希尔伯特23个数学问题7大数学难题
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 05:58
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下巴突出-myfriend
世界数学十大未解难题
（其中“一至七”为七大“ 千僖难题”；附录“
希尔伯特
23
个问题里尚未解决
的问题
”）
一：
P
（多项式算法）问题对
NP
（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，
你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不 安，
你想知道这
一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，
你一 定认识那位正在甜
点盘
附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且 发现你的主
人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审
视每 一个
人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的
解时间花费 要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，
如果某人
告诉你， 数
13
，
717
，
421
可以写成两个较小的数的乘积， 你可能不知道是否应
该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为
3607
乘上3803
，那么你就可以
用
一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我 们编写程序是否灵巧，判定一个
答案是可以很快利用内部知识来验证，
还是没有这样的提示而需 要花费大量时间
来求解，
被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文 ·考克
（
StephenCook
）于
1971
年陈述的。
二：
霍奇
(Hodge)
猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，
我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营
造块
粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的
方式来推广；最终导至一些强有力的工具，
使数学家在对他们研究中所遇到的形
形色色的对
< br>象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的
几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，
必须加上某些没有任何几何解释的部
件。霍奇猜想断
言 ，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作
霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何 部件的
(
有理线性
)
组合。
三：
庞加莱
(Poincare)
猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，
那么我们可以既不扯断它，
也不让它
离开 表面，
使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，
如果我们想象同样的橡皮带
以 适
当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有
办法把它 收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大
约在一百年
以 前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他
提出三维球面
(
四维空 间中与原点有单位距离的点的全体
)
的对应问题。
这个问题
立即变得无比困< br>
难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
四：
黎曼
(Riemann)
假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，
2,3,5,7,
等等 。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然
数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼
(1826~1866)< br>观察到，
素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函
数
z (s$$
的性态。著名的黎曼假设断言，方程
z(s)=0
的所有有意义的解都在一条直
线上。这点已经对于开始的
1,500,000,000
个解验证过。证
明它对于每一个有
意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
五：
杨－米尔斯
(Yang- Mills)
存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学 的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成
立的。
大约半个世纪以前，
杨振宁和米 尔斯发现，
量子物理揭示了在基本粒子物
理与几
何对象的数学之间的令人注 目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经
在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证 实：布罗克哈文、
斯坦福、欧洲
粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重 粒子、又在
数学上严格的方程没有已知的解。
特别是，
被大多数物理学家所确认、并且在他
们的对于
“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来 没有得
到一个数学上令人满意的证实。
在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方
面引进根本上的
新观念。
六：
纳维叶－斯托克斯
(Navier- Stokes)
方程的存在性与光滑性
起伏的波浪 跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，
湍急的气流跟随着我们的现
代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，
无论是微风还是湍流，
都可以通
过理
解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程
是
19
世纪写 下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质
性的进展，
使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
七：
贝赫
(Birch)
和斯维讷通－戴尔
(Swinnerton- Dyer)
猜想
数学家总是被诸如
x^2+y^2= z^2
那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。
欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答 ，但是对于更为复杂的方程，这
就变
得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇
(sevich)
指出，希尔伯特
第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的
方法是否有一个整
数解。
当解是一个阿贝尔簇的点时，
贝赫和斯维 讷通－戴尔猜想认为，
有理点的
群的大小与一个有关的蔡塔函数
z(s)
在点
s=1
附近的性态。
特别是，这个有趣
的猜想认为，如果
z(1)
等于
0,
那么存在无限多个有理点
(
解
)
，相反，如果
z(1)
不等于
0,
那么只存在有限多个这样的点。
八：几何尺规作图问题
这里所说的“几 何尺规作图问题”是指作图限制只能用直尺、
圆规，
而这里的直
尺是指没有刻度只能画 直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题
1.
化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；
2.
三等分任意角；
3.
倍立方
－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
4.
做正十七边形。
以上四个
问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，< br>而实际上这前三大问题都已证明不可
能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数 的方法解决
的，
他也视此为生平得意之作，
还交待要把正十七边形刻在他的 墓碑上，
但后来他的
墓碑上并没有刻上十七边形，
而是十七角星，
因为负责刻 碑的雕刻家认为，
正十
七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
九：哥德巴赫猜想
公元
174 2
年
6
月
7
日哥德巴赫
(Goldbach)
写信 给当时的大数学家欧拉
(Euler)
，
提出了以下的猜想
: (a)
任何一个
>=6
之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b)
任何一个
>=9
之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
从此，这道著名的
数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200
年过 去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
【哥德巴赫猜想
最新最好的成果是中国数学家陈景润的陈氏定理，通俗地讲：
哥德巴赫猜想如果简称“1+1”，
如今解决的是“1+2”。
但是这样说使得许多大
众容易产生误会。】
十：四色猜想
1852
年，
毕业于伦敦大学的弗南西斯
.
格思里来到一家科研单位 搞地图着色工作
时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有
共同边界的国家着上不同的颜色。”
1872
年，英国当时最著名的数学家凯利正
式 向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都 纷纷参加了四色猜想的大会战。
1976
年，美国数学
家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺 斯大学的两台不同的电子计算机上，用了
1200
个
小时，作了
100
亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，
轰动了世界。
希尔伯特
23
问题里尚未解决的问题：
1
、问题
1
连续统假设。
全体正整数（被称为可数集）的基数
和实数集合（被称为连续统）的基数
c
之
间没有其它基数。
背景：
1938
年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗
-< br>佛
朗克尔公理系统里，不可证伪。
1963
年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。
所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。
2
、问题
2
算术公理相容性。
背景：
哥德尔证明了算术系统的不完备，
使希尔 伯特的用元数学证明算术公理系
统的无矛盾性的想法破灭。
3
、
问题
7
某些数的无理性和超越性。
背景
此题为希尔伯特第
7
问题中的一个特例。
已经证明了
e^
π
的超越性，却至今未有人证明
e+
π
的超越性。
4
、
问题
8
素数问题。
证明：
ζ
(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + „
(s
属于复数域
)
所定义的函数
ζ
(s)< br>的零点，除负整实数外，全都具有实部
1/2
。
背景：
此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第
8
问题。
美国数学家用计算机算了
ζ
(s)
函数前
300
万个零点确实符 合猜想。
希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想
（任一 偶数
可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为
2
的素数）。
引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？
5
、
问题
11
系数为任意代数数的二次型。
背景：德国和法国数学家在
60
年代曾取得重大进展。
6
、
问题
12
阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。
背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。
7
、
问题
13
仅用二元函数解一般
7
次代数方程的不可能性。
背景：
1957
苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。
8
、
问题
15
舒伯特计数演算的严格基础。
背景：
代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。
9
、
问题
16
代数曲线和曲面的拓扑。
要求代数曲线含有闭的分枝 曲线的最大数目。
和微分方程的极限环的最多个数和
相对位置。
10
、
问题
18
用全等多面体来构造空间。
无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。
11
、
问题
20
一般边值问题。
偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。
12
、
问题
23
变分法的进一步发展。
希尔伯特
23
个数学问题及其解决情况
（
1
）康托的连续统基数问题。
1874
年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1 938
年，侨居美
国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF
集合论公理系统的无矛盾性。
1963
年，美国数学家科
思（
P
.Choen
）证明连续统假设与
ZF
公理彼此独立 。因而，连续统假设不能用
ZF
公理加以
证明。在这个意
义下，问题已获解决。
（
2
）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证
明 论方法加以
证明，哥德尔
1931
年发表不完备性定理作出否定 。根茨（
n
，
1909-1945
）
1936
年使用超限归 纳法
证明了算术公理系统的无矛盾性。
（
3
）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：
存在两个登高等底的四面体，
它们不 可能分解为有限个小四面体，
使这两组
四面体彼此全
等德思（
）
1900
年已解决。