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2021年1月30日发(作者：七十周年)

三角形综合题

副标题

题号

得分

一


二



一、选择题（本大题共
17
小题，共
51.0
分）


1.

如图所示，在
△
ABC
中，
∠< br>C
=70º
，沿图中虚线截取
∠
C
，则
∠
1 +
∠
2=
（




）




B.




C.





D.

A.

三


总分



2.

已知在
△
ABC
中，点
D
、
E
、
F分别为
BC
、
AD
、
CE
的中点，且
=1cm
，则

的值为（


）

A.

；

B.
；

C.
；

D.
3.

画
△
ABC
中
AC
边上的高，下列四个画法中正确的是（

）

A.

B.

C.

D.

4.

下列说法
:
①满足
的
，
，
三条线段一定能组成三角形;
②三角形的三条高交于三角形内一
点
;
③三角形的一个外角大于它的任 何一个内角
;
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等
.
其中错误
的有

( )

A.
1
个

B.
2
个

C.
3
个

D.
4
个

5.

如图，
AB
∥
DC
，
ED
∥
BC
，
AE
∥
BD
，那 么图中与
△
ABD
面积相等的三角形有
（


）

A.
1
个

B.
2
个

C.
3
个

D.
4
个



第
1
页，共
29
页

6.

如图 ，
在纸面所在的平面内，
一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置
O
点出发，< br>按向上、
向右、
向下、
向右的方向依次不断移动，每次移动
1
个单位，其移动路线如图所示，第
1
次移动到
A
1
，第
2< br>次移动
到
A
2
，第
3
次移动到
A
3
，……，第
n
次移动到
A
n
，则
△
OA< br>2
A
2019
的面积是（


）


A.
504

B.

C.

D.
1009

的位置，
7.

如图，两个直角三角形重叠在一 起，将其中一个三角形沿着点
B
到点
C
的方向平移到
，
，< br>，平移距离为
4
，求阴影部分的面积为
( )



A.
20

B.
24

C.
25

D.
26

8.

如图，
△
ABC
的面积为
1
．
第一次操作：分别延长
AB
，
BC
，
CA
至点
A
1
，
B
1
，
C
1
，
B
1
C
＝
BC
，
C
1
A
＝
CA
，
B
1
，
C
1
，
使
A
1
B
＝
AB
，顺次连接
A
1
，
得到
△
A
1
B
1
C
1
．
第
二次操作：分别延长
A
1
B
1
，
B
1
C
1
，
C
1
A
1
至点
A
2
，
B
2
，
C
2
，使
A
2
B
1
＝
A
1
B
1
，
B
2
C
1
＝
B
1
C
1
，
C
2
A
1
＝
C
1
A
1
，顺次连接
A
2
，
B
2
，
C
2
，得到
△
A
2
B
2
C
2
，…按 此规律，要使
得到的三角形的面积超过
2019
，最少经过多少次操作（

）．



A.
4

9.

如图，



A.
B.
5

C.
6

D.
7

，
A
,< br>B
为直线
上两点，
C
、
D
为直线
上两点，< br>则
△
ACD
与
△
BCD
的面积大小关系是（


）


B.

C.

D.
不能确定

10.

已知三角形的周长小于
13
，各边长均为整数且三边各不相等，那么这样的三角形个数共有（）

A.
2

B.
3

C.
4

D.
5

11.

如果三角形的两边长为
2
和
9
，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有

A.
1
个

B.
2
个

C.
3
个

D.
4
个

12.
< br>已知
△
ABC
的三边
a
，
b
，
c< br>都是正整数，且满足
a
≤
b
≤
c
，如果
b< br>＝
4
，那么这样的三角形共有（）．

A.
4
个

B.
6
个

C.
8
个

D.
10
个

－
∠
B
；④
13.

下列条件：①
∠A
+
∠
B
=
∠
C
；②
∠
A< br>：
∠
B
：
∠
C
=1:2:3
；③
∠
A
=90°
△
ABC
是直角三角形的条件有
(
)

A.
4
个

B.
3
个

14.

如图，
∠
B
+< br>∠
C
+
∠
D
+
∠
E
—
∠< br>A
等于（）

．其中能确定
C.
2
个

D.
1
个


A.




B.




C.



D.

第
2
页，共
29
页


,
把三角形纸片
ABC
沿
DE
折叠，当点
A
落在四边形
BCDE
的内部时，
∠
A
与
∠1+
∠
2
之间有一种数
15.

如图
量关系始 终保持不变
,
请试着找一找这个规律
,
你发现的规律是
(
)

A.
C.


B.
D.


，则
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
+
∠
D
+
∠
E
+
∠
F
为多少度

16.

如图，已知
∠
BOF
=120°

A.

B.

C.

D.



把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底
17.


面为长方形（长为
acm
，宽为
bcm
）的盒子底部（如 图②），盒子底面未
被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）


A.
4
b


B.

C.

D.
二、填空题（本大题共
16
小题，共
48.0
分）

18.

如图，点
D
是
△
ABC
的边BC
上任意一点，点
E
、
F
分别是线段
AD
、
CE
的中点，
且
△
ABC
的面积为
20
，则
△
BEF
的面积
=__________
．



AD
，
AE
分别是
△
ABC
的中线和高，
BC
＝
6
，
AE
＝
4
，△
ABD
的面积为
________.

19.

如图，





，则
∠
BOC
2
0.

如图，
△
ABC
中，
O
是
∠
ABC
和
∠
ACB的角平分线的交点，若
∠
A
＝
50°


＝
______°






2
1.

如图，
AD
是
△
ABC
的中线
.
若
△
ABD
的周长比
△
ACD
的 周长长
6
cm
，则
AB
−
AC
=_______ _
cm
.






第
3
页，共
29
页


，
∠
C
=70°
，则
2
2.

如 图，已知
△
ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，AE
是
∠
BAC
的平分线，若
∠
B
=42°< br>.

∠
DAE
=__________°


2
3.

如图，点
D
是
△
ABC
的边
BC
上任意一点，点
E
、
F
分别是线段
AD< br>、
CE
的中点，且
△
ABC
的面积为
20
，则
△
BEF
的面积
=__________
．



2
4.

如图，
BD
、
CE
为
△
ABC
的两条角平分线，则图中
∠
1
、
∠
2
、
∠
A
之间的关系为
__________
．



25.

如图，在三角形
ABC
中，
AB
⊥
AC
于点
A
，
AB
=6
，
AC
=8
，
BC
=10
，点
P
是线段
BC
上的一点，则线段
AP
的最小值为
____________< br>．






，
BC
= 8
cm
，
AC
=6
cm
，点
E
是
BC
的中点，动点
P
2
6.

如图，在
△
ABC
中，
∠
C
=90°
从
A
点出发，
先 以每秒
2
cm
的速度沿
A
→
C
运动，
然后 以
1
cm
/
s
的速度沿
C
→
B
运 动．
若设点
P
运动的时间是
t
秒，
那么当
t
=_________
，
△
APE
的面积等于
6
．


27.

如图，两个正方形边长分别为



，图中阴影部分的面积为
_______
．


2
8.

三角形的三边长为
3
，
a
，7
，则最长边
a
的取值范围是
____________
；
29.

如图，
∠
A
+
∠
ABC< br>+
∠
C
+
∠
D
+
∠
E
+< br>∠
F
=___
度．



第
4
页，共
29
页




3
0.

如图
,
在
△
ABC
中< br>,
∠
ABC
和
∠
ACB
的外角平分线交于
D
,
∠
A
=40
0
，那么
∠
D
=_ _

.






3
1.

如图所示，
∠
A
＋
∠
B
＋
∠
C
＋
∠
D
＋
∠
E
＋
∠
F
＝

________
．






3
2.

在
△
ABC
内有一点
P
1
，当
P
1
、
A
、
B
、
C
没有任何三点在同一直线上时，则可构成
3
个互 不重叠的小三
角形
(
如图①
)
．


P< br>2
时，
（
1
）
当三角形内有两个点
P
1、
如图②，
其他条件不变，
可构成的互不重叠的小三角形有
______ _
个．

（
2
）当三角形内有三个点
P
1
、
P
2
、
P
3
时，如图③，其他条件不变，可构成的互不重 叠的小三角形有
_________
个．

（
3
）一般地， 当三角形内有
(
为正整数
)
个点时，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三
角形有
_______
个．特别地，当三角形内有
2016
个点时，
其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有
_____
个．

三、解答题（本大题共
6
小题，共
48.0
分）

33.

如图，
AD
为
△
ABC
的中线，
BE
为
△
ABD
的中线。



(1)
∠
ABE
＝
15°
，
∠
BAD
＝< br>40°
，求
∠
BED
的度数；

(2)
作图 ：在
△
BED
中作
BD
边上的高，垂足为
F
；
(3)
若
△
ABC
的面积为
60
，
BD
＝
6
，则
△
BDE
中
BD
边上的高为 多少？

(4)
过点
E
作
EG
//
BC< br>，连结
EC
、
DG
且相交于点
O
，若
S△
ABC
＝
m
，
S
△
COD
＝
n
，求
S
△
EOD
（用含
m
、
n
的
代数式表示）


第
5
页，共
29
页






，
AC
＝
8
cm
，
BC＝
6
cm
，
AB
＝
10
cm
．若动点
P
从点
C
开始，按
C
→
A
→
B< br>34.

如图，
△
ABC
中，
∠
C
＝
90°
的路径运动，且速度为每秒
2
cm
．设运动的时间为
t
秒．



（
1
）当
t
＝







时，
CP
把
△
ABC
的周长分成相等的两部分？

（
2
）当
t
＝







时，
CP
把
△
ABC
的面积分成相等的两部分？

（
3
）当
t
为何值时，
△
BCP
的面积为
8
？








35.

已知一个等腰三角形的周长为
（
1
）用含
的代数式表示
；

（
2
）求
的取值范围．

，一腰的长为
，底边长为
．








第
6
页，共
29
页

36.

在
中，
.

（
1
）如 图①，
于点
,
平分
，
∠
B
=60°
，∠
C
=80°
，求
∠
EAD
.

（
2
）
如图②，
平分
.

,
为< br>上的一点，且
于点
，试说明：
（
3
）如图③，
你写出 这
与
平分
、
,
为
延长线上的一点，
于点
， 请
之间的数量关系
(
只写结论，不必说明理由
).








,
点
D
、
E
分别是
△
ABC
的边
AC
、
BC上的点，点
P
是一动点
.
令
37.

在直角三 角形
ABC
中，
∠
C
=90°
∠
PDA
=
∠
1,
∠
PEB
=
∠
2,
∠
DPE
=
∠
.



第
7
页，共
29
页


（
1）若点
P
在线段
AB
上，如图
1
所示，且
∠< br>=50°
，则
∠
1+
∠
2






°
；


（2
）若点
P
在边
AB
上运动，如图
2
所示，则
∠
、
∠
1
、
∠
2
之间的关系为






；


（< br>3
）
若点
P
运动到边
AB
的延长线上，如图
3
所示，则
∠
、
∠
1
、
∠
2
之间 有何关系？猜想并说明理由；


（
4
）若点
P
运 动到
△
ABC
形外，如图
4
所示，则
∠
、
∠
1
、
∠
2
之间关系为













38.

探究发现
:
如图①，
在
连结
.
中，
，< br>点
在
边上，
点
在
边上，
且
，

(1)
当
(2)
当点
深入探究
:

(3)
如图②，若






在
时，求
(
点
的度数
;

除外
)
边上运动时，试探究
与
的数量关系
;

，但
，其它条件不变，试继续探究
与

的数量关系
.
第
8
页，共
29
页


答案和解析

1.
【答案】
B
【解析】

【分析】

本
题
考
查补
角和三角形的外角性
质
，属于基
础题
.
根据三角形的一个外角等于和它不相
邻
的两内角和，
结
合
∠
C=70º
即可求解
.
【解答】

解：因
为
所以
即
.
故
选
B.
2.
【答案】
C
【解析】

,
,
，
,
,
，

【分析】

此
题
考
查
了三角形的面
积
，根据三角形中
线
将三角形的面
积
分成相等的两部分是解答关
键
.
由
于
D
、
E
、
F
分
别为
BC
、< br>AD
、
CE
的中点，可判断出
AD
、
BE
、
CE
、
BF
为
△
ABC
、
△
AB D
、
△
ACD
、
△
BEC
的中
线
，根据中
线
的性
质
可知将相
应
三角形分成面
积相等的两部分，据此即可解答
.
【解答】

解：
∵
由 于
D
、
E
、
F
分
别为
BC
、AD
、
CE
的中点，

2
∴△
ABE
、
△
DBE
、
△
DCE
、
△
AEC
的面
积
相等，
S
△
BEC
=
S
△
ABC
=3
（
cm
），
S
△
BEC
=2 S
△
BEF
=2
2
2
（
cm
），
S
△
ABC
=2S
△
BEC
=4
（
cm< br>）
.
故
选
C.
3.
【答案】
C
【解析】

【分析】

本
题
考
查
了三角形的角平分
线
、中
线
和高，熟
记
定
义
并准确
识图
是解
题
的关
键
．根据三角形的
高线
的定
义
：
过
三角形的一个
顶
点向
对 边
引垂
线
，
顶
点与垂足之
间
的距离叫做三角形的高
对
第
9
页，共
29
页

各
选项图
形判断即可．

【解答】

解：由三角形 的高
线
的定
义
，
C
选项图
形表示
△
ABC
中
AC
边
上的高．

故
选
C
．

4.
【答案】
D
【解析】

【分析】

本
题
主要考
查的是三角形的三
边
关系，三角形的外角性
质
，三角形的中
线、高
线
、角平分
线
的
有关知
识
，由
题
意利用三角形的三
边
关系、三角形的三
线
的定
义
及 三角形的外角的性
质
分
别
判断后即可确定正确的
选项
.
【解答】

解：
①
满
足
a+b
＞
c
的
a
、
b
、
c
三条
线
段不一定 能
组
成三角形，
错误
；

②
三角形的三条高交于三角形内一点，
错误
；

③
三角形的外角大于它的任何一个不相
邻
内角，故
错误
；

④
两条平行直
线
被第三条直
线
所截，同位角相等，故
错误.
故
选
D.
5.
【答案】
C
【解析】

解：
∵
AE
∥
BD
，


∴
S
△
ABD
=S
△
BDE
，


∵
DE
∥
BC
，


∴
S
△
BDE
=S
△
EDC
，


∵
AB
∥
CD
，


∴
S
△
ABD
=S
△
ABC
，


∴
与
△
ABD
面
积
相等的三角形有3
个，


故
选
：
C
．

根据等高模型，同底等高的三角形的面
积
相等即可判断；

第
10
页，共
29
页

本
题
考< br>查
平行
线
的性
质
、等高模型等知
识
，解题
的关
键
是熟
练
掌握基本知
识
，属于中考常考
题
型．

6.
【答案】
B
【解析】

【分析】

本
题
考
查
三角形的面
积
，数
轴
等知
识
，解
题
的关
键
是学会探究
规
律，利用
规
律解决
问题
．
观
察
图
形可知：
OA
2n
=n
，由
OA
2016
=1008
，推出
OA
2019
=1009
，由此即可解决
问题
．

【解答】

解：
观
察
图
形可知：点
A
2n
在数
轴
上，
OA
2n
=n
，

∵
OA
2016
=1008
，

∴
OA
2019
=1009
，点
A
2019
在数
轴
上，

∴
故
选
B
．

7.
【答案】
D
【解析】

=
×
1009×
1=
，

【分析】
此
题
主要考
查
了三角形的面
积
，平移的基本性
质
：
①
平移不改
变图
形的形状和大小；
②
经过平
移，
对应
点所
连
的
线
段平行且相等，
对应线
段平行且相等，
对应
角相等，要熟
练
掌握，由
S< br>△
ABC
=S
△
DEF
，推出
S
四
边
形
ABEH
=S
阴
即可解决
问题
.
【解答】

解：
∵
平移距离
为
4
，

∴
BE=4
，

∵
AB=8
，
DH=3
，

∴
EH=8-3=5
，

∵
S
△
ABC
=S
△
DEF
，

∴
S
四
边
形
ABEH
=S
阴
,
4=26.
（
8+5
）
×
∴
阴影部分的面
积为
=
×
故
选
D.
8.
【答案】
A
【解析】

第
11
页，共
29
页

略

9.
【答案】
B
【解析】

【分析】

此
题
主要考
查
了平行
线
之
间
的距离，以及三角形的面
积
，关
键
是掌握平行
线
之
间
的距离相
等．首先
过
A
作
AM< br>⊥
l
2
，
过
B
作
BN
⊥
l
2
，根据平行
线
之
间
的距离相等可得
AM=BN< br>，再根据同
底等高的三角形面
积
相等可得答案．

【解答】

解：
过
A
作
AM
⊥
l
2
，
过
B
作
BN
⊥
l
2
，


∵
l
1
∥
l
2
，

∴
AM=BN
，

∴
S
△
ACD
=S
△
BCD
．

故
选
B
．

10.
【答案】
B
【解析】

【分析】

本
题
考
查
三角形的三
边
关系，且涉及分
类讨论
的思想．解答的关
键
是 找到三
边
的取
值
范
围
及
对
三角形三
边
的理解把握．首先根据三角形的两
边
之和大于第三
边
以及三角形 的周
长
，得到
三角形的三
边
都不能大于
6.5
；再
结
合三角形的两
边
之差小于第三
边进
行分析出所有符合条件
的整数．

【解答】

解：根据三角形的两
边
之和 大于第三
边
以及三角形的周
长
小于
13
，
则
其中的任何一
边
不能超
过
6.5
；

再根据两< br>边
之差小于第三
边
，各
边长
均
为
整数且三< br>边
各不相等，
则这样
的三角形共有
3
，
4
，
2
；
4
，
5
，
2
；
3
，
4
，
5
三个．

故
选
B
．

第
12
页，共
29
页

11.
【答案】
B
【解析】

【分析】

本
题
考
查
三角形三
边
关系
.
解答的关< br>键
是找到三
边
的取
值
范
围
及
对三角形三
边
的理解把握
.
根
据在三角形中任意两
边之和大于第三
边
，任意两
边
之差小于第三
边
，即可求解
.
【解答】

解：
9+2=11
，

9
－
2=7
，

∴
7
＜第三
边
＜
11
，

∵
周
长为
奇数，

∴
这样
的三角形的三< br>边长
分
别为
：
2
，
9
，
8
；
2
，
9
，
10
；共有
2
个
.
故
选
B.
12.
【答案】
D
【解析】

略

13.
【答案】
A
【解析】

【分析】

本
题
考
查
了三角形内角和定理的
应
用，能求出每种情况的
∠
C
的度数是解此
题
的关
键
，
题
目比
较
好，
难
度适中．根据三角形的内角 和定理得出
∠
A+
∠
B+
∠
C=180°
，再根据 已知的条件逐个求
出
∠
C
的度数，即可得出答案．

【解答】

解：
①∵∠
A+
∠
B=
∠C
，
∠
A+
∠
B+
∠
C=180°
，

，

∴
2
∠
C=180°
，

∴∠
C=90 °
∴△
ABC
是直角三角形，故
①
正确；

，

②∵∠
A
：
∠
B
：
∠C=1
：
2
：
3
，
∠
A+
∠
B+
∠
C=180°
∴
，

∴△
ABC
是直角三角形，故
②
正确；

-
∠
B
，

③∵∠
A=90°
，

∴∠
A+
∠
B=90°
，

∵∠
A+
∠
B+
∠
C=180°
，
< br>∴∠
C=90°
∴△
ABC
是直角三角形，故
③
正确 ；

④∵
，

设
∠
A=x
，
∠
B=2x
，
∠
C=3x
第
13
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29
页

，

∴
x+2x+3x=180°
，

∴
x=30º
3x=90º
，

，

∴ ∠
C=90°
∴△
ABC
是直角三角形，故
④
正确，

综
上所述
①②③④
4
个全部符合
题
意．

故
选
A.
14.
【答案】
C
【解析】

【分析】

本
题
考
查
的是三角形的内角和定理，三 角形的外角的性
质
有关知
识
.
-
∠
1
，
∠
D+
∠
E=
∠
DFG=180°
-
∠< br>2
，两式相加再
根据三角形的外角的性
质
，得
∠
B+
∠
C=
∠
CGE=180°
减去
∠
A
，根 据三角形的内角和是
180°
可求解
.
【解答】

-∠
1
，
∠
D+
∠
E=
∠
DFG=18 0°
-
∠
2
，

解：
∵∠
B+
∠
C=
∠
CGE=180°
-
（
∠
1+
∠< br>2+
∠
A
）
=180°
．

∴∠
B +
∠
C+
∠
D+
∠
E-
∠
A=360°< br>故
选
C.


15.
【答案】
B
【解析】

【分析】

此
题
考
查
了
图
形的
轴对
称
,
轴对
称
变换
,
三角形内角和定理

根据翻折不
变
性，由已知条件，根据三角形内角 和定理得到
，即可求解．

【解答】

解：如下
图
，


∵
把
△
ABC
纸
片沿着
DE
折叠，点
A
落在四
边
形BCED
内部，

第
14
页，共
29
页

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