西方音乐-市场潜力

2021年2月1日发(作者：碟中碟5)

一、考前学会
7
种审题方法

方
法
在高 考中，
不少同学遇到较为综合的数学试题不会审题，
破解题目无从下手，
找不到
概
述
该题的切入点；
另有一些同学虽然对该题解答有一定的思路但也因解答不规范出 现
“
会而不
对，对而不全
”
．
如何审题、如何解答规范已成 为制约考生的两大难点，针对这些问题本文
特聘全国著名专家名师导学，
教你活用七种审题方法 及规范解答模板，
使解答数学问题不再
难．

一

审条件

—————————————————————————

条件是解题的主要材料，
充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．
审视条件要充
分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．


(
满分12
分
)
△
ABC
中，
D
是
BC上的点，
AD
平分∠
BAC
，△
ABD
面积是△
ADC
面积的
2
倍．

(1)
求

sin
B
；

sin
C
2
，求
BD
和
AC
的长．

2
(2)
若
AD
＝
1
，
DC
＝
[< br>审题路线图
]


(1)

(2)



1
1
[
规范解答
]

(1)
S
△
ABD
＝
AB
·
AD
sin
∠
BAD
，
S
△
ADC
＝
AC
·
AD
sin
∠
CAD
.(1
分
)

22
因为
S
△
ABD
＝
2
S
△
ADC
，
∠
BAD
＝
∠
CAD
，

所以
AB
＝
2
AC
.(4
分
)

sin
B
AC
1
由正弦定理
，
得
＝＝
.(6
分
)

sin
C
AB
2< br>(2)
因为
S
△
ABD
∶
S
△
AD C
＝
BD
∶
DC
，

所以
BD
＝
2.(8
分
)

在
△
ABD
和
△
ADC
中
，
由余弦定理
，知

AB
2
＝
AD
2
＋
BD
2
－
2
AD
·
BD
cos
∠
ADB
，

AC
2
＝
AD
2
＋
DC
2
－
2
AD
·
DC
cos
∠
ADC
.(10
分
)

故
AB
2
＋
2
A C
2
＝
3
AD
2
＋
BD
2
＋2
DC
2
＝
6.

由
(1)
知
AB
＝
2
AC
，
所以
AC
＝
1.(12
分
)


解三角形的步骤

第一步：定条件
，
即确定三角形中的已知和所求
，
在图形中标注出来
，
然后确定转 化的
方向．

第二步：定工具
，
即根据条件和所求合理选择转化的工 具
，
实施边角之间的互化．

第三步：求结果．

第四步： 回顾反思
，
在实施边角互化的时候应注意转化的方向
，一般有两种思路：
一是
全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形．

第五步：反思回顾
，
查看关键点、易错点及解题规范．

[
跟踪训练
]
1
．
(2016·
太原模拟
)
已知
a
，
b
，
c
分别为锐角△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边，
且
3a
＝
2csin
A
.
(1)
求角
C
；

3
3
(2)
若
c
＝
7
，且△
ABC
的面积为
，求
a＋
b
的值．

2
[
解
] (1)
由
3
a
＝
2
c
sin
A
及正弦定理得
，

3sin
A
＝
2sin
C
sin
A
，

因为
sin
A
≠
0
，
所以
sin
C
＝
3
，

2
π
因为
△
ABC
是锐角三角形
，
所以
C
＝
.

3< br>π
3
3
(2)
因为
C
＝
，
△
ABC
的面积为
，

3
2
1
π
3
3
所以
ab
sin
＝
，
即
ab
＝
6.
①

2
3
2
π
因为
c
＝
7
，
由余弦定理得a
2
＋
b
2
－
2
ab
cos
＝
7
，

3
即
(
a
＋
b
)
2
＝
3
ab
＋
7.
②

将
①
代入
②
得
(
a
＋
b
)2
＝
25
，
故
a
＋
b
＝
5.
二

审结论

—————————————————————————

问题解决的最终目标就是求 出结论或说明已给结论正确或错误．
因而解决问题时的思维
过程大多都是围绕着结论这个目标进 行定向思考的．
审视结论，
就是在结论的启发下，
探索
已知条件和结论之间的 内在联系和转化规律．
善于从结论中捕捉解题信息，
善于对结论进行
转化，使之逐步靠 近条件，从而发现和确定解题方向．


(
满分
12
分)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
3
a
n
＋
1.
1


(1)
证明

a
n
＋
2

是等比数列，并求
{
a
n< br>}
的通项公式；



1
1
1
3< br>(2)
证明：
＋
＋…＋
<
.
a
1
a
2
a
n
2
[
审题路线图
]


1
a
n
＋
1
＋
2
1


(1)
要证

a
n
＋
2

是等比 数列
⇔
需证
为常数
1


a
n
＋
2
1
1
1
3
(2)
要证
＋
＋…＋
<

a
1
a
2
a
n
2
结论


1
1
a
n
＋

.(2
分
)


[
规范解答
]

(1)
由
a
n
＋
1
＝
3
a
n
＋
1
得
a
n
＋
1
＋
＝
3

2

2

1
3
又
a
1
＋
＝
，

2
2
1


3
所以

an
＋
2

是首项为
，
公比为
3
的等比 数列．

2


(4
分
)

1
3
n
所以
a
n
＋
＝
，

2
2
3
n
－
1
因此
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
.(5
分
)
2
1
2
(2)
证明：
由
(1)
知< br>＝
n
.

a
n
3
－
1
因为 当
n
≥
1
时
，
3
n
－
1
≥
2
×
3
n
－
1
，

1
1
所以
n
≤
.(8
分
)
n
－
1
3
－
1
2
×
3
11
1
1
1
于是
＋
＋
…
＋
≤< br>1
＋
＋
…
＋
n
1

a
1< br>a
2
a
n
3
3
－
1
3
3< br>1
－
n

<
.(11
分
)

＝

3

2
2

1
1
1
3
所以
＋
＋
…
＋
<
.(12
分
)
a
1
a
2
a
n
2

数列判断及数列不等式证明的步骤

第一步：通过赋值求特殊项．

第二步：变换递推关系
，
转化为
“
a
n
＋
1
＋
C
＝
A
(
a
n
＋
C
)
”
或
“
a
n
＋
1
－
a
n
＝
d
”，
再利用
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
(
n
≥
2)
确定通项公 式
a
n
，
但要注意等式成立的条件
，
同时要验证
n
＝
1
时
，
通项公
式
a
n
是否成立 ．

第三步：
若所证数列不等式两边均是整式多项式
，
可以借助比较 法；
若所证数列能够求
和，且所证不等式与和式有关，可先求出其和，再借助放缩法证明等．< br>
第四步：得出所求证的结论．

第五步：反思回顾
，
查看关键点、易错点及解题规范．

[
跟踪训练
]
2
．已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
n
∈N
*
，且点
(2
，
a
2
)
，
(
a
7
，
S
3
)
均在直线
x
－< br>y
＋
1
＝
0
上．

(1)
求数列< br>{
a
n
}
的通项公式及前
n
项和
S
n
；

2
(2)
设
b
n
＝
，T
n
＝
2
b
1
·
2
b
2·…·
2
b
n
，证明
T
n
<2
2.
2
S
n
－
n
[
解
] (1)
设等 差数列
{
a
n
}
的公差为
d
.



a
2
＝
3
，
由点
(2
，a
2
)
，
(
a
7
，
S
3)
均在直线
x
－
y
＋
1
＝
0
上
，
得



a
7
－
S
3
＋
1
＝
0.

又
S
3
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
3
a
2
，
所以
a
7
＝
8.

< br>
a
1
＋
d
＝
3
，
所以



a
1
＋
6
d
＝
8
，



a
1
＝
2
，
所以




d
＝
1.
n
（
n
＋
3
）
所以
a
n
＝
n
＋
1，
S
n
＝
.

2
2
2
11
(2)
证明：
b
n
＝
＝
＝
－
.

2
S
n
－
n
n
（
n
＋
2
）
n
n
＋
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
令
P
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
n
，
则
P
n
＝
1
－
＋
－
＋
…
＋
－
＋
－
＝
－
－
3
2
4
n
2
n
－
1
n
＋
1
n
＋
2
n
＋
1
，

n
＋
2
因为
n
∈
N
*
，

3
所以
P
n
<
，

2
所以
T
n
＝
2
b
1
·
2
b
2
·…
·
2
b
n
＝
2
b
1
＋b
2
＋
…
＋
b
n
＝
2
Pn
<2
，
所以
T
n
<2
2.

三

审结构

—————————————————————————

结构是数学问题的搭配形式 ，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关
系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以 实现解题突破．

π

(
满分
12
分
)< br>已知函数
f
(
x
)
＝
sin(
x
＋
θ
)
＋
a
cos(
x
＋
2
θ)
．若
a
＝
2
，
θ
＝
.
4
(1)
求
f
(
x
)
在区间
[0
，
π]
上的最大值与最小值；

3
2
1
π
π
3
5
－
A

＝
，
f

B
－

＝
，求
cos
C
的值．

(2)
在△
ABC
中，若
f


4
13

4

5
[
审题路线图
]


(1)

π
π
x
＋

＋
2cos

x
＋


[
规范解答
]

(1)
f
(
x
)
＝
sin


4


2

＝
＝
2
(sin
x
＋
cos
x
)
－
2sin
x

2
π

2
2
cos
x
－
sin
x
＝
sin


4
－
x

.(3
分
)

2
2

3π
π
π
－
，

.

因为
x
∈
[0
，
π
]
，
所以
－
x< br>∈


4
4

4
故
f
(< br>x
)
在
[0
，
π
]
上的最大值为
( 6
分
)

π


π
5
－
x
，
f
－
A

＝
，

(2)由
f
(
x
)
＝
sin


4


4

13
π
3
5
1
3
2
B
－

＝
，
知
sin
A
＝
<
，
cos
B
＝
<
，

f


4

5
13
2
5
2
π
5
π
所以
0<
A
<
或
π
<
A
<
π
，B
>
.(9
分
)

6
6
4
π
又因为在
△
ABC
中
，
所以
0<
A
<
，
(10
分
)

6
12
4
所以
cos
A
＝
，
sin
B
＝
，

13
5
16
所以
cos
C
＝－
cos(
A
＋
B
)
＝－
.(12
分
)

65
2
，
最小值为－
1.

2

三角函数的性质及求值问题的步骤

第一步：三角函数式的化简
，
一 般化成
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)
＋
h
的形式或
y
＝
A
cos(
ωx
＋< br>φ
)
＋
h
的形式．

第二步：将
“
ωx
＋
φ
”
看作一个整体
，
转化为解不等式问题或确定其范 围．根据性质确
定出
f
(
x
)
的最值．

第三步：根据三角函数的和、差角公式及三角形的内角和求出某个角的三角函数值．

第四步：反思回顾
，
查看关键点、易错点及解题规范．

[
跟踪训练
]
π
1
ω
x
－
< br>(
x
∈
R
，
ω
为常数且
<
ω
<1)
，函
3
．
(2016·
青岛模拟
)
已知函 数
f
(
x
)
＝
sin
2
ω
x－
sin
2

6


2
数
f
(
x
)
的图象关于直线
x
＝
π
对称．
(1)
求函数
f
(
x
)
的最小正周期；

3

1
(2)
在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
a
＝
1
，
f


5A

＝
4
，求△
ABC
面
积的最大值．

π
ω
x
－


[
解
] (1 )
f
(
x
)
＝
sin
2
ω
x－
sin
2

6



2
ω x
－
π

1
－
cos
1
－
cos 2
ωx
3


＝
－

2
2
1
1
1
3
＝

cos 2
ωx
＋
sin 2
ωx

－
cos 2
ωx

2

2
2

2
π
1
3
1
1
2
ω
x
－

.

＝

sin 2
ωx
－
cos 2
ωx

＝
sin

6

2

2
2< br>
2

由函数
f
(
x
)
的图象关于 直线
x
＝
π
对称
，
可得

π
2< br>ω
π
－

＝
±
sin

1
，

6


π
π
k
1
所以
2
ω
π
－
＝
k
π
＋
(
k
∈
Z
)
，
即
ω
＝
＋
(
k
∈
Z
)
，

6
2
2
3
1

5
，
1
，
k
∈
Z
，
所以k
＝
1
，
ω
＝
.

因为
ω< br>∈


2

6
5
π

1< br>x
－
，

所以
f
(
x
)
＝
sin

2

3
6

则函数
f< br>(
x
)
的最小正周期
T
＝
2
π
6< br>π
＝
.

5
5
3
5
π
< br>1
x
－
，

(2)
因为
f
(
x
)
＝
sin

2

3
6
< br>3

1

π
1
A
＝
sin
A
－

＝
，

所以
f


5

2

6

4
π
1
A
－

＝
.

所以
sin


6

2
π
π
5
π
因为
0<
A
<π
，
所以－
<
A
－
<
，

6
6
6
π
π
π
所以
A
－
＝
，
A
＝
.

6
6
3
π
因为
a
＝
1
，
所以
1
＝
b
2
＋c
2
－
2
bc
cos
＝
b
2
＋
c
2
－
bc
≥
2
bc
－
bc
＝
bc
，
即
bc
≤
1
，
当且仅当
3
b
＝
c
时取等号
，

1
33
所以
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
＝
bc
≤
，

2
4
4
所以
△
ABC
面积的最大值为
3
.
4
四

审范围

—————————————————————————

范围是对数学概念、
公式、
定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件．
审视范围
要适时利用相关量的约束条件，从整体上把握问题的解决方向．


(
满分
12
分
)
已知函数
f
(
x
)
＝
ln
x
＋
a
(1
－
x
)
．

(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性；

(2)
当
f
(
x
)
有最大值，且最大值大于
2< br>a
－
2
时，求
a
的取值范围．

[
审题路线图
]


(1)
f
(
x
)
―
―
→
f
′(
x
)
―
―
→
f
′
(
x
)
的正负―
→结论．
(2)
由
(1)
知―
→
f
(
x)
的最值―
―
→
ln
a
＋
a
－1
＜
0
―
―
→
g
(
a
)―
→
a
的范围．

1
[
规范解答
]

(1)
f
(
x
)
的定义域为
(0
，
＋
∞
)
，
f
′(
x
)
＝
－
a
.(1
分
)
x
若
a
≤
0
，
则
f
′(< br>x
)
＞
0
，
所以
f
(
x
)
在
(0
，
＋
∞
)
上单调递增．

(3
分
)

1
1
1
0
，

时
，
f
′(
x
)
＞
0
；当x
∈

，
＋
∞

时
，
f′(
x
)
＜
0.
所以
f
(
x
)
在

0
，

上
若
a
＞
0
，
则当
x
∈


a


a


a

1

单调递增
，
在


a
，
＋
∞

上单调递减．
( 6
分
)

(2)
由
(1)
知
，
当
a
≤
0
时
，
f
(
x
)
在
(0
，
＋
∞
)
上无最大值；

转化
构造函数
x
＞
0
对
a
讨论
(7
分
)

1
当
a
＞
0
时
，
f
(
x
)
在
x
＝
处取得最大值
，
最大值为

a
1


1

＋
a

1
－
1

＝－
ln
a
＋
a
－
1.(9
分
)

f
＝
ln

a


a

< br>a

1

因此
f


a

＞
2
a
－
2
等价于
ln
a
＋< br>a
－
1
＜
0.(10
分
)

令
g
(
a
)
＝
ln
a
＋
a
－
1
，
则
g
(
a
)
在
(0
，
＋
∞
)
上单调递增
，

g
(1)
＝
0.

于是
，
当
0< br>＜
a
＜
1
时
，
g
(
a
)< br>＜
0
；当
a
＞
1
时
，
g
(
a
)
＞
0.

因此
，
a
的取值范 围是
(0
，
1)
．
(12
分
)

求解函数的单调性、最值、极值问题的步骤

第一步：确定函数的定义域．如本题函数 定义域为
(0
，
＋
∞
)
．

第二步：求函 数
f
(
x
)
的导数
f
′(
x
)< br>．

第三步：求方程
f
′(
x
)
＝
0
的根．

第四步：利用
f
′(
x
)
＝< br>0
的根和不可导点的
x
的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开
区间
，
并列出表格．

第五步：由
f
′(
x
)
在小开区间的正、负值判断
f
(
x
)
在小开区间内的单调性
，
求极值、最值．

第六步：明确规范地表述结论．

第七步：反思回顾
，
查看关键点、易错点及解题规范．

[
跟踪训练
]
4
．
(2016·
合肥模拟
)
已知函数
f
(
x
)
＝
e
x
－
x
ln
x
，
g
(
x
)
＝
e
x
－
tx
2
＋
x
，
t
∈R
，其中
e
为自然对
数的底数．

(1)
求函 数
f
(
x
)
的图象在点
(1
，
f
(1))
处的切线方程；

(2)
若
g
(
x
)
≥
f
(
x
)
对任意
x
∈
(0
，＋∞
)
恒成立，求
t
的取值范围．

[
解
] (1)
由
f
(
x
)
＝< br>e
x
－
x
ln
x
易知
f
′(x
)
＝
e
－
ln
x
－
1
，
则
f
′(1)
＝
e
－
1
，
而f
(1)
＝
e
，

则所求切线方程为
y
－
e
＝
(e
－
1)(
x
－
1)
，

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