解答与完全平方数有关的竞赛题方法
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 06:58
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如下文章已经刊登于
2013
年
12
月《中学教研
-
数学》杂志第
39
页至
40
页
解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法
518076
广东省深圳市南山区蛇口中学
王远征
在数学竞赛 试卷中，频繁出现这样的一类问题：
“求自然数
n
，使得关于
n
的一 个二次
多项式
n
an
b
的值是完全平方数，< br>（
a
,
b
为常数）
”
．在此，笔者给出解答这类问题 的一
般方法，即设参数、配方，对多项式分解因式，同时对常数分解成整数乘积的形式，然后构
造方程组，进而求出满足题设条件的自然数
n
和所设参数的值．举例介绍如下：
例
1
．已知
n
是自然数，且
n
17
n
73
是完全平方数，那么
n
的值是
或
．
（第
13
届希望杯初二年级（第一试）试题）
解析：依题意设n
17
n
73
=
m
，
（
m
是自然数）
．
配方得：
(
2
n
17
)
3
=
4
m
，移项，并对多项 式分解因式，且把常数
3
也分解成两
个整数乘积的形式，于是得：
2
2
2
2
2
2
(
2
n
17
2
m
)(
2
n
17
2
m
)
3
1
3
3
1
，
因为< br>m
,
n
都是自然数，所以
2
n
17
2
m
和
2
n
17
2m
都是整数，
且
2
n
17
2
m
2
n
17
2
m< br>。于是有：
2
n
17
2< br>m
3
2
n
17
2
m
1
n
9
n
8
或
，分别解得：
或
。
2
n
17
2
m
1
2
n
17
2
m
3
m
1
m
1
故
n
的值是
8
或
9
．
该方法通俗易懂，有普遍的实用性，且解题过程简洁明了，易于被掌握和应用。
例题
2
．关于
m
,
n
的方程
1
1
1< br>3
的整数解
m
,
n
=
。
2
m
n
mn
4
（
2013
年上海数学竞赛新知杯第< br>6
题）
解析：视为“
m
”为常数，由原方程整理成关于n
的一元二次方程得：
4
3
m
n
2
4
mn
4
0
此方程有整数解的必要条件是：
16
m
48
m
64
是完全平方数。
因为
16
m
48
m
64
2
[
2
m
3
7
]
是完全平方数，可 设
k
2
m
3
7
，
2
2
2
2
2
2
则
(
k
2
m
3
)(
k
2
m
3
)
7
1
7
1
(
7
)
。
因为
k
2
m
3
k
2
m
3
。所以
k
2
m
3
1
k
2
m
3
7
m
3
m
3
或
，解得
或
k
2
m
3
7
k
2
m
3
1
k
4
k
4
1