好就业的理科专业-2019高考分数线是多少

2021年1月31日发(作者：呼唤造句)
初中数学中考几何题中的新定义型题集锦

在近年的中考试题中，
涌现出了许 多创意新颖、
情境熟悉的几何新定义型试题，
为了便
于同学们了解掌握这方面的信息， 现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。

一、定义一种新的几何体

例
1
（
2001
年泰州市）
我们把相似形的概念推广到空间 ：
如果两个几何体大小不一定相
等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图
1< br>，甲、乙是两个不同的正方体，正方体
都是相似体。


（
1
）下列几何体中，一定属于相似体的是（


）

A.
两个球体








B.
两个圆锥体

C.
两个圆柱体







D.
两个长方体

（
2
）请猜想出相似体的主要性质：

①相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于
_______
；

②相似体表面积的比等于
_______
；

③相似体体积的比等于
_______
。

（
3
） 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋
友上幼儿园时身高为1.1m
，体重为
18kg
，到了初三，身高为
1.65m
，问 他的体重为多少？
（不考虑不同时期人体平均密度的变化）

解：
（
1
）由相似体的定义可知，应选
A
。

（
2
）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方。

（
3
）设初三时体重为
x kg
，则由题意，得

3
x
:
18


1
.
65
:1
.
1

，

解之，得
x

60
.
75

kg


故到了初三时，他的体重约为
60.75kg
。


二、定义一种新的规则

例
2
（
2003
年安徽 省）如图
2
，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它
与正三角形的接近程 度称为“正度”
，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相
等。


设等腰三角形的底和腰分别为
a
、
b
，底角和顶角分别为

、

，要求“正度”的值是
非负数。

同学甲认为：可用式 子
|
a

b
|
来表示“正度”
，
|
a

b
|
的值越小，表示等腰三角形越接
近正三角形。

同学乙认为：可用式子
|



|
来表示“正度”
，
|



|
的值越小，表示等腰三角形越接近于正三角形。

探究：
（
1
）他们的方案哪个较为合理，为什么？

（
2
）对你认为不合理的方案，请加以改进（给出式子即可）
。

（
3
）请再给出一种衡量“正度”的表达式。

解：
（1
）乙同学的方案较为合理。因为
|



|
的值越小，

与

越接近
60

，因而该等
腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等。

同学甲的方案不合理。 因为不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为
4
、
4
、
2< br>和边长为
8
、
8.4
的两个等腰三角形相似，但
|
2

4
|

2

|
4

8
|

4
。

（
2
）对同学甲的方案可改用
|
a

b
|
/
ka
、
|
a

b
|
/
kb
等（
k
为正数）来表示“ 正度”
。

（
3
）还可以用
|


60

|
、
|


60

|< br>、
|




120

|
、



60



2



60


/
3
等来
2
2< br>

表示“正度”
。

说明：
（
2
）
、
（
3
）的答案不惟一，只要符合要求的均可。


三、定义一种新的线段

例
3
（
2003
年安徽省 附加题）如图
3
，在五边形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
中，
B
1
是
A
1
对边
A
3
A
4
的中点，连结
A
1
B
1
，我们称
A
1
B
1
是这个五边形的一条中对 线，如果五边形的每条中对线
都将五边形的面积分成相等的两部分。

求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。

证明：如图
3
， 取
A
1
A
5
的中点
B
3
，连结
A
3
B
3
、
A
1
A
3
、
A
1
A
4
、
A
3
A
5
。

因为
A
3
B
1

B
1
A
4
，

所以
S
△
A
1
A
3
B
1

S
△
A
1
B
1
A
4
。

又因为四边形
A
1
A
2
A
3
B
1
与四边形
A
1
B
1
A
4
A
5
的面积相等，所以
S
△
A
1
A
2
A
3

S
△
A
1
A
4
A
5

同理
S
△
A
1
A
2A
3

S
△
A
3
A
4
A5
，

所以
S
△
A
1
A
4< br>A
5

S
△
A
3
A
4
A< br>5
，

所以
△
A
3
A
4
A
5
与
△
A
1
A
4
A
5
的 边
A
4
A
5
上的高相等，所以
A
1
A3
∥
A
4
A
5
。

同理可证：
A
1
A
2
∥
A
3
A
5
，
A
2
A
3
∥
A
1
A
4
，
A
3
A
4
∥
A
2
A
5
，
A
1
A
5
∥
A
2
A
4
。


例
4
（
2007
年连云港市）如图
4
（
1
）
，点
C
将线段
AB
分成两部分，如果AC
：
AB=BC
：
AC
，那么称点
C
为线段
AB
的黄金分割点。



某研究小组在进行课题学习时， 由黄金分割点联想到“黄金分割线”
，类似地给出“黄
金分割线”的定义：直线
l将一个面积为
S
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
S
1
、
S
2
，如果
S
1
:
S

S2
:
S
1
，那么称直线
l
为该图形的黄金分割线。
（
1
）研究小组猜想：在△
ABC
中，若点
D
为
AB
边上的黄金分割点，如图
4
（
2
）
，则< br>直线
CD
是△
ABC
的黄金分割线。你认为对吗？为什么？

（
2
）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（
3
）研究小组在进一步探究中发现：过点
C
任作一条直线交
AB< br>于点
E
，再过点
D
作
直线
DF
∥
C E
，
交
AC
于点
F
，连结
EF
，如图4
（
3
）
，则直线
EF
也是△
ABC
的黄金分割线。
请你说明理由。

（
4
）如图
4
（
4
）
，点
E
是平行四边形
ABCD
的边
A B
的黄金分割点，过点
E
作
EF
∥
AD
，
交
DC
于点
F
，
显然直线
EF
是平行四边形
ABCD
的黄金分割线，
请你画一条平行四边
形
ABCD
的黄金分 割线，使它不经过平行四边形
ABCD
各边的黄金分割点。


解：
（
1
）直线
CD
是△
ABC
的黄金分割线，理由如 下：

设
AB
边上的高为
h
，则由
AD
：
AB=DB
：
AD
，

得
ADh
/
2
:
ABh
/
2

DBh
/
2
:
ADh
/
2
，

即
S
△
ADC
:
S
△
ABC

S
△
CDB
:< br>S
△
ADC
，

由黄金分割线的定义知：
CD
是△
ABC
的黄金分割线。

（
2
）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。

（
3
）证明：设
DC
与
EF
的交点为
O
。

因为
DF
∥
CE
，所以
S
△
DOF

S
△
COF
，

所以
S
△
A EF

S
△
ADC
，
S
△
CDB

S
四边形
CFEB
。

因为
S
△
ADC
:
S
△
ABC

S
△
CDB:
S
△
ADC
，

所以
S
△
AEF
:
S
△
ABC

S
四边形
CFEB
:
S
△
AEF
，所以直线
EF
是△
ABC
的黄金分割线。


（
4
）画法不唯一，如：

画法
1

如图
5
（
1
）取
EF
的中点
G
，过点
G
作一条直线分别交
AB
、
DC
于
M
、
N
点，
则直线
MN
就是平行 四边形
ABCD
的黄金分割线。


画法
2
在< br>DF
上取一点
N
，连结
EN
，过点
F
作FM
∥
EN
交
AB
于点
M
，连结
MN
，则
直线
MN
就是平行四边形
ABCD
的黄金分割线，如图
5
（
2
）
。


四、定义一种新的点

例
5
（
2006
年安徽省实 验区）
如图
6
，
凸四边形
ABCD
，
如果点
P
满足∠
APD=
∠
APB=

，
且∠
BPC=
∠
CPD=

，则称点
P
为四边形
ABC D
的一个半等角点。


（
1
）在图
8
的 正方形
ABCD
内画一个半等角点，且满足



。

（
2
）在图
9
的四边形
ABCD
中画一个半等 角点，保留画图痕迹（不需写出画法）
。

（
3
）若四边形
ABCD
有两个半等角点
P
1
、
P
2
（如图
7
）
，证明线段
P
1
P
2
上任意一点也
是它的半等角点。


解：
（
1
）如图
8
，连接
AC
，在
AC
上（点
A
、
C
、AC
的中点除外）任取一点
P
，连结
PB
、
PD
，则点
P
为正方形
ABCD
的一个半等角点。


（
2
）如图
9
所示。


（
3< br>）连结；
AP
1
、
P
1
D
、
P1
B
和
P
2
C
、
P
2
D、
P
2
B
，则由题意，得

∠
AP
1
D
=

AP
1
B
，

DP
1
P
2


BP
1
P
2
，
故
2


AP
1
D

< br>DP
1
P
2


360

，

所以

AP
1
D


DP
1
P
2

180

，

所以
P1
在
AP
2
上，同理
P
2
在
P
1
C
上，所以
A
、
P
1
、
P
2
、
C
在同一条直线上。

在△
DP
1
P< br>2
和△
BP
1
P
2
中，

因为∠< br>DP
1
P
2


BP
1
P
2
，
∠
DP
2
P
1


BP2
P
1
，
P
1
P
2
为公共边，
所以△
DP
1
P
2

△
BP
1
P
2
，

所以
DP
1

BP
1< br>，
DP
2

BP
2
，

于是
B
、
D
关于
AC
对称，

设
P
是
P
1
P
2
上任一点，连结
DP
、
BP
，则由对称性知

∠
DPA=
∠
BPA< br>，∠
DPC=
∠
BPC
，

所以点
P
是四边形
ABCD
的一个半等角点。


例
6
（
2007
年宁波市）
四边形一条对角线所在直线上的 点，
如果到这条对角线的两端点
的距离不相等，
但到另一对角线的两端点的距离相等，
则称这个点为这个四边形的准等距点，
如图
10
（
1
），点
P
为四边形
ABCD
对角线
AC
所在直线上的一点 ，
PD=PB
，
PA

PC
，则点
P
为四 边形
ABCD
的准等距点。


（
1
）如图
10
（
2
）
，画出菱形
ABCD
的一个准等距点；

（
2
）如图
10
（
3
）
，作出四边形
ABCD
的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不
要求写作法）
（
3
）如图
10
（
4
）
，在四边形
A BCD
中，
P
是
AC
上的点，
PA

PC
，延长
BP
交
CD
于点
E
，延长
DP交
BC
于点
F
，且∠
CDF=
∠
CBE
，
CE=CF
，求证：点
P
是四边形
ABCD
的准等距点 ；

（
4
）
试研究四边形的准等距点个数的情况
（说出相应 四边形的特征及准等距点的个数，
不必证明）
。

解：
（
1
）
如图
10
（
2
）
所示，
点
P< br>即为所求
（答案不唯一，
点
P
不能画在
AC
的中点上 ）
。

（
2
）如图
10
（
3
）所 示，点
P
即为所求作的点（答案不唯一）
。

（
3
）证明：如图
10
（
4
）
，连结
DB
。

因为△
DCF

△
BCD
（
AAS
），

所以
CD=CB
，所以∠
CDB=
∠
CB D
，

故∠
PDB
、∠
PBD
，所以
PD =PB
。

因为
PA
≠
PC
，所以点
P< br>是四边形
ABCD
的准等距点。

（
4
）①当四边形 的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一条对角线或者对角线
互相平分且不垂直时，准等距点的个 数为
0
个；

②当四边形的对角线既不垂直，
又不互相平分，
且有一条对角线的中垂线经过另一对角
线的中点时，准等距点的个数为
1
个；

③当四边形的对角线既不垂直又不互相平分，
且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为
2
个；

④当四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，
准等距点有无

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