数学史话校本课程教案
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2021年02月01日 02:52
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数学史话教案
xx
二中
1xx
艳阳
xx
珍
第
1xx
数学史话概述
课时：
2
课时
教学目标：
了解数学发展的背景，理解重要数学事件对数学尿的意义。
教学方式：
阅读史料、讨论思考、感悟总结
主题：
数学发展的显著变化
知识理解：
数学是研究现实世界中数量关系 和空间形式的科学。简单地说，就是研究
数和形的科学。
由于生活和劳动上的需求， 即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并
由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商 代，即已出现用十
进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。
在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行
的开平方、开立方的计算法则 ，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组
的方法，还引入了负数概念。
刘徽在 他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方
根的奇零部分，但直至唐宋时期
(
欧洲则在
16
世纪斯蒂文以后
)
十进制小数才获
通用。 在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世
求圆周率的一般方法。
1
/
24
虽然中国 从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已
完成了实数系统的一切运算法则与方法， 这不仅在应用上不可缺，也为数学初
期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区， 则偏重于
数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中，
即有素数 的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。
古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数 。
16
世纪以来，由于解高次
方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化， 并依据数的不同运算
规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。
开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》
中，已出现解某种特殊形式 的二次方程。发展至宋元时代，引进了
“
天元
”(
即未
知数
)
的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联
立方程组的解的方法 ，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表
达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数 学。
在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通
常被视 为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具
有同一风格。中国古代数学致力于 方程的具体求解，而源于古希腊、
216
世纪
时，韦达以文字代替方程系数，引入了代 数的符号演算。对代数方程解的性质
进行探讨，是从线性方程组引出的行列式、矩阵、线性空间、线性变 换等概念
与理论的出现；从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论
与群论的 创立。而近代极为活跃的代数几何，则无非是高次联立代数方程组解
所构成的集合的理论研究。
早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数
惟一分解等论断。古希 腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。
16
世纪以
来，由于解高次方程又出现了复 数。在近代，数的概念更进一步抽象化，并依
据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探 讨，形成数学中的
若干不同分支。
开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到 的运算。在《九章算
术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了
“< br>天
元
”(
即未知数
)
的明确观念，出现了求高次方程数值解与 求多至四个未知数的高
2
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次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项
式的表 达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。
在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子 的著作阐述了二次方程的解法，通
常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何 方法具
有同一风
第
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数学史
课时：
2
课时
教学目标：
了解解析数学发展的背景，理解重要数学事件的意义。
教学方式：
阅读史料、讨论思考、感悟总结
主题：
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数学显著变化
过程：
数学是中国古代科学中一门重 要的学科，根据中国古代数学发展的特点，
可以分为五个时期：
萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
xx
古代数学的萌芽
原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的 概念有了进一步的
发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示
1234
的符号。 到原始公社末
期，已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1
～
8
个圆点组成的等边三角形和分正方形为
100
个小正方形 的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确
3
/
24
定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具 。据《史记
·
夏本纪》
记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
3
商代 中期，在甲骨文中已产生一套十进
制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干 和十二
个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等
60
个名称来记
60
天 的日期；在周代，
又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示
64< br>种事
物。
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远 的方
法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记
·
内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、
乐、射、驭、书、数的 训练，作为
“
六艺
”
之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，
这种记数法对世界数学的发展是 有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产
上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。
< br>战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的
争论直接与数学有关。名 家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不
同，他们提出
“
矩不方，规不可以 为圆
”
，把
“
大一
”(
无穷大
)
定义为< br>“
至大无外
”
，
“
小一
”(
无穷小
)
定义为
“
至小无内
”
。还提出了
“
一尺之棰，日 取其半，万世不竭
”
等命题
.
而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和 不同深度反映物。墨家
给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次
(
相切
)
、端
(
点
)
等等。
墨家不同意
“
一尺之棰
”
的命题，提出一个
“
非半
”
的命题来进行反驳 ：
将一线段按一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的
“
非半< br>”
，
这个
“
非半
”
就是点。
名家 的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了
这种无限分割的变化和结果。名家和 墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中
国古代数学理论的发展是很有意义的。
xx
古代数学体系的形成
第
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数学
4
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课时：
2
课时
教学目标：
了解解析数学发展的背景，理解重要数学事件的意义。
教学方式：
阅读史料、讨论思考、感悟总结
主题：
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数学显著变化
3
．
xx
数学
古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北
面的马其顿和色雷斯、意大 利半岛和小亚细亚等地。公元前
5
、
6
世纪，特别是希、波战争以 后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济
生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂 的希腊文化，
对后世有深远的影响。
4
希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期 从伊奥
尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期
是亚历山大 前期，从欧几里得起到公元前
146
年，希腊陷于罗马为止；第三期
是亚历山大后期， 是罗马人统治下的时期，结束于
641
年亚历山大被阿拉伯人
占领。
从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数
学史料很少。不过希腊数学的 兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的
文化有密切关系。
伊奥尼亚位于小亚 细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及
等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族 贵族政治为商人的统治所代
替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗< br>争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，
因此有相当程度的思 想自由。
5
/
24
这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒 斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊
哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代 流传
下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现
象中去寻找真 理，以水为万物的根源。
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。 他曾
预测一次日食，促使米太
(
在今黑海、里海之南
)
、吕底亚(
今土耳其西部
)
两国停
止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前< br>
585
年
5
月
28
日。他在埃及时曾利用日影及比 例关系算出金字塔的高，使
法老大为惊讶。
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的 证明，它标志着人们对客观事物
的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚 学派
的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有
很大的影响。
毕达哥拉斯公元前
580
年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半
岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。
后来在政治斗争中 遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个
世纪之久。
毕达哥拉斯学 派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说
万物都是数。他们以发现勾股定理
(
西方叫做毕达哥拉斯定理
)
闻名于世，又由此
导致不可通约量的发现。
这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三
个正整数表示直角 三角形三边长的一种公式，又注意到从
1
起连续的奇数和必
为平方数等等，这既是算术 问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。
伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不 同。前者研习数学并不单纯为
了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教 联
系起来，想通过数学去探索永恒的真理。
6
/
24
公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开 的精神。在公开
的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是
“
智 人学派
”
应运而生。
他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科 目为业。在数学
上，他们提出
“
三大问题
”
：
三 等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二
5
倍；化圆为方，求作一正方 形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是
作图只许用直尺
(
没有刻度的尺)
和圆规。
希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论 上去
解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
这 个学派的安提丰提出用
“
穷竭法
”
去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得
8
、
16
、
32
、
„
边形。安 提丰深信
“
最后
”
的多边形与圆的
“
差
”
必会
“
穷竭
”
。这提供了
求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆 术思想不谋而合。
公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但< br>片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的
学习培养逻辑思维能 力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规
律体现在具体的图形之中。
这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了
比例论，是欧几里得的前驱。柏 拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，
是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在 严密的逻辑体系之
中开辟了道路。
这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利 亚学派，他提出四个悖
论，给学术界以极大的震动。这四个悖论是：
7
/
24
二分说，一物从甲地 到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通
过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的 一半，这样分下去，永无
止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步；阿基< br>琉斯
(
善跑英雄
)
追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追 到乌龟的出
发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样
永远重 复下去，总也追不上；飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置
上，因此它是不动的；运动场问题， 芝诺论证了时间和它的一半相等。
以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体 ，是由许多不
可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚
严格 的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。
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数学
课时：
2
课时
教学目标：
了解解析数学发展的背景，理解重要数学事件的意义。
教学方式：
阅读史料、讨论思考、感悟总结
主题：
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数学显著变化
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、
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古代数学
埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前
3200
年6
左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，
要重新丈量居 民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐
发展成为几何学。
8
/
24
公元前
29 00
年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字
塔的结构，可知当时埃及人已 懂得不少天文和几何的知识。
例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。 现今对古
埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做
莱因德纸 草书，一卷藏在莫斯科。
埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫
僧侣文。
< br>除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木
头上的史料，藏于世界各 地。两卷纸草书的年代在公元前
1850
～前
1650
年之
间，相当 于中国的夏代。
埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如
111
，象形文字写成三个不同的字符，而不是将
1重复
三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次
方程的问 题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算
法，即把所有分数都化成单位分数(
即分子是
1
的分数
)
的和。莱因德纸草书用很
大的篇 幅来记载
2/N(N
从
5
到
101)
型的分数分解成单位分 数的结果。为什么要
这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实
际上阻碍了算术的进一步发展。
纸草书还给出圆面积的计算方法：
将直 径减去它的之后再平方。计算的结果相当于用
3.1605
作为圆周率，不
过他们并没 有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱
台体积的计算方法。总之，古代埃及人 积累了一定的实践经验，但还没有上升
为系统的理论。
第
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中世纪
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数学
课时：
2
课时
教学目标：
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了解解析数学发展的背景，理解重要数学事件的意义。
教学方式：
阅读史料、讨论思考、感悟总结
主题：
中世纪
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数学显著变化
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中世纪数学
中世纪开始于公元
476< br>年西罗马帝国灭亡，约结束于
15
世纪。这一千年的
历史大致可以分为两段。十 一世纪之前常称为黑暗时代，这时西欧在基督教神
学和烦琐哲学的教条统治下，人们失去了思想自由，生 产墨守成规，技术进步
缓慢，数学停滞不
7
前。十一世纪以后情况稍有好转。
希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少，这大部分体现在博伊西斯
(
约
480
～
524)
的著作中。他的《算术原理》大体上是新毕达哥拉斯学派数学家尼科
马霍斯《算术入门》的译本，但若干精采的命题均被删去。博伊西斯的《几
何》取材于欧几里得《几何 原本》，但却完全没有证明，因为他认为证明是多
余的。
公元
529
年，东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校，严禁研究和
传播数学。数学发展再一次受到沉重的 打击。此后数百年，值得称道的数学家
屈指可数，而且多是神职人员。
号称博学多才 的比德是英国的僧侣学者，终生在修道院度过。他的本领是
会算复活节
(
每年过春分月 圆后的第一个星期日
)
的日期，和用手指来计算。稍后
的阿尔昆也是著名的英国神学家 。
781
年左右，接受查理曼大帝的聘请，到法兰
克王国担任宫廷教师和顾问。他所编 的算术书，现在看来是相当粗浅的。热尔
贝原是兰斯的大主教，后被选为教皇，改名西尔威斯特二世。他 热心提倡学
术，对推动
“
四艺
”(
音乐、几何、算术、天文
)
的学习有一定的功劳。十字军远征
(1096
～
1291)
使欧洲 人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。
10
/
24
他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。于是希腊、印度 和阿拉伯人创造
的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。意大利地处东西方交通的要冲，
逐 渐成为新的经济和文化中心。
12
、
13
世纪欧洲数学界的代表人 物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度
-
阿
拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在 商业上的应用。
中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书
中。此外他还有很多独创性的工作。
14
世纪的法国主教奥尔斯姆引入了分指数记 法和坐标制的思想，后者是从
天文、地理的经纬度到近代坐标几何的过渡。英国大主教布雷德沃丁的算术 、
几何、力学的著作影响也很大。欧洲第一本系统的三角学作者是雷格蒙塔努
斯。
文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，迎接了一个新时
代的到来。
6
、十六、十七世纪数学
16
、
17
世纪的欧洲 ，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉
醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条 权威逐步被摧毁了。封建
社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场< br>手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展。
例如在航海方面， 为了确定船只的位置，要求更加精密的天文观测。军事
方面，弹道学成为研究的中心课题。准确时计的制 造，运河的开凿，堤坝的修
筑，行星的椭圆轨道理论等等，也都需要很多复杂的计算。古希腊以来的初等
数学，已渐渐不能满足当时的需要了。
在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件 ，向数学提出新的课题。首
先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。
他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为
刻不容缓的事，于 是开始制作每隔
10
的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，
11
/
24
雷蒂库斯和他的助手勤奋
8
工作达
12
年之久，直到死后才由他的弟子奥托完
成。
16世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测，在这个基
础上，德国天文学家开普勒总 结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引
力的发现。
开普勒的《酒桶的新立体 几何》将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成，从
而求出其体积。这是积分学的前驱工作。
意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分
利用数学工具去探索大自然 的奥秘。这些观点对科学
(
特别是物理和数学
)
的发展
有巨大的影响 。他的学生卡瓦列里创立了
“
不可分原理
”
。依靠这个原理他解决
了 许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。
“
不可分
”
的思想萌芽于
1620
年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼
茨微积 分的过渡。
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解析几何的诞生
课时：
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教学目标：
了解解析几何发展的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。
教学方式：
阅读史料、讨论思考、感悟总结
主题：
解析几何发展的显著变化
知识理解：
线索问题：
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斐波那契的主要数学贡献及其意义是什么？
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