椭圆标准方程焦点三角形面积公式高三复习
余年寄山水
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2021年01月31日 12:36
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椭
圆
焦
点
三
角
形
面
积
公
式
的
应
用
性质
1
(
选填题课直接用，大题需论证
):
x
2
y
2
在椭圆
2
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）
中，焦点分别为
F
1
、
F
2
，
点
P
是椭圆上任意一点，
a
b
F
1
PF
2
，则
S
F
1
PF
2
b
2
tan
2
.
y
P
P
证明：记
|
PF
1
|
r
1
,< br>|
PF
2
|
r
2
，由椭圆的第一定义得< br>
r
1
r
2
2
a
,< br>
(
r
1
r
2
)
2
< br>4
a
2
.
2
在△
F
1
P F
2
中，由余弦定理得：
r
1
r
2
< br>2
r
1
r
2
cos
(
2
c
)
.
2
2
F
1
O F
2
x
配方得：
(
r
1
r
2
)
2
r
1
r
2
2
r
1
r
2
cos
4
c
.
即
4
a
2
r
1
r
2
(
1
cos
)
4
c
.
2
2
2
2
2
(
a
2
c
2
)
2
b
2
r
1
r
2
.
1
cos
1
cos
由任意三角形的面积公式得：
S
F
1
PF
2
1
si n
r
1
r
2
sin
b2
b
2
2
1
cos
2
sin
2
2
b
2
tan
.
2
2
cos
2
2
cos
S
F
1
PF
2
b
2
tan
.
2
y
2
x
2
同理可证，在椭圆
2
2
1< br>（
a
＞
b
＞
0
）中，公式仍然成立
.
a
b
典型例题
x
2
y
2
1
上的一点，
F
1
、
F
2
是其焦点 ，且
F
1
PF
2
60
，求
例
1
若
P
是椭圆
100
64△
F
1
PF
2
的面积
.
x
2
y
2
1
上
的
点
，
F
1
、
F
2
分
别
是
椭
圆
的
左
、
右
焦
点
，
若
例
2
已
知
P
是
椭
圆
25
9
PF
1
PF
2
|
PF
1
|
|
PF
2
|
1
，则△
F
1
PF
2
的面积为（
）
2
A.
3
3
B.
2
3
C.
3
D.
3
3
x
2
y
2
1
的左、
右焦点分别是F
1
、
F
2
，
点
P
在椭圆上
.
若
P
、
F
1
、
例
3
（
04
湖北）
已知椭圆
16
9
F
2
是一个直角三角 形的三个顶点，则点
P
到
x
轴的距离为（
）
A.
9
7
9
9
9
9
7
B.
C.
D.
或
7
7
5
4
4
答案：
x
2
y
2
1
上的一点，
F
1
、
F
2
是其焦点，且
F
1
PF
2
60
，求
例
1
若
P
是椭圆
100
64
△
F
1
PF
2的面积
.
x
2
y
2
1
中，
a
10
,
b
8
,
c
6
,
而
60
.
记< br>|
PF
1
|
r
1
,
|
P F
2
|
r
2
.
解法一：在椭圆
100
64
点
P
在椭圆上，
由椭 圆的第一定义得：
r
1
r
2
2
a
20
.
2
在△
F
1
PF
2
中，由余弦定理得：
r
1
r
2
2< br>r
1
r
2
cos
(
2
c
)
.
2
2
配方，得：
(
r
1
r
2
)
3
r
1
r
2
144
.
2
400
3< br>r
1
r
2
144
.
从而
r
1
r
2
S
F
1
PF
2
256
.
3
1
1
256
3
64
3
r
1
r
2
sin
.
2
2
3
2
3
x
2
y
2
1
中，
b
2
64
，而
60
.
解法 二：在椭圆
100
64
S
F
1
PF< br>2
b
2
tan
2
64
tan
30
64
3
.
3
解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
x
2
y
2
1
上
的
点
，
F
1
、
F
2
分
别
是
椭
圆
的
左
、
右
焦
点
，
若
例
2
已
知
P
是
椭
圆
25
9
PF
1
PF
2
|
PF
1
|
|
PF
2
|
1
，则△
F1
PF
2
的面积为（
）
2
3
3
A.
3
3
B.
2
3
C.
3
D.
解：设
F
1
PF
2
，
则
cos
PF
1
PF
2
|
PF
1
|
|
PF
2
|
1
，
60
.
2
S
F
1
PF
2
b< br>2
tan
故选答案
A.
2
9
tan
30
3
3
.
x
2< br>y
2
1
的左、
右焦点分别是
F
1
、
F
2
，
点
P
在椭圆上
.
若
P
、
F
1
、
例
3
（
04
湖北）
已知椭圆
16
9
F
2
是一个直角三角形的三个顶点， 则点
P
到
x
轴的距离为（
）
A.
9
7
9
9
9
9
7
B.
C.
D.
或
7
7
5
4
4
b
2
9
；
若
P
是直角顶点，设
解：若
F
1或
F
2
是直角顶点，则点
P
到
x
轴的距离为半 通径的长
a
4
点
P
到
x
轴的距离为
h，则
S
F
1
PF
2
b
2
tan
2
9
tan
45
9
，
又
S
F
1
PF
2
1
(
2
c
)
h
7
h
,
2
7
h
9
，
h
9
7
.
故答案选
D.
7
金指点睛
y
2
x
2
1
上一点
P
与椭圆两个焦点
F
1
、
F
2
的连线互相垂直，则△
F
1
PF
2
的面积为
1(
略
).
椭圆
49
24
（
）
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
x
2
F
2，
y
2
1
的左右焦点为
F
1、
2.
椭圆
P
是椭圆上一点，
当△
F
1< br>PF
2
的面积为
1
时，
PF
1
P F
2
4
的值为（
）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 6