数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一伽罗华
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2021年02月01日 02:39
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数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一伽罗华
伽罗华（
Évariste Galois
，公元
1811< br>年
~
公元
1
832
年）是法国对函数论、方程式论和数论作出 重要贡献的数学
家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这
些进展都源自他 尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（
So
lution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（
Abe
l
）所证明，只不过伽罗华并不知道 ），和描述任意多项式方程可
解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文，但当他于
1 829
年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西
（
Cauchy
）遗失了，第二次则被傅立叶（
Fourier
）所遗失；他
还与巴黎综合理工大学 （
École Polytechnique
）的口试主考人发生顶撞而被拒绝
给予一个职位。在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写
反君主 制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文均
被泊松（
Po isson
）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，
时年
21
岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。
Galois
小传：
1832
年
5
月
30
日清晨，
在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，
过 路
的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早
晨十点， 这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止
了思考。后来的一些著名数学 家们说，
他的死使数学的发展被推迟了几十年
，他就是
伽罗华。
天才的童年
1811
年
10月
25
日，
伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗华街的第
54
号房
屋内。现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：
“
法国著名数学家埃瓦里 斯特
•
伽罗华生于此，卒年
20
岁，
1811
～
1 832
年
”
。
纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者
迄今公认的、曾 有特殊功绩的、卓越的数学家
——
伽罗华表示敬意，于
1909
年
6
月
设置的。
伽罗华的双亲都受过良好的教育。在父母 的熏陶下，伽罗华童年时代就表现出有
才能、认真、热心等良好的品格。其父尼古拉
•
加布里埃尔
•
伽罗华参与政界活动属自
由党人，是拿破仑的积极支持者。主持过供少年 就学的学校，任该校校长。又担任拉
赖因堡
15
年常任市长，深受市民的拥戴。伽罗华 曾向同监的难友勒斯拜
——
法国著
名的政治家、化学家和医生说过：
“
父亲是他的一切
”
。
可见父亲的政治态度和当时法国
的革命热潮对伽罗华的 成长和处事有较大的影响。
伽罗华的母亲玛利亚
•
阿 代累达
•
伽罗华曾积极参与儿子的启蒙教育。作为古代文
化的热烈爱好者，她把从拉丁 和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。
1848
年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽 罗华的传记中，特别谈到
“
伽罗华的第一位教
师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇 女，当他还在童稚时，她一直给他上课
”
。
这
就为伽罗华在中学阶段的学习和 以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。
1
182 3
年
l0
月伽罗华年满
12
岁时，离开了双亲，考入有名的路易•
勒
•
格兰皇家中
学。从他的老师们保存的有关他在中学生活的回忆录和 笔记中，记载着伽罗华是位具
有
“
杰出的才干
”
，
“
举止不凡
”
，
但又
“
为人乖僻、古怪、过分多嘴
”
性格的人。我们认为这
种性格说明他有个性，而且早已显露出强烈的求知欲的标志。
伽罗华在路易
•
勒
•
格兰皇家中学领奖学金， 完全靠公费生活。在第四、第三和第
二年级时他都是优等生，在希腊语作文总比赛中也获得好评，并且在
1826
年
l0
月转
到修辞班学习。
但是第二学季一开始
(
伽罗华这时刚满
15
岁
)
， 由于教师们认为他的体格不够强
壮，校长认为他的判断力还有待
“
成熟
”，
他不得不回到二年级。重修二年级，使伽罗
华有机会毫无阻碍地被批准去上初级数学的补 充课程。
自此他把大部分时间和主要精
力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。
伽罗华经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的《几何原< br>理》和拉格朗日的《代数方程的解法》
、
《解析函数论》
、
《微积分学 教程》进行了认真
分析和研究，但他并未失去对其他科目的兴趣。
因此，当
1827
年伽罗华回到修辞班时，他的全面发展甚至比他的数学的天分在
同学之中更加出人头地了。
但是他对其它科目的教科书的内容以及教师所采用的教学
法之潦草马 虎感到愤怒。所以有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍，有的教师用
七个字
“
平静 会使他激怒
”
来形容他的行为。
这时伽罗华已经熟悉 欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为
他能够做到的，不会比这些大数学家们少。到 了学年末，他不再去听任何专业课了，
而在独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。结果 尽管考试失败，但
1828
年
10
月，他仍然从中学初级数学班跳到里夏尔的 数学专业班。
路易
•
勒
•
格兰中学 的数学专业班教师里夏尔，在科学史上，他作为一个很有才华
的教师使人追念。里夏尔不仅讲课风格优雅 ，而且善于发掘天才。他遗留下的笔记中
记载着：
“
伽罗华只宜在数学的尖端领域中工 作
”
，
“
他大大地超过了全体同学
”
。
里夏尔帮助伽罗华于
1828
年在法国第一个专业数学杂志
《纯粹 与应用数学年报》
三月号上，发表了他的第一篇论文
—
《周期连分数一个定理的证明》
，并说服伽罗华
向科学院递送备忘录。
1829
年，伽罗华在他中学学年快要 结束时，把他研究的初步
结果的论文提交给法国科学院。
18 29
年，中学学年结束后，伽罗伽罗华瓦刚满
18
岁，他在报考巴黎综合技术学
校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷
•
德
•
富尔西对伽罗华阐述 的见解不理
解，居然嘲笑他。伽罗华在提及这次考试时，曾写道，他不得不听
“
主考人 的狂笑声
”
。
据说
“
由于被狂笑声所激怒
”
，他把黑板擦布扔到主考人头上，或是因为他拒绝回答有
关关于对数这样的过于简单的问题，所以再次 遭到落选，伽罗华仍然是一个非正式的
预备生。
1829年
7
月
2
日，正当伽罗华准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧
师的攻击、
诽谤而自杀了。
这给了伽罗华很大的触动，
他的思想开始倾向于共 和主义。
其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定进师范大学，这使他有可能继续深造，同时
2
生活费用也有了着落。
1829
年
10
月
25
日伽罗华被作为预备生录取入学。
进入师范大学后的一年对伽 罗华来说是最顺利的一年，
1828
年他的科学研究获
得了初步成果。伽罗华写了几篇 大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学
特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折：伽罗华的 手稿原来交给科学院常任秘书傅
立叶，傅立叶收到手稿后不久就去世了。因而文章也被遗失了。这些著作 的某些抄本
落到数学杂志《费律萨克男爵通报》的杂志社手里，并在
1830
年的4
月号和
6
月号
上把它刊载了出来。
< br>在师范大学学习的第一年，伽罗华结认了奥古斯特
•
舍瓦利叶，舍瓦利叶直到伽
罗华临终前一直是他的唯一亲近的朋友。
1830
年
7
月，伽罗华将满
19
岁。他在师范
大学的第一年功课行将结束。他这时写成的数学著作，已经使人有可能对他 思想的独
创性和敏锐性作出评价。
数学世界的顽强斗士
19
世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高 次方程
就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次 和一元二次方程的求解方法。
关于三次方
程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法 ，这在唐朝数学家王孝通所编
的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《 数书九章》
的
“
正负开方术
”
里，充分研究了数字高次方程的求正根 法，也就是说，秦九韶那时候
已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方
程解的公式
——
卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里 亚首先得到的
,
后来被米兰地
区的数学家卡尔达诺
(1501
～1576
年
)
问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自
己的著作里。 所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式
(
或称卡当公式
)
，
三次方程被解出来后，
一般的四次方程很快就被意大利的费拉里
(1522
～
1560
年
)
解出。这就很自然的促使数学家们继续努 力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世
纪，都没有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在
“< br>向人类的智慧挑战
”
。
1770
年， 拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出
了方程的预解式概念，
并且 还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式
不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的 代数方法可能不存在。此后，挪威数
学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存 在代数解的证
明。
伽罗华通过改进数学大师拉格朗日的思想， 即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格
朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起 来的思想，并在
阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。
这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方
3
程的伽罗华域，
这个域对应一个群，
即这个方程根的置换群，
称为这方程的伽 罗华群。
伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；
当且仅当一个方程的伽罗华群是< br>可解群时，这方程是根式可解的。
1829
年，伽罗华 在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论
文提交给法国科学院，
科学院委托 当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定
人。在
1830
年
1
月
18
日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的
意见听取会。他在 一封信中写道：
“
今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的
工作报告
……
但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会
议，讨论已指明的议 题。
”
然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并
未介绍伽罗华的著作 ，这是一个非常微妙的
“
事故
”
。
1830
年
2
月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立
叶在当年
5
月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的
两次数学论文都被 遗失了。
对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被 丢失，得不到应有
的支持，
但他并没有灰心，
他坚持他的科研成果，
不仅一次 又一次地想办法传播出去，
还进一步向更广的领域探索。
天才的陨落
伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的 复辟时期，又赶上路易
•
腓力
浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团
— —
共和派的秘密组织
“
人民之友
”
的成
员，并发誓：
“
如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命
”
。
伽罗华敢于对政治上的动摇分子和两面派进行顽强的斗争，
年轻热情的伽罗华对师范大学教育组织极为不满。
由于他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派
行为， 被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民教育委员会顾问库申起草报告，皇家国民教育
委员会
1831< br>年
1
月
8
日批准立即将伽罗华开除出师范大学。
之后，
他进一步积极参加政治活动。
1831
年
5
月
l0
日，
伽罗华以
“
企图暗杀国王
”
的罪名被 捕。在
6
月
15
日陪审法庭上，由于共和党人的律师窦本的努力，伽罗华被< br>宣告无罪当场获释。七月，被反动王朝视为危险分子的伽罗华在国庆节示威时再次被
抓，被关在圣 佩拉吉监狱，在这里庆祝过他的
20
岁生日，渡过了他生命的最后一年
的大部分时间。
在监狱中伽罗华一方面与官方进行不妥协的斗争，
另一面他还 抓紧时间刻苦钻研
数学。尽管牢房里条件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。
伽罗华在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：
“
把数学运算 归类，学会按照难
易程度，
而不是按照它们的外部特征加以分类，
这就是我所理解的未 来数学家的任务，
这就是我所要走的道路。
”
请注意到
“
把数学运算 归类
”
这句话，道出了他的理想、他的
道路。毋庸置疑，这句话系指点目前所称的群论 。由于其后好几代数学家的工作，最
终才实现了伽罗华的理想。
正是他的著作，
标志着 旧数学史的结束和新数学史的开始。
l832
年
3< br>月
16
日伽罗华获释后不久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了
4