]
：华师七年级

[
期




别
]
：
39
期

[
栏




目
]
：一点就通

三角形中的角度计算

河南安阳市十六中学


牛书堂



455000
要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。

1
、内角和定理

在△
ABC
中，∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°

2
、外角定理

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3
、直角三角形的两锐角

直角三角形的两个锐角之和等于
90
°

4
、等腰三角形的三角的关系

已知等腰三角形的顶角为
n
°，则两底角为
1
(180
°－
n
°
);
已知等腰 三角形的一个底角为

2
n
°，则另一个底角也是
n
°,
顶角为
180
°－
2n
°
.
三角形中的角度计算主要分以下三种形式：

1
、方程法，
2
、推理代换法，
3
、特殊值法

1
、方程法

例
1
、在△
ABC
中，AB=AC
，
CD
平分∠
C
，∠
ADC=150
°，求∠
B
[
分析
] (1)
所求的∠
B
在△
DBC
内，已知的∠
ADC
是△
DBC
的外角，所以有∠< br>ADC=
∠
B+
∠
BCD
。∠
B
是等腰△< br>ABC
的顶角，∠
BCD
B
是底角的一半，
可以用∠
B
表示，
所以可利用方
D
程式求∠
B
。















C
A
(2)
因为∠
A
是底 角，
∠
ACD
是底角的一半，




∠
ADC
是已知角，所以可以先求出∠
A
。

解法
1
、
设∠
B=x
，
则∠
ACB=
1
1
(180
°－
x),
∠
BCD=
(180
°－
x),
由三角形的内角和定
2
4
理，可得∠
B+
∠
BCD=
∠
ADC
，即

x+
1
(180
°－
x)=150
°

4
1
x
。因为∠
A+
∠
ACD+
∠
ADC= 180
°，

2
所以
x=140
°

解法
2
、设∠
A=x
，则∠
ACB=x,
∠
ACD=< br>所以






x+
1
x+150
°
=180
°

2解得
x=20
°
,
即∠
A=20
°

∴∠
B=180
°－
2
×
20
°
=140
°

例
2
、在△
ABC
中，∠
A
：∠B=5
：
7
，∠
C
比∠
A
大
10°，求∠
C
解：设∠
C=x,
则∠
A=x
－
10
°
,
∠
B=
7
(x-10
°
),所以有

5


x+(x
－
10
°< br>)+
7
(x
－
10
°
)=180
°

5
解得
x=60
°
,
即∠
C=60
°
例
3
、
D
是△
ABC
的
BC
边上一点，
AD=BD
，
AB=AC=CD
，求∠
BAC
[
分析
]
因为
AD=BD
，
AB=AC=CD
，
所以有∠
B=
∠
BAD=
∠
C
，

A
∠
DAC=
∠
ADC
，且∠
BAC+
∠
B+
∠
C=180
°，这样我们可以设
∠
B=x,
列出方 程即可求。

解：设∠
B=x
，则∠
C=
∠
BAD =
∠
B=x
，∠
ADC
是△
ABD
C
B< br>D
的外角，所以

∠
DAC=
∠
ADC=
∠
B+
∠
BAD=2x,
∠
BAC=
∠
BAD+∠
DAC=3x,
∵∠
B+
∠
BAC+
∠
C =180
°∴
x+3x+x=180
°

解得
x=36
°，

即




∠
BAC=3x=108
°

例
4
、等腰三角形两 内角的度数之比是
1
：
2
，求顶角的度数。

[
分 析
]
等腰三角形的角可分为顶角和底角，
所以本题可分为两个种情况来解，
即 顶角
与底角之比为
1
：
2
，或底角与顶角之比为
1:2.
解：（
1
）若三角形的顶角与底角之比为
1
：
2
， 设三角形的顶角为
x
，则底角为
2x,
所
以有

x+2x+2x=180
°
,
解之可得
x=36
°

（
2
）若三角形的底角与顶 角之比为
1
：
2
，设三角形的底角为
x,
则顶角
2 x
，所以

x+x+2x=180
°
,
解之可得
x=45
°

所以顶角为
2x=90
°


2
、推理代换法

A
例
5
、
如图：
在△
ABC
中，
点
D
在
BC
边上，
且< br>AC=BC
，
1
AB=AD=DC
，求∠
C
解：∵

AD=DC
，

2
C
B
∴

∠
C=
∠
1
，
,
∠
2=
∠
C+
∠
1=2
∠
C
D
又


∵

CA=CB
，
AB=AD
，

∴∠
A=
∠
B=
∠
2
，且∠
A+
∠
B+
∠
C =180
°

∴
2
∠
C+2
∠
C+
∠
C=180
°

B
E
解得


∠
C=36
°

例
6
、△
ABC
的两条高
AD
，
CE
相交于点
M
，已
M
D
知∠
A=30
°，∠
C=75
°，求∠
AMC

[
分析
]
要求∠
AMC
，可先求出∠
MAC
和∠
MCA
A
C
解：∵
AD
和
CE
是高，

∴∠
DAC+
∠
ACD=90
°，

∠
ACE+
∠
CAE=90
°。

∴∠
DAC=90
°－∠
ACD=15
°

∠
ACE=90
°－∠
CAE=60
°

∴∠AMC=180
°－
(
∠
DAC+
∠
ACE)=105
°

例、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是
50< br>°，求这个三角

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