秋天的儿童画-狄雷

2021年1月31日发(作者：祝你开心)
学习资料


球的体积和表面积

[
学习目标
]

1.
记准球的表面积和体积公式，会计算球 的表面积和体积
.2.
能解决与球有关的
组合体的计算问题
.

知识点一

球的体积公式与表面积公式

4
1.
球 的体积公式
V
＝
π
R
3
(
其中
R
为球的半径
).
3
2.
球的表面积公式
S
＝
4π
R
2
.
思考

球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？

答

球没有底面，球的表面不能展开成平面
.
知识点二

球体的截面的特点

1.
球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它 的任何截面均为圆，它的三视图也都
是圆
.
2.
利用球半径、截面圆半径、 球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问
题的主要途径
.

题型一

球的表面积和体积

例
1

(1)
已知球的表面积为
64π
，求它的体积；

500
(2)
已知球的体积为
π
，求它的表面积
.
3
解

(1)
设球的半径为
R
，则
4π< br>R
2
＝
64π
，解得
R
＝
4
，
4
4
256
所以球的体积
V
＝
π
R
3
＝
π·4
3
＝
π.

3
3
3
仅供学习与参考

学习资料

4< br>500
(2)
设球的半径为
R
，则
π
R
3< br>＝
π
，解得
R
＝
5
，

3
3
所以球的表面积
S
＝
4π
R
2
＝
4π< br>×
5
2
＝
100π.



跟踪训练
1

一个球的表面积是
16π
，则它的体积是
(


)
64π
32π
A.64π

B.


C.32π

D.

3
3
答案

D
4
解析

设球的半径为
R
，
则由题意 可知
4π
R
2
＝
16π
，
故
R
＝
2.
所以球的半径为
2
，
体积
V
＝
πR
3
3
32
＝
π.

3
题型二

球的截面问题

例
2

平面
α
截球
O
的球面所得圆的半径为
1.
球心
O
到平面
α
的距离为
2
，则此球的体积
为
(


)
A.
6
π

B.4
3
π

C.4
6
π

D.6
3
π

答案

B
解析

如图，设截面圆的圆心为
O
′
，

M
为截面圆上任一点，

则
OO
′
＝
2< br>，
O
′
M
＝
1.
∴
OM
＝

2

2
＋
1
＝
3.
即球的半径为
3.
4
∴
V
＝
π(
3)< br>3
＝
4
3
π.

3
跟踪训练
2

已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为
3
，
5
，
15
，
则它的外接球表面积
为
__ ______.
仅供学习与参考

学习资料

答案

9π

解析

如图，是过长方体的一条体对角线
AB
的截面，设长方体有公共
顶点的三条棱的长分别为
x
，
y
，
z
，则由已知，


xy
＝
得

yz< br>＝

zx
＝
3
，
5
，
15
，


x
＝
3
，
解得

y
＝
1
，

z
＝
5.


11
3
所以球的半径
R
＝
AB
＝
x
2< br>＋
y
2
＋
z
2
＝
，

2< br>2
2
所以
S
球
＝
4π
R
2
＝
9π.

题型三

球的组合体与三视图

例
3

某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积
.

解

由三视图可知该几何体的下部是棱长为
2
的正方体，
上部是半径为
1
的半球，
该几何体
的表面积为

1
S
＝
×
4π
×
1
2
＋
6
×
2
2
－
π
×
1
2
＝
24
＋
π.

2
该几何体的体积为

1
4
2
π
V
＝
2
3
＋
×
π
×
1
3
＝
8
＋
.
2
3
3

跟踪训练
3

有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条 棱相切，第三
个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比
.
仅供学习与参考

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解

设正方体的棱长为
a
.
①
正方体的内切球球心是正方体的中心，

切点是正方体六个面的中心，

经过四个切点及球心作截面，

如图
(1)
所示，则有
2
r
1
＝
a
，

a
2
即
r
1
＝
，所以
S
1
＝
4π
r
2
1
＝
π
a
.
2

②
球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，

2
a
，

2
如图
(2)
所示，则
2
r
2
＝
2
a
，即
r
2
＝
2
所以
S
2
＝
4π
r
2
2
＝< br>2π
a
.
③
正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，

3
a
，

2
如图
(3)
所示，则有
2
r
3
＝
3
a
，即
r
3
＝2
所以
S
3
＝
4π
r
2
3
＝
3π
a
.
综上可得
S
1
∶
S
2
∶
S
3
＝
1
∶
2
∶
3.



仅供学习与参考

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轴截面的应用


例
4

有一个倒圆锥形容器，它 的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为
r
的铁
球，并注入水，使水面没过 铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度
.
分析

分别表 示出取出铁球前后水的体积
→
由水的体积不变建立等式
→
求出所求量
.
解

如图，
⊙
O
是球的最大截面，它内切于
△
ABC
，球的半径为
r
.
设将球取出后，水平面在
MN处，
MN
与
CD
交于点
E
.
则
DO< br>＝
r
，
AD
＝
3
r
，
AB
＝
AC
＝
BC
＝
2
3
r
，
1
1
π·
ME
2
·
CE

∶

π·
AD
2
·
CD

＝
CE
3
∶
CD
3
.
∴
CD
＝
3
r.
由图形知
V
圆锥
CE
∶
V
圆锥
CD
＝


3


3


π
又
∵
V
圆锥
CD
＝
(
3
r
)
2
·
3
r
＝
3π
r
3
，
3
4
5
V
圆锥
CE
＝
V
圆 锥
CD
－
V
球
O
＝
3π
r
3－
π
r
3
＝
π
r
3
，
3
3
5π
r
3
3
∴
∶
3π
r
3
＝
CE
3
∶
(3
r
)
3
，
∴
CE
＝
15
r
.
3
3
∴
球从容器中取出后，水的深度为
15
r
.



1.
直径为
6
的球的表面积和体积分别是
(


)
A.36π
，
144π


C.144π
，
36π


仅供学习与参考

B.36π
，
36π

D.144π
，
144π

学习资料

2.
若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于
(


)
1
A.


B.1

C.2

D.3
2
3.
两个半径为
1
的实心铁球，熔化 成一个球，这个大球的半径是
________.

4.
若球的半径由R
增加为
2
R
，则这个球的体积变为原来的
________< br>倍，表面积变为原来的
________
倍
.
5.
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为
________.




一、选择题

1.
设正方体的表面积为
24
，那么其外接球的体积是
(


)
4
8π
A.
π






B.







C.4
3
π





D.32
3
π

3
3
2.
一个正方体的八 个顶点都在半径为
1
的球面上，则正方体的表面积为
(


)
A.8







B.8
2





C.8
3






D.4
2
3.< br>两个球的半径之比为
1
∶
3
，那么两个球的表面积之比为
(< br>

)
A.1
∶
9




B.1
∶
27



C.1
∶
3






D.1
∶
1
4.
设正方体的表面积为
24 cm
2
，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是
(


)
仅供学习与参考

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