空间几何体的表面积和体积公式大全.docx
巡山小妖精
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2021年02月01日 04:29
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.
空间几何体的表面积与体积公式大全
一、
1
、
全（表）面积（含侧面积）
柱体
① 棱柱
S
侧
c h
S
全
2
S
底
S
侧
h
h
② 圆柱
‘
底
S
S
2
、
锥体
1
① 棱锥：
② 圆锥：
3
、
S
S
棱锥侧
2
c
h
S
S
‘
全
底
1
S
侧
h
h
S
圆锥侧
2
c
l
底
台体
S
① 棱台：
S
1
棱台侧
2
2
(
c
上底
c
)h
下底
② 圆台：
4
、
S
球
4
S
棱台侧
1
(
2
c
上底
c
下底
l
)
S
全
S
上
S
S
侧
下
球体
r
S
上
S
上
① 球：
'
l
h
S
下
② 球冠：略
③ 球缺：略
二、
1
、
S
下
体积
柱体
① 棱柱
V
锥体
柱
S h
h
h
② 圆柱
2
、
S
S
① 棱锥
② 圆锥
V
1
柱
3
S h
h
h
S
S
.
.
3
、
台体
上
下
① 棱台
② 圆台
1
1
V
台
(
)
3
h S
2
S S
上
下
上下
S
2
S
上
S
h
上
V
球体
圆台
3
h
r
(
r
r
上
'
r
下
)
h
l
下
4
、
① 球：
V
4
球
3
r
3
S
下
S
② 球冠：略
③ 球缺：略
'
说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高
h
计算；而圆锥、圆台的侧面积计
算时使用母线
l
计算。
三、
拓展提高
1
、
祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）
夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截
面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2
、
阿基米德原理：（圆柱容球）
圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是
2r
的圆柱形容器内装一个最大的
2
。
球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的
3
.
2
.
3
分析：圆柱体积：
V
圆柱
S h
(
r
3
)
2r
2
r
2
圆柱侧面积：
S
圆柱侧
2
3
2
c h
r
2
( 2
r )
4
3
3
2r
4
r
因此：球体体积：
V
球
r
球体表面积：
球
S
通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）
4
r
+
=
即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体
积之和
3
、
台体体积公式
1
3
h
S
台
上
(
S
S
上
下
S
下
公式：
V
证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形
)
ABCD
。
延长两侧棱相交于一点
P
。
P
设台体上底面积为
下
S
上
，下底面积为
S
高为
。
易知：
PDC
∽
PAB
，设
PE
则
PF
h
h
，
D
E
C
1
h
h
1
由相似三角形的性质得：
CD
AB
PE
PF
A
F
B
.
.
即：
S
S
上
下
h
1
h
h
1
(
相似比等于面
比的算
平方根
)
整理得：
h
1
S
h
上
S
下
上
S
又因
台体的体
=
大
体体
—小
体体
1
1
（
）
上
1
(
∴
3
S
h
h
代入：
S
h
h
台
下
1
1
上
V
3
S
S
S
上
1
下
h
1
1
h
3
下
)
3
S
h
上
得：
台
1
S
h
上
3
下
(
下
)
1
下
S
S
上
1
S
下
S
上
V
1
1
下
S S
3
S h
S
即：
V
台
3
S
h
上
(
S
下
上
3
S
S
3
h
S
(
)
S
S
上
上
下
h
下
)
1
S
(
∴
V
S
S
上
下
4
、
3
h
S
上
球体体
公式推
台
下
)
分析：将半球平行分成相同高度的若干
（
柱，
n
n
层
），
n
越大，每一
越近似于
，每一
都可以看作是一个
柱。
些
柱的高
2
r
n
，
：
r
每个
柱的体
i
i
=
r
i
n
半球的体
等于
些
柱的体
之和。
V
2
S
h
2
2
2
r
r
1
2
2
(
r)
0
n
n
2
r
2
[1
n
0
( )
2
r
r
2
2
(
r)
1
2
1
2
r
2
[1
( )
2
r
r
3
2
(
r)
r
[1
( )
]
2
2
r
2
]
]
⋯⋯
o
2
r )
r
1
r
n
r
2
2
(
n 1
r
[1
2
(
n 1
2
)
]
n
n
.
2
2
.
∴半球体积为：
半球
V
(
r
n
r
=
n
=
r
[ n
{ n
1
[
2
0
2
V
n
n
r
2
2
n
)
1
.
2
2
2
n
(
)
.....
(n 1)
]
2
r
r
n 1
(
)
]}
n
1
2
(
2
......
r
n
)
2
3
......
n
1
[ n
=
3
n
r
(n
1) n(2n
1)
6
]
2
3
r
[1
(1
1
n
n
6
r
[1
(n
1)( 2n
2
1)
]
6
n
3
)(2
1
)
n
当
n
半球
时，
1
0
n
(1
1
∴
)( 2
1
)
n
]
3
V
r
[1
3
n
6
4
3
r
(1
3
1
2
2
3
6
)
3
r
∴球体积为：
球
V
r
5
、
球体表面积公式推导
分析：球体可以切割成若干（
n
个
）近似棱锥，当
n
时，这些棱锥的高
1
1
1
n
S
球
为球体半径，
底面积为球面面积的
n
，则每一个棱锥的体积
V
1
1
4
球
3
3
r
，
则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有：
2
∴
3n
S
r
n
3
r
S
球
4
r
1
n
S
球
o
6
、
正六面体（正方体）与正四面体
（
1
）体积关系
如图：正方体切下四个三棱锥后，
.
.
剩下的部分为正四面体
设正方体棱长为
，
a
则其体积为：
3
V
正方体
a
2
四个角上切下的每一个三棱锥体积为：
1
1
1
1
3
S h
3
(
2
a
a
6
中间剩下的正四面体的体积为：
V
)
a
3
三棱锥
V
正三棱锥
3
S h
3
[
2
( 2a)
sin 60 ]
( 2a)
(
2
2a
2
3)
3
a
1
1
1
2
2
1
3
3
2
这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体
1
即：
6
4
3
（
2
）外接球
a
3
1
a
3
3
a
正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。
（理由：过不共面的
四点确定一个球。）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以< br>它们共球。
回顾：① 两点定线
② 三点定面
③ 三点定圆
④ 四点定球如
图：
(a)
正方体的体对角线
=
球直径
3
(b)
正四面体的外接球半径
=
高
4
(c)
正四面体的棱长
=
正方体棱长
2
(d)
正方体体积：正四面体体积
=3
：
1
(e)
正方体外接球半径与
正四面体外接球半径相等
（
3
）正方体的内切球与正四面体的关系
.
.
（
a
）正方体内切球直径
=
正方体棱长
（
b
）
正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
（
c
）与正四面体四条棱相切的球半径
=
正方体棱长的一半
（
d
）
设正四面体棱长为
，则与其棱都相切的球半径为
1
1
a
r
a
2
有：
r
1
2
2
4
a
7
、
利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物
体体积相等。
证明：作如下构造：
在底面半径和高都是
r
的圆柱内挖去一个与圆柱等底等
高的圆锥。如图：
r
h
球
1
r
锥
1
h
R
在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半
径均为
R
，截面高度均为
h
，倒圆锥的截面半径为
r
锥
1
，半球截面半径为
r
，
球
1
.