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2021年2月1日发(作者：iknowthatgirl)
1
．二项式定理：

0
n
1
n

1
r
n

r
r
n
n
(
a

b
)
n

C
n
a

C
n
a
b



C
n
a
b



C
n
b
(
n

N

)
，

2
．基本概念：

①二项式展开式：右边 的多项式叫做
(
a

b
)
的二项展开式。

r
②二项式系数
:
展开式中各项的系数
C
n
(
r

0,1,2,

,
n
)
.
n③项数：共
(
r

1)
项，是关于
a
与
b
的齐次多项式

r
n

r
r
④通项：
展开式中的第
r

1
项
C
n
用
T
r

1

C
n
a
a
b
叫 做二项式展开式的通项。
r
n

r
b
r
表示。
3
．注意关键点：

①项数：展开式中总共有
(
n

1)
项。

②顺序：注意正确选择
a
,
b
,
其顺序不能更改。
(a

b
)
与
(
b

a
)是不同的。

③指数：
a
的指数从
n
逐项减到
0
，是降幂排列。
b
的指数从
0
逐项减到
n
，是升 幂排列。
各项的次数和等于
n
.
0
1
2
r
n
④系数：
注意正确区分二项式系数与项的系数，
二项式系数依次是
Cn
,
C
n
,
C
n
,

,
C
n
,

,
C
n
.
n
n
项的系数是
a
与
b
的系数（包括二项式系数）
。

4
．常用的结论：

0
1
2
2
rr
n
n
令
a

1,
b

x< br>,

(1

x
)
n

Cn

C
n
x

C
n
x


C
n
x



C
nx
(
n

N

)

0
12
2
r
r
n
n
令
a

1,< br>b


x
,

(1

x
)
n

C
n

C
n
x

C
n
x



C
n
x



(

1)
n
C
n
x
(
n

N

)

5
．性质：

①
二
项
式
系
数
的
对
称
性
：
与
首
末
两
端
“
对
距
离
”
的
两
个
二
项
式
系
数
相
等
，
即
0
n
k
k

1
，
·
·
·
C
n

C
n

C
n

C
n
0
1
2
r
n
②二项式系数 和：
令
a

b

1
,
则二项式系数的和为
C
n


C
n

C
n



C
n



C
n

2
n
，
1
2
r
n

变形式
C
n

C
n



C
n



C
n

2
n

1
。

③奇数项的二项式系数和
=
偶数项的二项式系数和：

0
1
2
3
在二项式定理中，
令
a

1,
b

1
，
则
C
n

C
n
C
n

C
n



(
1
)
C
n
n

n

(1
1
)

n
0
，

0
24
2
r
1
3
2
r

1
从而得 到：
C
n

C
n

C
n
< br>
C
n



C
n

C
n



C
n


1
n

2

2
n

1

2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0
n
0
1
n

1
2
n

2
2
n
0
n
(
a

x
)
n

C
n
a
x

C
n
a
x

C
n
a
x



C
n
a
x

a
0

a
1
x
1

a
2
x
2



a
n
x
n
0
0
n
1
2
2
n

2
n
n
0
(
x

a
)
n

C
n
a
x

C
n
ax
n

1

C
n
a
x



C
n
a
x

a
n
x
n



a
2
x
2

a
1
x
1

a
0
令
x

1,

则
a
0< br>
a
1

a
2

a
3
< br>
a
n

(
a

1)
n









①
令
x


1,
则
a
0

a
1

a
2

a
3



a
n

(
a

1)
n








②
(
a

1)
n

(
a

1)
n
①
< br>②得
,
a
0

a
2

a
4


a
n

(
奇数项的系数和
)
2
(
a

1)
n

(
a

1)
n
①

②得
,
a
1

a< br>3

a
5


a
n

(< br>偶数项的系数和
)
2
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数
n< br>是偶数时，则中间一项的二项式系数
C
取
得最大值。


如果二项式的幂指数
n
是奇数时，则中间两项的二项式系数
C
n
1
2
n
n
2
n

,
C
n

1
2
同时取得最大值。

n
n
⑥系数的最大项：求
(
a

bx
)
展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项
系数分别


A< br>r

1

A
r
为
A
1
,< br>A
2
,

,
A
n

1
，设第
r

1
项系数最大，应有

，从而解出
r< br>来。

A

A

r

1
r

2






















专题一

题型一：二项式定理的逆用；

1
2
3
n
例：C
n

C
n

6

C
n
6
2



C
n

6n

1

.

01
2
3
n
解：
(1

6)
n

C
n

C
n

6

C
n

6
2

C
n

6
3



C
n

6
n
与已知的有一些差距，

1
2
3
n

C
n

C
n

6

C
n

6
2



C
n

6
n

1

1
1
2
n
(
C
n

6

C
n

6
2



C
n

6
n
)

6
1
0
1
1
1
2
n


(
C
n

C
n

6

C
n

6
2



C
n

6
n

1)

[(1

6)
n< br>
1]

(7
n

1)

6
6
6
1
2
3
n
练：
C
n
3
C
n

9
C
n


3
n

1
C
n

.

1
2
3
n
解：设
S
n
C
n
，则

3
C
n

9
C< br>n



3
n

1
C
n< br>1
2
2
3
3
n
n
0
1
2< br>2
3
3
n
n
3
S
n

C< br>n
3

C
n
3

C
n
3< br>


C
n
3

C
n
< br>C
n
3

C
n
3

C
n< br>3



C
n
3

1
< br>(1

3)
n

1
(1

3)n

1
4
n

1


Sn


3
3
题型二：利用通项公式求
x
n的系数；

例：在二项式
(
4
解：由条件知
C
n
由

1
3
2
n

x
)
的展开式中倒数第
3
项的系数为
45
，求含有
x
3
的项的系数？

x
2

45
，即
C
n

45，

n
2

n

90

0< br>，解得
n


9(
舍去
)
或
n
10
，
n

2
T
r

1< br>
C
(
x
)
r
10

1
4
10

r
(
x
)

C
x
2
3
r
r
10
10

r
2

r
4
3
，由题意

10

r
2

r

3,
解得
r

6
，< br>
4
3
6
3
则含有
x
3
的项是第< br>7
项
T
6

1

C
10
x

210
x
3
,
系数为
210
。

1
9
)
展开式中
x
9
的系数？

2
x
1
1
1
r
r
18

2
r
r
解：
T
r

1

C
9(
x
2
)
9

r
(

)r

C
9
x
(

)
r
x
r

C
9
(

)
r
x18

3
r
，令
18

3
r

9
,
则
2
x
2
2
r

3

1
3
21
9
3
故
x
的系数为
C
9
(

)


。

2
2
练：求
(
x
2


题型三：利用通项公式求常数项；

例：求二项式
(
x
2< br>
1
2
x
)
10
的展开式中的常数项？
< br>解：
T
r

1

C
(
x
)
r
10
2
10

r
r
1
r
20

5
5
(
)

C
(
)x
2
，令
20

r

0
，得
r

8
，所以
2
2
2
x
1
rr
10
45
8
1
8

T
9

C
10
(
)

2
256
1
6练：求二项式
(2
x

)
的展开式中的常数项？
2
x
1
r
r
6

r
1
r6

2
r
解：
T
r

1
< br>C
6
，令
6

2
r

0
， 得
r

3
，所以
(2
x
)
6
< br>r
(

1)
r
(
)
r

(

1)
r
C
6
2
(
)
x
2
x
2
3
T
4

(

1)
3
C
6


20

练：若
(
x
2

)
n
的二项展开式中第
5
项为常数项，则n

____.

4
4
2
n

12
解：
T
5

C
n
，令
2
n

12

0
，得
n

6
. (
x
2
)
n

4
(
)
4
C
n
x
1
x
1
x
题型四：利用通项 公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式
(
x

3< br>x
)
9
展开式中的有理项？

r
9
1
2
9

r
1
3
r
r
r
9
27

r
6
解：
T
r

1
< br>C
(
x
)
(

x
)

(< br>
1)
C
x
，
令
27

r


Z
,(
0

r

9
)
得
r

3
或
r

9
，
6
27

r
3
4
x


84
x4
，


4
，
T
4

(
1)
3
C
9
6
27

r
9
3
当
r

9
时，
x


x
3
。


3
，
T
10

(

1)
3
C
9
6
所以当
r

3
时，
题型五：奇数项的二项式系数和
=
偶数项的二项式系数和；< br>
例：若
(
x
2

1
3
x
2
1
)
n
展开式中偶数项系数和为

256
，求< br>n
.
解：设
(
x
2

3
x
2
)
n
展开式中各项系数依次设为
a
0
,
a1
,

a
n
,


令x


1
,
则有
a
0

a< br>1


a
n

0,
①，
令x

1
,
则有
a
0

a
1< br>
a
2

a
3



(

1)
n
a
n

2
n
,
②


将①
-
②得：
2(
a
1< br>
a
3

a
5


)


2
n
,

a
1

a
3

a
5




2
n
1
,


有题意得，

2
n

1


256


2
8
，

n

9
。

练：若
(
3< br>1
5
1
n

)
的展开式中，所有的奇数项的系数和为
1024
，求它的中间项。

x
x
2
0
2
4
2
r
1
3
2
r

1
解 ：

C
n

C
n

C
n


C
n



C
n

C
n



C
n



2
n

1
，

2
n

1

1024
，解
得
n

11


所以中间两个项分别为
n

6,
n
7
，
T
5

1

C
n
(3

61
15
5
1
6
5
1
5
)
(
2
)

462

x

4
，
x
x
T
6

1

462< br>
x
1
2

题型六：最大系数，最大项；

例：已知
(

2
x
)
n
，若展开式中第
5
项，第
6
项与第
7
项的二项式系数成等差数列，求展
开式中 二项式系数最大项的系数是多少？

4
6
5
解：

C
n

C
n

2
C
n
,

n
2

21
n

98

0,< br>解出
n

7
或
n

14
，当
n

7
时，展开式中二
3
项式系数最大的项是
T
4
和
T
5

T
4
的系数

C7
(
)
4
2
3

1
2
35< br>,
，
2
4
1
3
4
T
5
的系 数

C
7
(
)
2

70,
当n

14
时，展开式中二项式系数最大的项是
T
8
，< br>2
7
1
7
7

T
8
的系数

C
14
(
)
2

3432
。

2
练：在
(
a

b
)
的展开式中，二项式 系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数
2
n
，则中间一 项的二项式系数最大，即
T
2
n
2

1
2
n

T
n

1
，也就是第
n

1
项。

练：在
(
x
1

3
)n
的展开式中，只有第
5
项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

2
x
解：只有第
5
项的二项式最大，则
n

1

5
，即
n

8
,
所以展开式中常数 项为第七项等于
2
1
C
8
6
(
)
2

7

2
例：写出在
(
a

b
)
的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数
7
是奇数，所以中间两项
(
第
4,5
项
)
的二项式系 数相等，且同时
3
4
3
4
3
4
取得最大值，从而有
T
4


C
7
a
b
的系数最小，
T
5

C
7
a
b
系数最大。
< br>7
例：若展开式前三项的二项式系数和等于
79
，求
(
2
x
)
n
的展开式中系数最大的项？

1
2

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