初中数学三角形证明题经典题型训练
巡山小妖精
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2021年01月30日 19:20
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三角形证明中经典题
1
1
．如图，在△
ABC
中，∠C=90
°，
AB
的垂直平分线交
AB
与
D
， 交
BC
于
E
，连接
AE
，若
CE=5
，< br>AC=12
，则
BE
的长
是（
）
2
．
如图，
在△
ABC
中，
AB=AC
，
∠
A=36
°，
BD
、
CE
分别是∠
ABC
、
∠
BCD
的角平分线，
则图 中的等腰三角形有
（
）
A
．
1
3
B
．
1
0
C
．
1
2
D
．
5
A
．
5
个
B
．
4
个
C
．
3
个
D
．
2
个
3
．如图，在△
ABC
中，AD
是它的角平分线，
AB=8cm
，
AC=6cm
，则
S
△
ABD
：
S
△
ACD
=
（
）
A
．
4
：
3
B
．
3
：
4
C
．
1
6
：
9
D
．
9
：
16
4
．如图，在△
ABC
中，
A B=AC
，∠
A=40
°，
AB
的垂直平分线交
AB
于点
D
，交
AC
于点
E
，连接
BE
，则 ∠
CBE
的度数
为（
）
A
．
7
0
°
B
．
8
0
°
C
．
4
0
°
D
．
3
0
°
5
．如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，且
D
为
BC
上一点，
CD=A D
，
AB=BD
，则∠
B
的度数为（
）
A
．
3
0
°
B
．
3
6
°
C
．
4
0
°
D
．
4
5
°
6
．如图，点
O
在直线
AB
上，射线
OC
平分∠
AOD
，若∠
AOC=35
°，则∠
BOD
等于（
）
A
．
1
45
°
B
．
1
10
°
C
．
7
0
°
D
．
3
5
°
7
．如图，在△
ABC中，∠
ACB=90
°，
BA
的垂直平分线交
BC
边于
D
，若
AB=10
，
AC=5
，则图中等于
60< br>°的角的个数
是（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
8
．如图，已知
BD
是△
ABC
的中 线，
AB=5
，
BC=3
，△
ABD
和△
BCD< br>的周长的差是（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
6
D
．
不
能确定
9
．
在
Rt
△
ABC
中，
如图所示，
∠
C=90
°，
∠
CAB=60< br>°，
AD
平分∠
CAB
，
点
D
到
A B
的距离
DE=3.8cm
，
则
BC
等于
（
）
A
．
3
.8cm
B
．
7
.6cm
C
．
1
1.4cm
D
．
1
1.2cm
10
．△
ABC
中 ，点
O
是△
ABC
内一点，且点
O
到△
ABC三边的距离相等；∠
A=40
°，则∠
BOC=
（
）
A
．
1
10
°
B
．
1
20
°
C
．
1
30
°
D
．
1
40
°
11
．如图，已知点
P< br>在∠
AOB
的平分线
OC
上，
PF
⊥
OA< br>，
PE
⊥
OB
，若
PE=6
，则
PF
的长为（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
12
．如图，△
ABC
中，
DE
是
AB
的垂直平分线，交BC
于点
D
，交
AB
于点
E
，已知
A E=1cm
，△
ACD
的周长为
12cm
，
则△
A BC
的周长是（
）
A
．
1
3cm
B
．
1
4cm
C
．
1
5cm
D
．
1
6cm
13
．如图，∠< br>BAC=130
°，若
MP
和
QN
分别垂直平分
AB
和
AC
，则∠
PAQ
等于（
）
14
．如图，要用“
HL
”判定
R t
△
ABC
和
Rt
△
A
′
B
′< br>C
′全等的条件是（
）
A
．
AC=A
′
C
′，
BC=B
′
C
′
B
．
∠
A=
∠A
′，
AB=A
′
B
′
C
．
AC=A
′
C
′，
AB=A
′
B
′
D
．
∠
B=
∠B
′，
BC=B
′
C
′
15．如图，
MN
是线段
AB
的垂直平分线，
C
在
MN
外，且与
A
点在
MN
的同一侧，
BC
交
MN
于
P
点，则（
）
A
．
5
0
°
B
．
7
5
°
C
．
8
0
°
D
．
1
05
°
A
．
B
C
＞
PC+AP
B
．
B
C
＜
PC+AP
C
．
B
C=PC+AP
D
．
B
C
≥
PC+AP
16
．如图，已知在△ABC
中，
AB=AC
，
D
为
BC
上一点，< br>BF=CD
，
CE=BD
，那么∠
EDF
等于（
）
A
．
9
0
°﹣∠
A
B
．
90
°﹣
∠
A
C
．
1
80
°﹣∠
A
D
．
45
°﹣
∠
A
17
．如图，在△
A BC
中，
AB=AC
，
AD
平分∠
BAC
，那么下 列结论不一定成立的是（
）
A
．
C
．
△
ABD
≌△
ACD
AD
是△
ABC
的角平分线
B
．
D
．
AD
是△
ABC
的高线
△
ABC
是等边三角形
三角形证明中经典题
2
1.
如图，已知：
E
是∠
AOB
的平分线上一点，
EC
⊥
OB
，
ED
⊥
OA
，
C
、
D
是垂足，连接
CD
，且交
OE
于点
F
．
（
1
）求证：
OE
是
CD
的垂直平分线．
（
2
）若∠
AOB=60
°，请你探究
OE
，EF
之间有什么数量关系？并证明你的结论．
2.
如图，点
D
是△
ABC
中
BC< br>边上的一点，且
AB=AC=CD
，
AD=BD
，求∠
BAC
的度数．
3.
如图 ，在△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，点
D
是
BC
的中点，
DE
⊥
AB
于点
E
，< br>DF
⊥
AC
于点
F
．
求证：
（
1
）∠
B=
∠
C
．
（
2
）△
ABC
是等腰三角形．
4
如图，
AB=AC
，∠
C=67
° ，
AB
的垂直平分线
EF
交
AC
于点
D
， 求∠
DBC
的度数．
5.
如图，△
ABC
中，
AB=AD=AE
，
D E=EC
，∠
DAB=30
°，求∠
C
的度数．
6.
阅读理解：
“在一个三角形中，如果 角相等，那么它们所对的边也相等．
”简称“等角对等边”
，如图，在△
ABC
中，已知∠
ABC
和∠
ACB
的平分线上交于点
F
，过点
F
作
BC
的平行线分别交
AB
、
AC
于点
D
、
E
，请你用“等角对等
边”的知识说明
DE=BD+C E
．
7.
如图，
AD
是△
ABC
的平分线，
DE
，
DF
分别垂直
AB
、
AC
于
E
、
F
，连接
EF
，求证：△
AEF
是等腰三角形．
2015
年
05
月
03
日初中数学三角形证明组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共
20
小题）
1
．
（
20 15
•涉县模拟）如图，在△
ABC
中，∠
C=90
°，
A B
的垂直平分线交
AB
与
D
，交
BC
于
E
，连接
AE
，若
CE=5
，
AC=12
，则
BE
的长是（
）
A
13
．
考
线段垂直平分线的性质．
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点
：
分
先根据勾股定理求出
AE=13
，再由
DE
是线段
AB
的垂直平分线，得出
BE=AE=13
．
析：
解
解：∵∠
C=90
°，
答：
∴
AE=
，
∵
DE
是线段
AB
的垂直平分线，
∴
BE=AE=13
；
故选：
A
．
< br>点
本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出
AE
是解题 的关
评：
键．
2
．
（< br>2015
•淄博模拟）如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，∠
A=36
°，
BD
、
CE
分别是∠
ABC
、∠
BCD
的角平分线，则图中的等
腰三角形有（
）
B
10
．
C
12
．
D
5
．
A
5
个
．
考
等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
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点
：
专
证明题．
题
：
分
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，
对图中的三角形进行分析，
即可得出答 案．
析：
B
4
个
．
C
3
个
．
D
2
个
．
解
解：共有
5
个．
答：
（
1
）∵
AB=AC
∴△
ABC
是等腰三角形；
（
2
）∵
BD
、
CE
分别是∠
ABC
、∠
BCD
的 角平分线
∴∠
EBC=
∠
ABC
，∠
ECB=< br>∠
BCD
，
∵△
ABC
是等腰三角形，
∴∠
EBC=
∠
ECB
，
∴△
BCE
是等腰三角形；
（
3
）∵∠
A=36
°，
AB=AC
，
∴∠
ABC=
∠
ACB=
（
180
°﹣
3 6
°）
=72
°，
又
BD
是∠
ABC
的角平分线，
∴∠
A BD=
∠
ABC=36
°
=
∠
A
，
∴△
ABD
是等腰三角形；
同理可证△
CDE
和△
BCD
是等腰三角形．
故选：
A
．
点
此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角 形内角和定理的理解和掌握，
属于中档
评：
题．
3
．
（
2014
秋•西城区校级期中）如图，在△
ABC
中，
AD
是它的角平分线，
AB=8cm
，
AC= 6cm
，则
S
△
ABD
：
S
△
ACD
=
（
A
4
：
3
B
3
：
4
C
16
：
9
D
9
：
16
．
．
．
．
考
角平分线的性质；三角形的面积．
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点
：
专
计算题．
题
：
分
首先过点
D
作
DE
⊥
AB
，
DF< br>⊥
AC
，由
AD
是它的角平分线，根据角平分线的性质，
析：
即可求得
DE=DF
，由△
ABD
的面积为
12
，可求得
DE
与
DF
的长，又由
AC=6
，则可求得△
ACD
的面积．
解
解：过点
D
作< br>DE
⊥
AB
，
DF
⊥
AC
，垂足分别为E
、
F
„（
1
分）
答：
∵
AD
是∠
BAC
的平分线，
DE
⊥
AB
，
DF
⊥
AC
，
∴
DE=DF
，„（
3
分）
∴
S
△
ABD=
•
DE
•
AB=12
，
∴
DE=DF=3
„（
5
分）
∴
S△
ADC=
•
DF
•
AC=
×
3
×< br>6=9
„（
6
分）
∴
S
△
ABD
：
S
△
ACD
=12
：
9=4
：
3
．
）
故选
A
．
点
此题考查了角平分线的性质．此题 难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性
评：
质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
4
．
（
2014
•丹东）如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，∠
A=40
°，
AB
的垂直平分线交
AB于点
D
，交
AC
于点
E
，连接
BE
， 则
∠
CBE
的度数为（
）
A
70
°
．
考点
：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
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专题
：
几何图形问题．
分析：
由等 腰△
ABC
中，
AB=AC
，∠
A=40
°，即可求得∠< br>ABC
的度数，又由线段
AB
的垂直
平分线交
AB
于
D
，交
AC
于
E
，可得
AE=BE
，继而 求得∠
ABE
的度数，则可求得答
案．
解答：
解：∵等腰△
ABC
中，
AB=AC
，∠
A=40
°，
∴∠
ABC=
∠
C=
=70
°，
B
80
°
．
C
40
°
．
D
30
°
．
∵线段
AB
的垂 直平分线交
AB
于
D
，交
AC
于
E
，
∴
AE=BE
，
∴∠
ABE=
∠
A=40
°，
∴∠
CB E=
∠
ABC
﹣∠
ABE=30
°．
故选：
D
．
点评：
此题考查了线段垂直平分线 的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意
掌握数形结合思想的应用．
5
．
（
2014
•南充）如图，在△
ABC中，
AB=AC
，且
D
为
BC
上一点，
CD= AD
，
AB=BD
，则∠
B
的度数为（
）
A
30
°
．
B
36
°
．
C
40
°
．
D
45
°
．
考
点
：
分
析：
解
答：
等腰三角形的性质．
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求 出∠
BAD=2
∠
CAD=2
∠
B=2
∠
C
的关系，利用三角形的内角和是
180
°，求∠
B
，
解：∵
AB=AC
，
∴∠
B=
∠
C
，
∵
AB=BD
，
∴∠
BAD=
∠
BDA
，
∵
CD=AD
，
∴∠
C=
∠
CAD
，
∵∠
BAD+∠
CAD+
∠
B+
∠
C=180
°，
∴
5
∠
B=180
°，
∴∠
B=36
°
故选：
B
．
点
本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠
BAD=2评：
∠
CAD=2
∠
B=2
∠
C
关系．
6
．
（
2014
•山西模拟）如图，点
O
在直线
AB
上，射线
OC
平分∠
AOD
，若∠
AOC=35
°，则∠
BOD
等于（
）
A
145
°
．
考
点
：
分
析：
解
答：
角平分线的定义．
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首先 根据角平分线定义可得∠
AOD=2
∠
AOC=70
°，再根据邻补角的性质 可得∠
BOD
的度数．
解：∵射线
OC
平分∠
DOA
．
∴∠
AOD=2
∠
AOC
，
∵∠
COA=35
°，
∴∠
DOA=70
°，
∴∠
BOD=180
°﹣
70
°
=110
°，
故选：
B
．
此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．
B
110
°
．
C
70
°
．
D
35
°
．
点
评：
7
．
（
2014
•雁塔区校级模拟）如图，在 △
ABC
中，∠
ACB=90
°，
BA
的垂直平分线交BC
边于
D
，若
AB=10
，
AC=5
，则< br>图中等于
60
°的角的个数是（
）
A
2
B
3
C
4
D
5
．
．
．
．
考点
：
线段垂直平分线的性质．
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分析：
根据已 知条件易得∠
B=30
°，∠
BAC=60
°．根据线段垂直平分线的性质进 一步求
解．
解答：
解：∵∠
ACB=90
°，
AB=10
，
AC=5
，
∴∠
B=30
°．
∴∠
BAC=90
°﹣
30
°
=60
°
∵
DE
垂直平分
BC
，
∴∠
BAC=< br>∠
ADE=
∠
BDE=
∠
CDA=90
°﹣
30
°
=60
°．
∴∠
BDE
对顶角
=60
°，
∴图中等于
60
°的角的个数是
4
．
故选
C
．
点评：
此题主要考查线段的垂直平分 线的性质等几何知识．
线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻 找，做到不重不漏．
8
．
（
2014
秋•腾冲县校级期末）如图，已知
BD
是△
ABC
的中线，
AB= 5
，
BC=3
，△
ABD
和△
BCD
的周长的差是 （
）
A
2
．
三角形的角平分线、中线和高．
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计算题．
根据三角形的中线得出
AD=CD
，根据三角形的周长求出即可．
解：∵
BD
是△
ABC
的中线，
∴
AD=CD
，
∴△
ABD
和△
BCD
的周长的差是：
（
AB+BD+AD
）﹣（
BC+BD+CD
）
=AB
﹣
BC=5
﹣
3=2
．
故选
A
．
点评：
本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关
键．
9
．
（
2014
春•栖霞市期末）
在
Rt
△
ABC
中，
如图所示，
∠
C=90
°，
∠
CAB=60
°，
AD
平分∠
CAB
，点
D
到
AB
的距离
DE=3.8cm
，
则BC
等于（
）
考点
：
专题
：
分析：
解答：
B
3
．
C
6
．
D
不能确定
．
A
3.8cm
．
B
7.6cm
．
C
11.4cm
．
D
11.2cm
．
考点
：
角平分线的性质．
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分析：
由∠
C=90
°，∠
CAB=60
°，可 得∠
B
的度数，故
BD=2DE=7.6
，又
AD
平分∠< br>CAB
，故
DC=DE=3.8
，由
BC=BD+DC
求解．
解答：
解：∵∠
C=90
°，∠
CAB=60
°，
∴∠
B=30
°，在
Rt
△
BDE
中，
BD=2DE= 7.6
，
又∵
AD
平分∠
CAB
，
∴
DC=DE=3.8
，
∴
BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4
．
故选
C
．
点评：
本题主要考查平分线的性质， 由已知能够注意到
D
到
AB
的距离
DE
即为
CD< br>长，是
解题的关键．
10
．
（
2014
秋•博野县期末）△
ABC
中，
点
O
是△
ABC
内一点，且点
O
到△
ABC
三边的距离相等；
∠< br>A=40
°，则∠
BOC=
（
）
A
110
°
．
考
点
：
专
题
：
分
析：
解
答：
角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
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计算题．
由已知，
O
到三角形三边距离相等，得
O
是内心，再利用三角形内角和定理即可求
出∠
BOC
的度数．
解：由已知，
O
到三角形三边距离相等，所以
O
是内心，
即三条角平分线交点，
AO
，
BO
，
CO
都是角平 分线，
所以有∠
CBO=
∠
ABO=
∠
ABC< br>，∠
BCO=
∠
ACO=
∠
ACB
，
∠
ABC+
∠
ACB=180
﹣
40=140
∠
OBC+
∠
OCB=70
∠
BOC=180
﹣
70=110
°
故选
A
．
点
此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内 角和定理，三角形的外角性质等知识
评：
点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
11
．
（
2013
秋•潮阳区期末）
如图，
已知点
P
在∠
AOB
的平分线
OC
上，
PF
⊥
OA
，< br>PE
⊥
OB
，
若
PE=6
，
则
PF
的长为
（
）
B
120
°
．
C
130
°
．
D
140
°
．
A
2
．
B
4
．
C
6
．
D
8
．