头号玩家电影-将爱情进行到底电影

2021年2月1日发(作者：陪读妈妈生理需要)
初中数学竞赛：完全平方数和完全平方式


【内容提要】

一、定义

1.

如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数
.
例如
0
，
1
，
0.36
，
4
，
121
都 是完全平方数
.
25
在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方
.
2.

如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式
.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的
.
例如：

在有理数范围

m
, (a+b
－
2)
, 4x
－
12x+9, 144
都是完全平方式
.
在实数范围


（
a+
3
）
, x
+2
2
x+2, 3
也都是完全平方式
.
2
2
2
2
2
二、整数集合里，完全平方数的性质和判定

1.
整数的平方的末位数字只能是
0
，
1
，
4< br>，
5
，
6
，
9.
所以凡是末位数字为
2，
3
，
7
，
8
的整数必不是平方数
.
2.
若
n
是完全平方数，且能被质数
p
整除
,
则它也能被
p
整除
..
若整数
m
能被
q
整除，但不能被
q
整除
,
则
m
不是完全平方数
.
例如：
3402
能被2
整除，但不能被
4
整除，所以
3402
不是完全平方数
.
又如：
444
能被
3
整除，但不能被
9
整除 ，所以
444
不是完全平方数
.
三、完全平方式的性质和判定



在实数范围内

如果

ax
+bx+c (a
≠
0)
是完全平方式，则
b
－
4ac=0
且
a>0
；

如果
b
－
4ac=0
且
a>0
；则
ax
+bx+c (a
≠
0)
是完全平方式
.


在有理数范围内

当
b
－
4ac=0
且
a
是有理数的平方时，
ax
+bx+c
是完全平方式
.
四、完全平方式和完全平方数的关系

1.
完全平方式（
ax+b
）
中

当
a, b
都是有理数时
, x
取任何有理数，其值都是完全平方数；

当
a, b
中有一个无理数时，则
x
只有一些特殊值能使其值为完全平方数
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2.

某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数
.

例如：
n
+9,
当
n=4
时，其值是完全平方数
.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别
.
五、完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系

1.

在整系数方程
ax
+bx+c=0(a
≠
0)
中

①

若
b
－
4ac
是完全平方数，则方程有有理数根；

②

若方程有有理数根，则
b
－
4ac
是完全平方数
.
2.

在整系数方程
x
+px+q=0
中

①

若
p
－
4q
是整数的平方，则方程有两个整数根；

②

若方程有两个整数根，则
p
－
4q
是整数的平方
.

【例题】

例
1.
求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数
.
证明：设五个连续整数为
m
－
2, m
－
1, m, m+1, m+2.
其平方和为
S.
那么
S
＝（
m－
2
）
＋（
m
－
1
）
＋
m< br>＋（
m+1
）
＋（
m+2
）

＝
5
（
m
+2
）
.
∵
m
的个位数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，6
，
9
∴
m
+2
的个位数只能是
2
，
3
，
6
，
7
，
8
，
1
∴
m
+2
不能被
5
整除
.
而
5
（
m
+2
）能被
5
整除，

即
S
能被
5
整除，但不能被
25
整除
.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数
.


例
2 m
取什么实数时，
（
m
－
1
）
x
+2mx +3m
－
2
是完全平方式？

解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得



当且仅当

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

△＝
0
2
时，
（
m
－
1
）
x
+2mx+3m
－
2
是完全平方式


m

1

0
2
△
=0
，即（
2m< br>）
－
4(m
－
1)(3m
－
2)=0.
解这个方程，

得
m
1
=0.5, m
2
=2.
解不等式

m
－
1>0
，

得
m>1.
即


m

0
.
5
或
m

2


m

1
它们的公共解是

m=2.
答 ：当
m=2
时，
（
m
－
1
）
x
+ 2mx+3m
－
2
是完全平方式
.

例
3.
已知：
(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)
是完全平方式
.
求证：
a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于
x
的二次三项式，得

原式＝
3x
+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，

∴△＝
0.

即

4(a+b+c)
－
12(ab+ac+bc)=0.
∴
2a< br>+2b
+2c
－
2ab
－
2bc
－
2ca= 0,
(a
－
b)
+(b
－
c)
+(c
－
a)
=0.
要使等式成立，必须且只需：

2
2
2
2
2
2
2
2
2

a

b

0


b

c

0


c

a

0


解这个方程组，得
a=b=c.

例
4.
已知方程x
－
5x+k=0
有两个整数解，求
k
的非负整数解
.

解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数
.
可设△
= m
(m
为整数
)
，

即（－
5
）
－
4k=m
(m
为整数
)
，

2
2
2
2
25

m
2
解得，
k=
.
4
∵

k
是非负整数，

2


25

m

0
∴





2


25

m
是
4
的倍数
由
25
－
m
≥
0
，

得

m

5
，


即－
5
≤
m
≤
5
；

2

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