完全平方数的特征
巡山小妖精
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2021年02月01日 06:56
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6.3
完全平方数的特征
一、引例
少年宫游乐厅内悬挂着
200
个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这
200
个灯泡按
1
—
200
编号，它们的亮暗规 则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为
2
的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为< br>3
的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第< br>n
秒凡编号为
n
的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继 续下去，每
4
分钟一个周期。问：第
200
秒时，明亮的灯泡有多少个？
二、基础知识
1
、完全平方数的定义：
如果一个正整数
a
是某一个整数
b
的平方，那么这个正整数
a
叫做完全平方数。零也可称为完全
平方 数。
2
、完全平方数的计算
（
1
）找规律
①求由
n
个
1
组成的数的平方。
如：
11
2
=121
111
2
=12321
1111
2
=1234321
=1234„n„4321 （n≤9）
②由
n
个
3
组成的数的平方。
如：
33
=1089
333
=110889
3333
=11108889
2
2
2
=
（n≤9）
③求个位数字是
5
的数的平方。
如：
15
2
=225
25
2
=625
35
=1225
45
2
=2025
2
这些数的平方末两位均为
25
，
25
前面的数为该数删去个位
5所余下的数乘以它与
1
的和。即
=a×(a+1)×100+25。
（
2
）与平方数有关的一些公式
① 完全平方公式
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
(a―b)
=a
―2ab+b
② 平方差公式
（
a+b
）(a―b)=a
2
―b
2
3
、完全平方数的性质
由以上平方数不能发现完全平方数的以下特征：
2
2
2
① 完全平方数的尾数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
。不可能是
2
，
3
，
7
，
8
。
② 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
③ 任何偶数的平方一定能被
4
整除；任何奇数的平方被
4
（或
8
）
除余
1
。
即被
4
除余
2
或
3
的数
一定不是完全 平方数。（请读者自己证明）
④一个完全平方数被
3
除的余数是
0
或
1
。即被
3
除余
2
的数一定不是完全平方数。< br>
⑤完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
⑥完全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
⑦凡个位 数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“ 0”的自然
数不是完全平方数；个位数字为
1
，
4
，
9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
这是因为，任何一个自然数的平方其末两位数字只有下列
22
种情况：
00
，
01
，
21
，
41
，
61，
81
，
04
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，
09
，
29
，
49
，
69
，
89
，
16
，
36
，
56
，
76
，
96
。
⑧完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
⑨ 若质数
p
整除完全平方数
a
，则
p
2
|a
。（证明略）
三、例题选讲
例
1
、证明
11
，
111
，„，
，„这串数中没有完全平方数。（n ≥2）
证法一：由于
是奇数，若是完全平方数，则只可能是奇数的平方。
由于已知奇数的平方其十位数字必为偶数，而
的十位上的数字却是奇数
1
。< br>
所以
不是完全平方数。
证法二：如果
（n≥2）是完全平方数，那么它必为奇数的平方。
我们知道 ，
奇数的平方被
4
除余
1
，
而
11
，111
，
„，
（n≥2）中没有完全平方数。
（n≥2）均被
4
除余
3
，
故
11
，
111，
„，
例
2
：用
300
个
2
和若干个
0
组成的整数有没有可能是完全平方数？
分析：由
300
个
2
和若干个
0
组成的整数，其位数至少是
301
位，除首 位是
2
外，各数位上都有
可能是
2
和
0
。但不可能 逐个检查。
由于各数位上的数字和为
600
（这是所有由
300< br>个
2
和若干个
0
组成的数的共同特性）
，
所以组成< br>的整数一定能被
3
整除，但
600
并非
3
=9
的倍数。
解：设由
300
个
2
和若干个
0组成的数为
A
，则其数字和为
600
。
∵3|600 ∴3|A
但
9 |
600 ∴9 |
A
即
A
中只有
3
这个约数，而无
3
=9
作为约数，所以
A
不是完全平方数。
例
3
：从
200
到
1800
的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
分析：有奇数个约数为完全平方数 ，即求从
200
至
1800
的自然数中有多少个完全平方数。
解：从
200
到
1800
的自然数中，完全平方数有
15
2
，
16
2
，„„，
42
2
。共有
42 ―15+1=28
个数满足
题意。
例
4
：引例。
分析：
灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次 。
而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。
解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数， 那么它是明亮的。根据题意可知，号码为
K
的
灯泡，亮暗变化的次数等于
K< br>的约数的个数，若
K
的约数的个数是奇数，则
K
一定是平方数。所以
200
秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为
200
以内有< br>14
个平方数，所以
200
秒时明
亮的灯泡有
14
个 。
例
5
、一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字 相等，求这个四位数。
2
2