平方根和立方根知识点总结和练习
余年寄山水
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2021年02月01日 07:13
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平
方
根
和
立
方
根
知
识
点
总
结
和
练
习
Prepared on 22 November 2020
【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1
、平方根
（
1
）平方根的定义：如果
一个数< br>x
的
平方
等于
a
，
那么这个数
x
就 叫做
a
的
平方根．
即：如果
x
2
a，
那么
x
叫做
a
的
平方根．
（2
）开平方的定义：求一个数的
平方根
的运算
，
叫做
开 平方．开平方
运算
的
被开方数
必须是
非负数
才
有意 义。
（
3
）平方与
开平方互为逆运算
：
3
的平方等于
9
，
9
的平方根是
3
（
4
）
一个
正数
有
两个平方根，
即
正数
进行
开平方
运算有
两个
结果
；
一 个
负数没有平方根，
即
负数不能
进行
开平方
运算
（
5
）符号：
正数
a
的
正
的
平方 根
可用
a
表示，
a
也是
a
的
算术平方根；
正数
a
的
负
的
平方根
可用
-< br>a
表示
．
（
6
）
x
2
a
<
—
>
x
a
a
是
x
的平方
x
的平方是
a
x
是
a
的平方根
a
的平方根是
x
2
、算术平方根
（
1
）算术平方根的定义
：
一般地，如果
一个正 数
x
的
平方
等于
a
，
即
x
2
a
，那么这个
正数
x
叫做
a
的算术平方根．
a
的算术
平方根记为
a
，读作
“
根号
a”
，
a
叫做
被开方数．
规定：
0
的算术平方根是
0.
也就是，在等式
x
2
a
(x≥0)
中，规定
x
a
。
（
2
）
a
的结果有
两种情况：
当
a
是
完全 平方数
时
，
a
是一个
有限数；
当
a不是一个完全平方数
时，
a
是一个
无限不循环
小数。
（
3
）当
被开方数扩大
时，它的
算术 平方根
也
扩大；
当
被开方数缩小
时与它的算术平方根也
缩小
。
一 般来说，被开放数扩大（或缩小）
a
倍，算术平方根扩大（或缩小）
a
倍，例 如
=5
，
=50
。
（
4
）
夹值法
及估计一个（无理）数的大小
（
5
）
x
2
a
(x≥0) <—
>
x
a
a
是
x
的平方
x
的平方是
a
x
是
a
的算术平方根
a
的算术平方根是
x
（
6
）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a
（
a
0
）
a
0
a
2
a
；注意
a
的双重非负性：
-
a
（
a
<0
）
a
0
（
7
）
平方根
和
算术平 方根
两者既有区别又有联系：
区别在于
正数的平方根有两个
，而它 的
算术平方根只有一个
；
联系在于
正数
的
正平方 根
就是它的
算术平方根
，而
正数的负平方根
是它的
算术平方 根
的
相反数。
3
、立方根
（
1
）立方根的定义：如果
一个数
x
的
立方
等于
a
，
这个数叫做
a
的
立方根
（也叫做
三次方根
），即如 果
x
3
a
，
那么
x
叫做
a的
立方
根
（
2
）一个数
a
的
立方根，
记作
3
a
，
读作：
“
三次根号
a
”
，
其中
a
叫
被开方数，
3
叫
根指数，
不能省略
，若省略表示平方
。
（
3
）
一个
正数
有一个
正
的
立方根；
0
有一个立方根，是它本身；
一个
负数
有一个
负
的
立方根
；
任何数
都有
唯一
的
立方根
。
（
4
）利用
开立方
和
立方互为逆运算
关系，求一个数的立方根，就可以 利用
这种互逆关系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值 的立方根，再取其相
反数，即
3
a
3
a
a
0
。
（
5
）
x
3
a
<
—
>
x
3
a
a
是
x
的立方
x
的立方是
a
x
是
a
的立方根
a
的立方根是
x
（
6
）
3
a
3
a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【典型例题分析】
知识点一：有关概念的识别
1
、下列说法中正确的是（
）
A
、
的平方根是±
3
B
、
1
的立方根是±
1
C
、
=
±
1
D
、
是
5
的
平方根的相反数
2
、下列语句中，正确的是（
）
A
．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B
．负数没有立方根
C
．一个实数的立方根不是正数就是负数
D
．立方根是这个数本身的数共有三个