两数和(差)的平方
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2021年02月01日 07:21
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2
两数和
(
差
)
的平方
课前知识管理
2
2
2
2
1
、完全平方公 式有两个：
（
a+b
）
=a
+2ab+b
,
（a-b
）
=a
-2ab+b
.
即，两数和（或差）的平
方，
等于这两个数的平方和，
加上
（或者减去）
这两个数的积的
2< br>倍
.
这两个公式叫做完全平
2
2
2
方公式
.
它们可以合写在一起，为（a±b）
=a
±2ab+b
.
为便于记忆 ，可形象的叙述为：“首
平方、尾平方，
2
倍乘积在中央”.
2
几何背景：
如图，大正方形的面积可以表示为（
a+b
）
，也可以表示为
S
＝
S
Ⅰ
+ S
Ⅱ
+ S
Ⅲ
+S
Ⅳ
，
2
2
2
2
2
2
2
同时
S
＝
a
+ab+ab+b
＝
a
+2ab+b
.
从而验证了完全平方公式（
a+b
）
＝a
+2ab+b
.
2
、
完全平方公式的特征：
左边是 两个相同的二项式相乘，
右边是三项式，
是左边二项式中两
项的平方和，加上（这两项 相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的
2
倍
.
公式中的字
母 可以表示具体的数（正数或负数）
，也可以表示单项式或多项式等代数式
.
只要符合这 一公
式的结构特征，就可以运用这一公式
.
2
22
3
、在使用完全平方公式时应注意问题：
（
1
）千万不要发生 类似（a±b）
=a
±b
的错误；
（
2
）
2
2
2
不要与公式（
ab
）
=a
b
混淆；
（
3
）切勿把“乘积项”2ab
中的
2
漏掉；
（
4
）计算时，应先观
察所给题目的特点是否符合公式的条件，
如符合，
则可以直 接套用公式进行计算；
如不符合，
应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后 仍不具备公式的结构特点，则
运用乘法法则进行计算
.
名师导学互动
典例精析
：
2
2
知识点
1
：改变公式中
a
,
b
的符号：
例
1
、运用完全平方公式计算：
2
x
5
y
2
【
解
题
思
路
】
本
例
改
变
了
公
式
中
a
,
b
的
符
号
，
处
理
方
法
之
一
：
把
两
式
分
别
变
形
为
2
x
5
y
2
2
x
5
y
2
2
x
5
y
再用公式计算
（反思得：
a
b
b< br>
a
;
a
b
< br>
a
b
）
；
方法 二：
2
2
2
2
2
把两式分别变形为：
2
x
5
y
5
y
2
x
后直接用公式计算；方法三：把两式分别变
22
形为
2
x
5
y
< br>
2
x
5
y< br>
后直接用公式计算
.
2
2
2
2
【
解
】
2
x
5
y
=
5
y
2
x
5
y
2
5
y
2
x
2
x
25
y
20
xy
4
x
.
2< br>2
2
2
【
方法归纳
】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用 的前提是确定是否具备使用公式的条
件，关键是正确确定“两数”即“
a
”和“
b
”
.
对应练习
：
a
b
2
知识点
2
：改变公式中的项数
例
2
、 计算：
a
b
c
2
第
1
页
【
解题思路
】完全平方公 式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考
虑
将
其
中< br>两
项
结
合
运
用
整
体
思
想< br>看
成
一
项
，
从
而
化
解
矛< br>盾
.
所
以
在
运
用
公
式
时< br>，
a
b
c
2
可 先变形为
a
b
c
< br>2
或
a
b
< br>c
2
或者
a
c
b
2
，再进行计算．
【
解
】
a
b
c
=
a
b
c
2
2
【
方法归纳
】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷
.
对应练习
：
（
2
a
－
b
＋
4
）
2
知识点
3
：改变公式的结构
例
3
、运用公式计算：
（
1
）
x
y
2
x
2
y
；
（
2
）
a
b
a
b
.
【
解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔
细观察易发现，只要 将其中一个因式作适当变形就可以了
.
2
2
【
解
】（1
）
x
y
2
x
< br>2
y
=
2
x
y
< br>
2
x
4
xy
2
y
；
2
2
2
（
2
）
a
b
a
b
=
a
b
a
2
ab
b
.
2
【
方法归纳
】观察到两个因式的系 数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条
件
.
对应练习
：计 算：
a
b
b
a
知识点
4
：利用公式简便运算
例
4
：计算：
999
2
【< br>解题思路
】本例中的
999
接近
1000
，故可化成两个数的 差，从而运用完全平方公式计算
.
2
2
2
【
解
】
999
1000
1
1 000
2000
1
1000000
2000
1
998001.
2
【
方法归纳
】有些数计算时可拆成两数（式）的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公
式可使运算简捷 、快速
.
对应练习
：计算：
100.1
2
知识点
5
：公式的逆用
例
5
、计算：
x
5
2
x
5
x
3< br>
x
3
2
2< br>【
解题思路
】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平 方
2
2
公式
a
b
a
2
ab
b
的右边，不妨把公式倒过来用
.
2
【
解
】
x
5
2
x
5
x
3
x
3
=
x
5
x
3
4
.
2
2
2
【
方法归纳
】 解题中，
•
若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，
进行整 体思考、整体变形，
•
从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．
对 应练习
：化简
2
a
7
2
2
a
7
a
3
a
3
2
2
第
2
页
知识点
6
：公式的变形
2
2
例
6
、已知实数
a
、
b
满足
a
b
10
,
ab
1
.
求下列各式的值 ：（
1
）
a
b
；
< br>2
（
2
）
a
b
2< br>
【
解题思路
】此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把
a
、
b
的值分别求出来，非常困
难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来， 运用完全平方公式的变形式很容易找
到解决问题的途径
.
2
2
【
解
】
（
1
）
a
b
=
a
b
2
ab
8
；
（
2
）
a
b
a
b
4
a b
=6.
2
2
2
【
方
法
归
纳
】
a
b
2
a
b
2
4
ab
；
a
b
2
a
b
2
4
ab
,
a
2
b
2
a
b
2
2
ab
,
a
2
b
2
a
b
2
2
ab
熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键
.
对应练习
：已知 ：
x
＋
y
＝－
1
，
x
2
＋
y
2
＝
5
，求
xy
的值
.
知识点
7
：乘法公式的综合应用
例
7
、计算：< br>
x
y
z
x
y
z
【
解题思路
】此例 是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。故可
考虑
把相同的项和互为 相反数的项分别结合
构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式
等计算
.
【
解
】
【
方法归纳
】灵活运用公式主要是指既要 熟练地正用公式，又要掌握公式的逆用，还要根据
题目特点善于对公式进行变式使用
.
在解题中充分体现应用公式的思维灵活性，
综合并灵活地
解决有关的不同类型的问题
.
对应练习
：
2
x
y
3
z
2
x
y
3
z< br>
易错警示
例
8
、
(
x
+1)
2
.
错解< br>：
(
x
+1)
2
=
x
2
+1. < br>错解分析
：错解中漏掉了加上它们积的
2
倍，
(
x
+ 1)
2
≠
x
2
+1
，不能与积的幂
(
ab
)
n
=
a
n
b
n
混淆．
正解
：
(< br>x
+1)
2
=
x
2
+2
x
+1 < br>例
9
、
(
x
2
-
y
2
)(
x
2
-
y
2
).
错解
：
(x
2
-
y
2
)(
x
2
-
y< br>2
)=
x
4
-
y
4
第
3
页