七年级数学(北师大版) 上册知识点总结(带关键习题)
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 23:17
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暑假日记100字-内存故障
2013
—
2014
学年度七年级上学期语文教学工作总结
北师大版七年级数学上册知识点总结
前言：
七年级上知识点很简单，主要是衔接作用，很多知识点在六年级涉及过，现在 是对六年
级的加深与拓展。重点难点章节有三个：
第二章有理数及其运算、第三章整式及其加减 、第五章一
元一次方程。
第一章
丰富的图形世界
备注：本单元两个易错点：
1
、图形的展开与折叠
2
、
“
三视图”判断图形个数
1
、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2
、生活中的立体图形
圆柱
柱
生活中的立体图形
球
棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）
、五棱柱、……
(
按名称分
)
锥
圆锥
棱锥
3
、点、线、面、体
（
1
）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（
2
）点动成线，线动成面，面动成体。
页脚内容
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4
、常见的几何体及其特点
长方体：
有
8个顶点，
12
条棱，
6
个面，且各面都是长方形。
（正方形是特殊的长方形）
，正方体是特殊的长方体。
棱柱：
上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱。
棱锥：
一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
圆柱：
有上下两个底面和一个侧面（曲面）
，两个底面是半径相等的圆。
圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。
圆锥：
有一个底面和一个侧面（曲面）
。侧面展开图是扇形，底面是圆。
球：
由一个面（曲面）围成的几何体。
5
、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n
棱柱有两个底面，
n个侧面，共（
n+2
）个面；
3n
条棱，
n
条侧棱；< br>2n
个顶点。
6
、正方体的平面展开图：
11
种
总结规律：
一线不过四，田凹应弃之；
相间、
Z
端是对面，间二、拐角邻面知。
7
、 截一个正方体
：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
3
—
3
型
2
—
2
—
2
型
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可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，
正方形、矩形、非矩形的平行四边形、
非等腰梯形、
等腰梯形、五边
形、六边形、正六边形
不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形
其他几何体的截面形状：
正方体：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形
圆柱：
圆、长方形、
（正方形）
、……
圆锥：
圆、三角形、……
球：
圆
8
、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
第二章
有理数及其运算
备注：
1*
、数轴是新知识很多地方用到
2*
、去绝对值与绝对值的几何 意义很重要，有些学生在去绝对值和利用绝对值几何意义做题时比
较容易出错
（去绝对值的主要 数学思想是
“分情况讨论”
这也是贯穿初高中的一个重要数学思想）
3*
、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。
1
、有理数的分类
整数和分数统称为有理数。
因为有限小数和无限 循环小数可以化为分数，
所以把有限小数和无限循环小
数都看作分数。
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正有理数
整数
有理数
零
有限小数和无限循环小数
或
有理数
负有理数
分数
2
、相反数：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零
①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等
.
②相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数。
3
、
数轴：
规定了原点、
正方向和单位长度的直线叫做数轴
（画数轴时，
要注意上述规定的三要素缺一不可）
。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，
并能灵活运
用。
4
、倒数 ：
如果
a
与
b
互为倒数，则有
ab=1
，反之亦成 立。倒数等于本身的数是
1
和
-1
。零没有倒数。
5、绝对值：
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（
| a|
≥
0
）
。零的绝对值时它本
身，也可看成它的相反数，若
|a|=a
，则
a
≥
0
；若
|a|=-a
，则< br>a
≤
0
。
绝对值的有关性质
①对任意有理数
a
，都有
|a|
≥
0
；
②若
|a|=0
，则
a=0
；
③若
|a|=|b|
，则
a=b
或
a=
－
b< br>；
④若
|a|=b
（
b>0
），则a=
±
b
；
⑤若
|a|
＋
|b|=0
，则
a=0
且
b=0
；
⑥对任意有理数
a
，都有
|a|=|
－
a|.
6
、有理数比较大小：
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点 所表示的数，右边的
总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
7
、有理数的运算
：
（
1
）五种运算：
加、减、乘、除、乘方
< br>多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数
个时，积的符号为正。只要有一个数为零，积就为零。
有理数加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
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异号两数相加，绝对值值相等时和为
0
；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用 较大的绝
对值减去较小的绝对值。
一个数同
0
相加，仍得这个数。
互为相反数的两个数相加和为
0
。
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数！
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与
0
相乘，积仍为
0
。
有理数除法法则：
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0
除以任何非
0
的数都得
0
。
注意：
0
不能作除数。
有理数的乘方：
求
n个相同因数
a
的积的运算叫做乘方。
a
2
是重要的非 负数，即
a
2
≥
0
；若
a
2
+|b|=0
则
a=0,b=0
；
据规律
底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位
.
注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如
5=5
1
；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④（除
0
以外任何数的
0
次方都得
1
）
1
的任何次幂都得
1
，
0
的任何次幂（除
0
次）都得
0
；
⑤
-1
的偶次幂得
1
；
-1
的奇次幂得
-1
；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值
。
（
2
）有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
（
3
）运算律
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加法交换律
a
b
b
a
加法结合律
(
a
b
)
c
a
(
b
c
)
乘法交换律
ab
ba
乘法结合律
(
ab
)
c
a
(
bc
)
乘法对加法的分配律
a
(
b
c
)
ab
ac
变形公式
8
、科学记数法
一般地，一个大于
10
的数可以表示成
的形式，其中
< br>，
n
是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
（
n=
整数位 数
-1
）
ab
ac
a< br>(
b
c
)
第三章
整式及其加减
备注：这章算是这册比较难的一个知识点。一是对单项式、 多项式的理解，其次是对同类项的理解和计算。
容易出错的地方大多在化简计算，有几点：
1
、是化简计算过程中去括号变号。
2
、化简求值中“整体思想”的运用。
3
、化简计算中一个字母表示另个字母代入换算。
知识点
一、字母表示数
1
、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；
1
加法交换律
a
＋
b
＝
b
＋
a
加法结合律
a
＋
b
＋
c< br>＝
a
＋（
b
＋
c
）
○
2
乘法交换律
○
ac
用字母表示计算公式：
○
1
长方 形的周长
2
（
a
＋
b
）
,
面积
a b
（
a
、
b
分别为长、宽）
2正方形的周长
4
a
，面积
a
（
a
表示边长）< br>
○
2
ab
＝
ba
乘法结合律（
ab
）
c
＝
a
（
bc
）
乘法分配律
a
（< br>b
＋
c
）＝
ab
＋
3
长方体的体积
abc
，表面积
2
ab
＋
2
bc
＋
2ac
（
a
、
b
、
c
分别为长、宽、高）
○
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4
正方体的体积
a
,
表面积
6
a
（
a< br>表示棱长）
○
3
2
5
圆的周长
2
πr
,
面积
πr
（
r
为半径）
○
2
6
三角形的面积
○
1
×
ah
（
a表示底边长，
h
表示底边上的高）
2
2
、在同一问题 中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
3
、用字母表示 实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。
4
、注意书写格式的规范：
(1)
表示数与字母或字母与字母相 乘时乘号，乘号可以写成
“
·
”
，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘
号；
(2)
数和字母相乘时，数字应写在字母前面；
(3)
带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；
(4)
除法运算写成分数形式
，分数线具
“÷
”
号和
“
括号
”
的双重作用。
(5)
在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位 。
典型例题
：
例题
1
.
有 一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为
m
千克，再从中截取5
米长的
钢筋，称出它的质量为
n
千克，那么这捆钢筋的总长度为（
）米
m
mn
5m
5m
A
、
B
、
C
、
D
、
(
－
5)
n
5
5
n
例题
2
.用代数式表示
“ 2a
与
3
的差
”
为（
）
A
．
2a
－
3
B
．
3
－
2a
C
．
2
（
a
－
3
）
D
．
2
（
3
－
a
）
例题
3
.
如图
1< br>―
3
―
1
，轴上点
A
所表示的是实数
a，则到原点的距离是（
）
A
、
a
B
．－
a
C
．
±a
D
．－
|a|
1
1
1
例题
4
.
已知
a=
x+20
，
b=
x+19
，
c=
x+21
，那么代数式
a
2
+b
2
+c
2
－
ab
－
bc
－
ac
的值为（
）
20
20
20
A
、
4
B
、
3
C
、
2
D
、
1
练习
：
1
、温度由
t
℃下降
3
℃后是
_____________
℃
.
2
、
飞机每小时飞行
a
千米，火车 每小时行驶
b
千米，飞机的速度是火车速度的
_______
倍
.< br>
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3
、无论
a
取什么数，下列算式中有意义的是（
）
A.
、
4
、全班同 学排成长方形长队，每排的同学数为
a
，排数比每排同学数的
3
倍还多
2
，那么全班同学数为（
）
A.
a
·
3
a
2
B.
a
(
3
a
2
)
C.
a
3
a
2
D.
3
a
(
a
2
)
1
a
1
B.
1
a
C.
1
a
1
2
D.
1
2
a
1
5
、轮船在
A
、
B
两地间航行，水流速度为
m
千米／时，船在静水中的速度为
n
千米／时，则轮船逆流航行的速
度为
__________
千米／时
6
、
甲、
乙、
丙三家超市为了促销一种定价均为
x
元的商品，
甲超市连续两次降价
20%< br>，
乙超市一次性降价
40%
，
丙超市第一次降价
30%
，第二次降价
10%
，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（
）
（
A
）甲
（
B
）乙
（
C
）丙
（
D
）乙或丙
7
、下列说法中：①
a
一定是负数；②
|
a
|
一定是正数；③若abc
0
，则
a
、
b
、
c
三个有理数中负因数的个数
是
0
或
2
，其中正确的序号是
8
、 设三个连续整数的中间一个数是
n
,
则它们三个数的和是
9
、设三个连续奇数的中间 一个数是
x
,
则它们三个数的和是
10
、设
n
为自然数，则奇数表示为
；偶数表示为
；能被
5
整除的数为
；被
4
除余
3
的数为
二、代数式
1
、代数式：用基本运算符号 （加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。
如：
n-2
、
0.8a
、
2n +500
、
abc
、
2ab+2bc +2ac
（单独一个数或一个字母也是代数式）
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数 式中不含有
“=
、
>
、
<
、
≠”
等符号。 等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般
都是代数式；
③代数式 中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如
vt
；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如
4a
；
③带分数与 字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如
2
a
应写作
④数字与数 字相乘，一般仍用
“×”
号，即
“×”
号不省略；
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1
3
7
a
；
32013
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⑤ 在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如
4÷
（
a-4
）应写作
括号的双重作用。
4
；注意：分数线具有
“÷”
号和a
4
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再 将单位名称写在式子的后面，如
(
a
2
b
2
)< br>平方米。
例：下列不是代数式的是（
）
s
A
.
0
B
.
C
.
x
1
D
.
x
0.1
y
2
t
2
、单项 式：表示数与字母的积的形式的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数
（ 连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。
注意：
1.
单独的一个数或一个字母也是单项式；
2.
单独一个非零数的次数是
0
；
3.
书写时 ，当单项式的系数为
1
或
-1
时，这个
“1”
应省略不写， 如
-ab
的系数是
-1
，
ab
的系数是
1
。
4.
是数字，不是字母。
例：
ab
的系数是
；如
x
的系数是
；如
x
的系数是
；
3
、 多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项
式的次数。
例：代数式
5
x
y
x
x
1
有
项，第二项的系数是
，第三项的系数是
，第四项的系数是
4
、单项式多项式统称为整式。整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整< br>式中除数不能含有字母。
练习：
1
、
某商品售价为
a
元，打八折后又降价
20
元，则现价为
_____< br>元
2
、橘子每千克
a
元，买
10
kg以上可享受九折优惠，则买
20
千克应付
_________
元钱
.
3
、如图，图
1
需
4
根火柴，图
2
需
____
根火柴，图
3
需
____
根火柴，……
图
n
需
____
根火柴。
（图
1
）
（图
2
）
（图
n
）
4
、温度由
t
℃下降
3
℃后是
_____________
℃
.
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2
2
2
1
2
2
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5
、 飞机每小时飞行
a
千米，火车每小时行驶
b
千米，飞机的速度是火车速度的< br>_______
倍
.
6
、无论
a
取什么数，下列算式中有意义的是（
）
A.
1
a
1
B.
1
a
C.
1
a
1
2
D.
1
2
a
1
7
、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为
a
，排数比每排同学数的
3
倍还多
2
，那么全班同学数为（
）
A.
a
·
3
a
2
B.
a
(
3
a
2
)
C.
a
3
a
2
D.
3
a
(
a
2
)
x
2
y
2
2
2
8
、填空
的系 数为
_______
，次数为
_______
：
3
a
2
b
的次数为
______
；
ab
的系数是
；
x
的
3
2
系数是
；
x
的系数是
；
代数式
5
x
y
x
x
1
有
项，
第二项的系数是
，
1
2
2
第三项的系数是
，第四项的系数是
9
、下列不是代数式的是（
）
s
A
.
0
B
.
C
.
x
1
D
.
x
0.1
y
2
t
三、合并同类项
1
、同类项
：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：
①同类项有两个条件：
a.
所含字母相同；
b.
相同 字母的指数也相同。
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
③几个常数项也是同类项。
如：
100a
和
200a，
240b
和
60b
，
-2ab
和
10ba< br>
2
、合并同类项法则：
把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
合并同类项法则：
（
1
）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；
（
2
）合并同类项：同类项的系数相加
,
所得的结果作为系数
,
字母和字母的指数不变
.
（
3
）不同种的同类项间，用
“+”
号连接
（
4
）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄
如：
合并同类项
3x
2
y
和
5x
2
y
，
字母
x
、
y
及
x
、y
的指数都不变，
•
只要将它们的系数
3
和
5
相加，
即
3x
2
y+5x
2
y=
（
3+5
）
x
2
y=8x
2
y
．
3．
合并同类项的步骤：
（
1
）准确的找出同类项（
2
） 运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起（
3
）利
用法则，把同类项的系数相 加，字母和字母的指数不变（
4
）写出合并后的结果
4.
注意
:
（
1
）不是同类项不能合并（
2
）
求代数式的值 时
,
如果代数式中含有同类项
,
通常先合并同类项再代入
数值进行计 算
.
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2013
—
2014
学年度七年级上学期语文教学工作总结
例
1.
判断下列各组中的两个项是不是同类项：
2
2
5
a
b
和
-
a
2
b
（
2
）
2m
2
np
和
-pm
2
n
(3) 0
和
-1
3
7
1
1
2
1
2
1
2
3
3
2
2
2
2
例
2.
下列各组中：①
5
x
y
与
xy
；②
5
x
y
与
yx
；③
5
ax
与
yx
；④
8
与
x
；⑤
x
与
x
；
2
5
5
5
（
1
）1
1
1
1
例
3.
如果
x
y
与
—
x
y
是同类项，则
k=______
，
xy+
（
-
x
y
）
=________
．
3
3
3
3
k
2
k
2
⑥
3
x
与
x
⑦
3
x
与
2
，同类项 有
（填序号）
2
2
例
4
．直接写出下列各式的结果：
（
1
）
-
（
4
）
x
2
y-
11
xy+
xy=_______
；
（
2
）
7a
2
b+2a
2
b=________
；
（
3
）
-x-3x+2x=_______
；
2
1
2
1
2
x
2
y-
例
5
．合并下列多项式中的同类项 ．
（
1
）
4x
2
y-8xy
2
+7-4x
2
y+10xy
2
-4
；
（
2
）
a
2
-2ab+b
2
+a
2
+2ab+b
2
．
2
2
（
3
）
3
x
5
x
6
x
1
（
4
）
6
xy
2
x
4
x
y
5
yx
x
2
2
2
2
2
3
x
2
y=_______
；
（
5
）
3xy
2
-7xy
2
=________
．
例
6.
若< br>x
0,
y
0
，
练习
：
x
2
3
y
1
、单项式
2
a
b与
a
b
是同类项，则
x
，
y
1
2
xy
axy
2
0
，则
a
2
2
、
下列各组中
：
①
5
x
y
与
2
2< br>1
1
2
1
2
1
2
3
3
2< br>2
2
2
②
5
x
y
与
yx
；
③
5
ax
与
yx
；
④
8
与
x
；
⑤
x
与
x
；
⑥
3
x
xy
；
2
5
5
5与
x
⑦
3
x
与
2
，同类项有
（填序号）
2
2
3
、合并同类项：①
3
x
5
x
6
x
1
②
6
xy
2
x
4
x
y
5
yx
x
2
2
2
2
2
4
、若
x
0,
y
0
，
1< br>2
xy
axy
2
0
，则
a
2
四、去括号法则
1
、
根据去括号法则去括号：
（
1
）括号前是
“+”
号，把括号和前面的
“+”
号去掉，括号里的各项的符号都不改变。
（2
）括号前是
“
－
”
号，把括号和前面的
“
－
”
号去掉，括号里的各项都要改变符号。
2
、
根据去括号法则中乘法分配律的应用去括号
：
若括号前有因式，
应先利用乘法分配律展 开，
同时注意去括号
时符号的变化规律。
3
、
多重括号的化简原则：
（
1
）由里向外逐层去掉括号
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