2011.4几何图形中的黄金分割
余年寄山水
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2021年01月31日 02:19
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发表于《数学教学》
2011
年第
11
期
几何图形中的黄金分割
叶军
南京师大附中江宁分校
211102
在教学比例线段与相似形 这一内容时，
黄金分割宛如一颗瑰丽的明珠，
总不能视而不见。
可因为种种原因，教材 在内容的组织上不过是浮光掠影，点到即止。甚至删去了黄金分割点
的作图，至多在阅读材料中一笔带过 ；至于介绍黄金分割的应用，多为美术作品里的黄金分
割、人体和生物中的黄金分割等等，或许是为了增 强对数学的
“
应用价值
”
的认识，这些介绍
多为数学外部的例子，让 学生知其然而不知其所以然。而有些简单而有趣的数学内部的例子
则不多见，本文拟介绍一些几何图形中 的黄金分割的例子，供读者参考。
1
、正五角星中的黄金分割
连 接正五边形的
5
条对角线得到一个正五角星。那么这些对角线的交点都是所在线段的
黄 金分割点。
以
BE
为
例
，
要
证
明
M
是
其
黄
金
分
割
点
，
只
要
证
明
ME
2
BM
BE< br>即
可
。
利
用
△
BAM
∽△
BEA< br>以及
AB=AE=ME
即可获证。
这
5
条线段的黄 金分割点也构成一个新的正五边形，这个过程可以无限进行下去。
对于顶角为
36º
的等腰三角形，类似可证：底角平分线把一腰黄金分割，所以这个三角
形也被称作黄金三角形。 这个三角形当然在正五角星中随处可见，按照如图的方式作出一段
段相互衔接的
120
度圆弧，得到的连续曲线也近似于一条对数螺线，我们说近似，是因为它
也不是真正的对数螺线，而仅仅 是等腰三角形的顶点恰好在一条对数螺旋上而已。
A
A
M
B
S
Q
C
D
B
N
E
P
E
G
F
C
D
正五边形与正五角星
黄金三角形
对数螺旋
2
、三根木杆搭出黄金分割点
在水平地面上竖一根木杆
AB
.
从
AB
的中点
D
伸出另一根相同长度的木杆
CD
，再从
CD
的中点
F
伸出一根相同长度的木杆
EF，木杆的另一端点都在水平地面上。则点
C
是线段
AE
的黄金分割点.
B
D
F
A
G
C
E
1
3
AC
,
设
2
2
1
设
AD
=1,
则
CD
=2
，因此∠
ADC
=60º
,
AC
=
3
,
从
F
作
AC
的垂线
FG
,
则
CG
=
发表于《数学教学》
2011
年第
11
期
CE< br>=
x
,
则
(
x
3
2
1< br>2
15
3
15
3
解出
x
，
因此
AE=
,
可以验证
AC
2
< br>AE
CE
,
)
(
)
2
2
，
2
2
2
2
因此点
C
是线段
AE
的黄金分割点。
3
、用正三角形与正方形构造黄金分割点
作等边△
ABC
.
以
BC
为边向外作正方形
BCDE
.
再以
C为圆心，
CE
为半径作圆弧与
AB
所
在直线交于点
F< br>.
则点
B
是线段
AF
的黄金分割点
.
D
C
E
A
M
B
F
连接
CF
,
并作
CM
⊥
AB
于
M
,
设
AB
=1,
则
CM
=
3
,
设
BF
=
x
,
在△
CFM
中使用勾股定理得：
2
(
3
2
1
5
1
)
(
x
)
2
(
2)
2
，于是
x< br>
.
表明点
B
是线段
AF
的黄金分割点
.
2
2
2
4
、半圆的内接正方形产生黄金分割点
在 一个半圆中做一个正方形，使得正方形的一条边在半圆的直径上，另外两个顶点在圆
周上，如图。则A
是线段
CD
的黄金分割点。
B
C
A
O
D
AD
2
5
1
.
CD2
5
1
设半圆的半径是
5
，则
AO
=1
，
AB
=2
，因此
CD
=
5
1
,
因此
5
、用
(3,4,5)
的直角三角形构造黄金分 割点
作一个
3:4:5
的直角△
ABC
.
再作∠
B
的角平分线
BD
，
与
AC
交于点
D
.
以
D
为 圆心，
DA
为半径作圆，与射线
BD
分别交于
E
、
F
.
则
E
是线段
BF
的黄金分割点
.
2