七下实数提高题与常考题型压轴题(含解析)-
余年寄山水
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2021年02月01日 07:07
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实数提高题与常考题型压轴题
(
含解析
)
一．选择题（共
15
小题）
1
．
A
．
4
的平方根是（
）
B
．±
4 C
．
2
，
b=
D
．±
2
=
（
）
2
．已知
a=
，则
A
．
2a
B
．
ab
C
．
a
2
b
D
．
ab
2
3
．实数
《
的相反数是（
）
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．
4
．实数﹣π，﹣，
0
，
A
．﹣π
B
．﹣
C
．
四个数中，最小的是（
）
D
．
0
5
．下列语句中，正确的是（
）
A
．正整数、负整数统称整数
B
．正数、
0
、负数统称有理数
C
．开方开不尽的数和
π
统称无理数
D
．有理数、无理数统称实数
6
．下列说法中 ：
（
1
）
（
4
）
是实数；
（
2< br>）
是无限不循环小数；
（
3
）
是无理数；
的值等于， 正确的说法有（
）
A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个
7
．实数
a
、
b
满足
A
．
2
8
．
A
．
2
+4a
2
+4ab+b2
=0
，则
b
a
的值为（
）
B
．
C
．﹣
2 D
．﹣
的算术平方根是（
）
B
．±
2 C
．
D
．
9
．下列实数中的无理数是（
）
A
．
B
．
C
．π
D
．﹣
8
。
10
．关于
A
．
的叙述，错误的是（
）
是有理数
B
．面积为
12
的正方形边长是
C
．
=2
D
．在数轴上可以找到表示
的点
11
．已知实数
a
、
b
在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（
）
A
．
a
•
b
＞
0
B
．
a+b
＜
0
C
．
|a|
＜
|b|
，
D
．
a
﹣
b
＞
0
12
．
如图，
四个实数
m
，
n
，
p
，
q
在数轴上对应的点分别为
M
，
N
，
P
，
Q
，
若
n+q=0
，
则
m
，
n
，
p
，
q
四个实数中，绝对值最大的一个是（
）
A
．
p
B
．
q
C
．
m
D
．
n
13
．估计
+1
的值（
）
A
．在
1
和
2
之间
B
．在
2
和
3
之间
C
．在
3
和
4
之间
D
．在
4
和
5
之间
14
．估计
的值在（
）
A
．
2
和
3
之间
B
．
3
和
4
之间
C
．
4
和
5
之间
D
．
5
和
6
之间
15
．
我们根据指数运算，
得出了一种新的运算，
如表是两种运算对应关系的一组
实例：< br>
、
2
1
=2
2
2
=4
2
3
=8
…
3
1
=3
3
2
=9
3
3
=27
/
指数
运算
新运
算
log
2
2=1
log
2
4=2
log
2
8=3
…
log
3
3=1
log
3
9=2
:
…
…
log
3
27=3
根据上表规律，
某同学写出了三个式子 ：
①
log
2
16=4
，
②
log
525=5
，
③
log
2
=
﹣
1
．其
中正确的是（
）
A
．①②
B
．①③
C
．②③
D
．①②③
二．填空题（共
10
小题）
16
．
﹣
2
的绝对值是
．
，
1.
这些数中，是无理数的是
．
17
．在﹣
4
，
，
0
，π，
1
，﹣
>
18
．能够说明“
=x
不成立”的
x
的值是
（写出一个即可）
．
19
．若实数
x
，
y
满足（
2x+3
）
2
+|9
﹣
4y| =0
，则
xy
的立方根为
．
20< br>．
实数
a
，
n
，
m
，
b
满 足
a
＜
n
＜
m
＜
b
，
这四个数在 数轴上对应的点分别为
A
，
N
，
M
，
B
（ 如图）
，若
AM
=BM
•
AB
，
BN
=A N
•
AB
，则称
m
为
a
，
b
的“ 大黄金数”，
n
为
a
，
b
的“小黄金数”，当
b< br>﹣
a=2
时，
a
，
b
的大黄金数与小黄金数之差m
﹣
n=
．
2
2
2 1
．规定：
log
a
b
（
a
＞
0
，
a
≠
1
，
b
＞
0
）表示
a，
b
之间的一种运算．
现有如下的运算法则：
log
a
a
n
=n
．
log
N
M=
＞
0
）
．
例如：
log
2
2
3
=3
，
log
2
5=
，则
log
100
100 0=
．
（
a
＞
0
，
a≠
1
，
N
＞
0
，
N
≠
1，
M
22
．对于实数
a
，
b
，定义运算“*” ：
a*b=
所以
4*2=4
2
﹣
4
×
2= 8
，则（﹣
3
）
*
（﹣
2
）
=
．
）
，例如：因为
4
＞
2
，
23
．观察分析下列数据，并寻找规律：
据规律可知第
n
个数据应是
．
24
．下面是一个某种规律排列的数阵：
，
，
2
，
，
，
，…根
根据数阵的规律，第
n
行倒数第二个数是
．
（用含
n
的代数式表示）
25
．
阅读下列材料：
设
以
=…=
=
．
三．解答题（共
15
小题）
26
．计算下列各式：
#
=…①，
则
10x=… ②，
则由②﹣①得：
9x=3
，
即
．
所
．根据上述 提供的方法把下列两个数化成分数．
=
，
（
1
）
（﹣
+
﹣
（
2
）﹣
1
2
+< br>）
x
（﹣
18
）
．
）
×
，其中
a=2+
+
（﹣
2
）
2
．
．
﹣（﹣
2
）×
27
．化简求值：
（
28
．计算：
|
﹣
3|
﹣
29
．如图， 在一张长方形纸条上画一条数轴．
（
1
）若折叠纸条，数轴上表 示﹣
3
的点与表示
1
的点重合，则折痕与数轴的交
点表示的数为
；
（
2
）若经过某次折叠后，该数轴上的两个数
a
和
b
表示的点恰好重合，则折痕
与数轴的交点表示的数为
（用含
a
，
b
的代数式表示）
；
、
（
3
）若将此纸条沿虚线处剪开，将中间的一段纸条对折，使其 左右两端重合，
这样连续对折
n
次后，
再将其展开，< br>请分别求出最左端的折痕和最右端的折痕与
数轴的交点表示的数．
（用含
n的代数式表示）
30
．我们知道，任意一个正整数
n
都可以进 行这样的分解：
n=p
×
q
（
p
，
q
是正
整数，且
p
≤
q
）
，在
n
的所有这种分解 中，如果
p
，
q
两因数之差的绝对值最小，
我们就称
p×
q
是
n
的最佳分解．
并规定：
F
（
n
）
=
．
例如
12
可以分解成
1
×
12
，
2
×
6
或
3
×
4
，因为
12
﹣
1
＞
6
﹣
2
＞
4
﹣
3
，所有
3
×
4
是
12
的最佳分解，所 以
F
（
12
）
=
．
（
1
）如果一个正整数
a
是另外一个正整数
b
的平方，我们称正整数
a
是完全平
方数．求证：对任意一个完全平方数
m
，总有
F
（
m
）
=1
；
（
2
）如果一个两位正整数
t
，
t=10x+y
（
1
≤
x
≤
y
≤
9
，
x
，
y
为自然数）
，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为
18
，那
么 我们称这个数
t
为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中
F
（
t
）的最大值．
31
．
（
1
）定义新运算：对于任意实数< br>a
，
b
，都有
a
⊕
b=a
（
a﹣
b
）
+1
，等式右边
是通常的加法、
减法 及乘法运算，比如，数字
2
和
5
在该新运算下结果为﹣
5
． 计算如下：
2
⊕
5=2
×（
2
﹣
5）
+1
=2
×（﹣
3
）
+1
!
=
﹣
6+1
=
﹣
5
求（﹣
2
）⊕
3
的值；
（
2
）
请你定义一种新运算，
使得数字﹣
4
和
6
在你定义的新运算 下结果为
20
．
写
出你定义的新运算．
32
．已 知
2m+2
的平方根是±
4
，
3m+n+1
的平方根是±< br>5
，求
m+3n
的平方根．
33
．已知一个正数< br>x
的两个平方根分别是
2a
﹣
3
和
5
﹣a
，求
a
和
x
的值．
34
．已知< br>m+n
与
m
﹣
n
分别是
9
的两个平方根，< br>m+n
﹣
p
的立方根是
1
，求
n+p
的值．
35
．先填写下表，观察后回答下列问题：
~
…
﹣
0
1
1000
…
a
#
…
﹣
0
1
…
)
（
1
） 被开方数
a
的小数点位置移动和它的立方方根的小数点位置移动有无规律
若有规律，请 写出它的移动规律．
（
2
）已知：
=
﹣
50，
=
，你能求出
a
的值吗
36
．阅读理解下面内容，并解决问题：
据说，
我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，
看到飞机上邻座的乘客
阅读的杂志上有一道智力题 ：一个数是
59319
，希望求出它的立方根，华罗庚脱
口而出地报出答案，邻座的乘 客十分惊奇，忙问计算的奥秘．
（
1
）由
10
3
=1000
，
100
3
=1000000
，你能确定
∵1000
＜
59319
＜
1000000
，
∴
10
＜
∴
—
是几位数吗
＜
100
．
是两位数；
（
2
）由
59319
的个位上的数是
9
，你能确定
∵只有个位 数是
9
的立方数是个位数依然是
9
，
∴
的个位数是
9
；
的个位上的数是几吗
（
3
）如果划去
59319
后面的三位
319
得到
59
，而
3
3
=27
，
4
3
=64，由此你能确定
的十位上的数是几吗
∵
27
＜
59
＜
64
，
∴30
＜
∴
所以，
；
＜
40
．
的十位数是
3
．
的立方根是
39
．
已知整数
50653
是整数的立方，求
的值．
37
．按要求填空：
（
1
）填表：
a
4
)
400
（
2
）根据你发现规律填空：
已知：
：
=
，则
=
，
=
；
已知：
=
，
=
，则
x=
．
38
．
下面是往来是在数学课堂上给同学们出的一道 数学题，
要求对以下实数进行
分类填空：﹣
，
，
0
，
（
3
无限循环）
，
，
18
，
，
，
（
21
无限循环）
，
，
，
，…，﹣
（
1
）有理数集合：
；
（
2
）无理数集合：
；
（
3
）非负整数集合：
；
王老师评 讲的时候说，
每一个无限循环的小数都属于有理数，
而且都可以化为分
数．
比如：
（
3
无限循环）
=
，那么将（
21
无限循环）化为分数，则（
21
无限循环）
=
（填分数）
39
．将下列各数的序号填在相应的集合里：①﹣
邻两 个
3
之间
0
的个数逐渐多
1
）
，⑥
2，
，②2π，③，④﹣，⑤…相
，⑧﹣
．
，⑦
有理数集合：
{
}
．
无理数集合：
{
}
．
负实数集合：
{
}
．
40
．观察下列各式，发现规律：
（
1
）填空：
=
，
=2
=
；
；
；
=3
；
=4
；…
（
2
）计算 （写出计算过程）
：
（
3
）请用含自然数
n
（
n< br>≥
1
）的代数式把你所发现的规律表示出来．
>
实数提高题与常考题型压轴题
(
含解析
)
参考答案与试题解析
一．选择题（共
15
小题）
1
．
（
20 17
•
微山县模拟）
A
．
4
B
．±
4 C
．
2
的平方根是（
）
D
．±
2
【分析】
先化简
>
=4
，然后求
4
的平方根．
【解答】
解：
=4
，
4
的平方根是±
2
．
故选：
D
．
【点评】
本题考查平方根的求法，关键是知道先化简
2
．
（
2017
•
河北一模）已知
a=
A
．
2a
B
．
ab
C
．
a
b
D
．
ab
【分析】
将
18
写成
2
×
3
×
3
，然后根据算术平方根的定义解答即可．
&
．
，
b=
，则
=
（
）
2
2
【解答】
解：
故选
D
．
=
=
×
×
=a
•
b
•
b=ab
2
．
< br>【点评】
本题考查了算术平方根的定义，
是基础题，
难点在于对
18< br>的分解因数．
3
．
（
2017
•
南岗区一模）实数
A
．﹣
B
．
C
．﹣
的相反数是（
）
D
．
【分析】
根据相反数的定义，可得答案．
【解答】
解：
}
的相反数是﹣
，
故选：
C
．
【点评】
本题考查了实数的性质，
在 一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．
4
．
（
2017
•
禹州市一模）实数﹣π，﹣，
0
，
A
．﹣π
B
．﹣
C
．
D
．
0
四个数中，最小的是（
）
【分析】
先计算
|
﹣π
|
=π，|
﹣
|=
，
根据两个负实数绝对值大的反而小得﹣π＜
﹣，再根 据正数大于
0
，负数小于
0
得到﹣π＜﹣＜
0
＜
【 解答】
解：∵
|
﹣π
|
=π，
|
﹣
|=< br>，
∴﹣π＜﹣，
；
．
∴﹣π，﹣，
0
，
故选
A
．
这四个数的大小关系为﹣π＜﹣＜
0
＜
．
【点评】
本题考查了有理数大小比较：正实数都大于
0
，负实数都小于
0
，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
5
．
（
2017
春
•
滨海县月考）下列语句中，正确的是（
）
A
．正整数、负整数统称整数
B
．正数、
0
、负数统称有理数
C
．开方开不尽的数和
π
统称无理数
~
D
．有理数、无理数统称实数
【分析】
根据整数的分类，可的判断
A
；根据有理数的分类，可判断
B
；根据无
理数的定义，可判断C
；根据实数的分类，可判断
D
．
【解答】
解：A
、正整数、零和负整数统称整数，故
A
错误；
B
、正有理数、零、负有理数统称有理数，故
B
错误；
C
、无限不循环小数是无理数，故
C
错误；
D
、有理数和无理数统称实数，故
D
正确；
故选：
D
．
【点评】
此题主要考查了实数，实数包括有理 数和无理数；实数可分为正数、负
数和
0
．
|
6
．
（
2017
春
•海宁市校级月考）下列说法中：
（
1
）
循环小数；
（
3
）
是无理数；
（
4
）
是实数；
（
2
）
是无限不
的值等于，正确的说法有（
）
A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个
【分析】
根据实数的分类进行判断即可．
【解答】
解：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
—
是实数，故正确；
是无限不循环小数，故正确；
是无理数，故正确；
的值等于，故错误；
故选
B
．
【点评】
本题考查了实数的分类，
掌握 实数包括有理数和无理数，
有理数是有限
小数和无限循环小数，而无理数是无限不循环小数．< br>
7
．
（
2016
•
泰州）实 数
a
、
b
满足
A
．
2
B
．
C
．﹣
2 D
．﹣
+4 a
2
+4ab+b
2
=0
，则
b
a
的值为 （
）
【分析】
先根据完全平方公式整理，
再 根据非负数的性质列方程求出
a
、
b
的值，
然后代入代数式进行计算 即可得解．
【解答】
解：整理得，
所以，
a+1=0
，< br>2a+b=0
，
+
（
2a+b
）
2
=0
，
解得
a=
﹣
1
，
b=2
，
所以，
b
a
=2
﹣
1
=
．
故选
B
．
【点评】
本题考查了非负数的性质：
几 个非负数的和为
0
时，
这几个非负数都为
0
．
8
．
（
2016
•
毕节市）
A
．
2
B
．±
2 C
．
的算术平方根是（
）
D
．
【分析】
首先根据立方根的定义求出
可求出结果．
<
的值，然后再利用算术平方根的定义即
【解答】
解：
故选：
C
．
=2
，
2
的算术平方根是
．
【点评】
此题主要考查了算术平方根的定义，注意关键是要首先计算
9
．
（
2016
•
福州）下列实数中的无理数是（
）
A
．
B
．
C
．π
D
．﹣
8
【分析】
无理数就是无限不循环小数，最典型就是
π，选出答案即可．
【解答】
解：∵无理数就是无限不循环小数，
[
=2
．
且为有限小数，
为有限小数，﹣
8
为正数，都属于有理数，
π
为无限不循环小数，
∴π
为无理数．
故选：
C
．
【点评】
题目考查了无理数的定义，题目整体 较简单，是要熟记无理数的性质，
即可解决此类问题．
10< br>．
（
2016
•
河北）关于
A
．
》
的叙述，错误的是（
）
是有理数
B
．面积为
12
的正方形边长是
C
．
=2
D
．在数轴上可以找到表示
的点
【分析】
根据无理数的定 义：
无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或
π；由此即可判定选择项．
【解答】
解：
A
、
是无理数，原来的说法错误，符合题意；
B
、面积为
1 2
的正方形边长是
C
、
=2
，原来的说法正确，不符合题意；
，原来的说法正确，不符合题意；
的点，原来的说法正确，不符合题意．
D
、在数轴上可以找到表示
/
故选：
A
．
【点评】
本题主要考查了实数，
有理 数，
无理数的定义，
要求掌握实数，
有理数，
无理数的范围以及分类方法．< br>
11
．
（
2016
•
大庆） 已知实数
a
、
b
在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确
的是（
）
A
．
a
•
b
＞
0
B
．
a+b
＜
0
C
．
|a|
＜
|b|
D
．
a
﹣
b
＞
0
【分析】根据点
a
、
b
在数轴上的位置可判断出
a
、
b
的取值范围，然后即可作出
判断．
【解答】
解：根据点
a
、
b
在数轴上的位置可知
1
＜
a
＜
2，﹣
1
＜
b
＜
0
，
|
< br>∴
ab
＜
0
，
a+b
＞
0
，
|a|
＞
|b|
，
a
﹣
b
＞
0
，
．
故选：
D
．
【点评】
本题主要考 查的是数轴的认识、
有理数的加法、
减法、
乘法法则的应用，
掌握法则是解题 的关键．
12
．
（
2016
•泰安）如图，四个实数
m
，
n
，
p
，
q
在数轴上对应的点分别为
M
，
N
，
P
，
Q
，若
n+q=0
，则
m
，
n
，
p
，q
四个实数中，绝对值最大的一个是（
）
A
．
p
B
．
q
C
．
m
D
．
n
【分析】
根据
n+q=0
可以得 到
n
、
q
的关系，从而可以判定原点的位置，从而可
以得到哪个数的 绝对值最大，本题得以解决．
.
【解答】
解：∵
n+q=0
，
∴< br>n
和
q
互为相反数，
0
在线段
NQ
的中点处 ，
∴绝对值最大的点
P
表示的数
p
，
故选
A
．
【点评】
本题考查实数与数轴，
解题的 关键是明确数轴的特点，
利用数形结合的
思想解答．
13
．
（
2016
•
淮安）估计
+1
的值（
）
A
．在
1
和
2
之间
B
．在
2
和
3
之间
C
．在
3
和
4
之间
D
．在
4
和
5
之间
￥
【分析】
直接利用已知无理数得出
【解答】
解：∵
2
＜
∴
3
＜
∴
+1
＜
4
，
＜
3
，
的取值范围，进而得出答案．
+1
在在
3
和
4
之间．
故选：
C
．
【点评】
此题主要考查了估算无理数大小，正确得出
14
．
（
2016
•
天津）估计
[
的取值范围是解题关键．< br>
的值在（
）
A
．
2
和
3
之间
B
．
3
和
4
之间
C
．
4
和
5
之间
D
．
5
和
6
之间
【分析】
直接 利用二次根式的性质得出
【解答】
解：∵
∴
＜
＜
，
的取值范围．
的值在
4
和
5
之间．
故选：
C
．
【点评】
此题主要考查了估算无理数大小，正确把握最接近
关键．
15
．
（
2016
•
永州）我们根据指数运算， 得出了一种新的运算，如表是两种运算
对应关系的一组实例：
…
的有理数是解题
2
1
=2
2
2
=4
2
3
=8
…
3
1
=3
3
2
=9
3
3
=27
[
指数
运算
新运
算
log
2
2=1
log
2
4=2
log
2
8=3
…
log
3
3=1
log
3
9=2
（
…
…
log
3
27=3
根据上表规律，
某同学写出了三个式子：
①
log
2
16=4
，
②
log
5
25=5
，
③
log
2
=
﹣1
．
其
中正确的是（
）
A
．①②
B
．①③
C
．②③
D
．①②③
【分析】
根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．
【解答】
解：①因为
2
4
=16
，所以此选项正确；
②因为
5
5
=3125
≠
25
，所以此选项错误；
③因为
2
﹣
1
=
，所以此选项正确；
-
故选
B
．
【点评】
此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．
二．填空题（共
10
小题）
16
．
（
2017
•
涿州市一模）
﹣
2
的绝对值是
2
﹣
．
【分析】
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】
解：< br>即
|
%
﹣
2
的绝对值是
2
﹣
．
．
﹣
2|=2
﹣
故答案为：
2
﹣
．
【点评】
本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质．
17
．
（
2016
秋
•
南京期中）在﹣
4
，
，
0
，π，
1
，﹣
数的是
π
．
【分析】
无理数就是无限不循环小数．
理 解无理数的概念，
一定要同时理解有理
数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无 限循环小数是有理数，
，
1.
这些数中，是无理