倾耳倾听-朱竹

2021年2月1日发(作者：一起来看流星雨结局)
实

数


中考要求


内容

平方根、算数平
方根

立方根

实数


基本要求

了解开方与乘方互为你运算，了
解平方根及算术平方根的概念，
会用根号表示非负数的平方根及
算术平方根

了解立方根的概念，会用根号表
示数的立方根

了解实数的概念

略高要求

会用平方运算的方法，求某些非
负数的平方根

会用立方运算的方法，求某些数
的立方根

会进行简单的实数运算



能运用圆的性质
解决有关问题


较高要求

重难点


1.
平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；

2.
会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件

3.
能进行实数的运算


课前预习


无

理

数

的

发

现

──

第

一

次

数

学

危

机






大约公元前
5
世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社
会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为< br>
四艺

，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：
宇宙间一切事物都可 归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此
也发现了一些直角三 角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直
角三角形就是如此． 这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的

危机

，从而产 生了
第一次数学危机．






到了 公元前
370
年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理 不
可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第
5
卷中．欧多克斯和狄德金于
1872
年给出的无理数的解释
与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理 ，仍然反映出由不可通约量而带来的某些

困难和微妙之处．

第一次数学危 机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术
无关，
几何量不能完全由 整数及其比来表示，
反之却可以由几何量来表示出来，
整数的权威地位开始动摇，
而几 何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始
重视 演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！


例题精讲


模块一

平方根、算术平方根

平方根
:
如果一个数的平方等于
a
，那么这个数叫做
a
的平方根．

也就是说，若
x
2

a
，则
x
就叫做a
的平方根．

一个非负数
a
的平方根可用符号表示为
“

a
”
．

算术平方根：

一个正数< br>a
有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做
a
的算术平方根，可用符号 表示为
“
a
”
；
0
有一个平方根，就是
0
，
0
的算术平方根也是
0
，负数没有平方根，当然也没有算术平
方根 ．
（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）

一个非负数的平 方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若
a

0
，则a

0
．

平方根的计算：

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平 方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个
数是不是另一个数的平方根或算术平方根．


对定义和性质的考察



【例
1
】

判断题：

（
1
）
a
一定是正数．























(



)
（
2
）
a
2
的算术平方根是
a
．
















































(



)
（
3
）若
(

a
)
2

6
，则
a


6
．
























(



)
（
4
）若
x
2

64
，则
x


64


8
．




















(



)
（
5
）
64
的平方根是

8
．

























(



)
（
6
）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．


























(



)
（
7
）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数．














(



)
（
8
）

a
2
没有平方根．




























(



)
（
9
）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等．














(



)
【难度】
1
星

【解析】略

【答案】
（
1
）
×
；
（
2
）
×
；
（
3
）
×
；
（
4
）
√
；
（
5
）
×
；
（
6
）
×
；
（
7
）
×
；
（
8
）
×
；
（
9
）
√
．



【巩固】若
A



a
2

16

，则
A
的算术平方根是
_________
．

4
【难度】
2
星

【解析】
A
本身是
a
2

16

的算术平方根
(
a< br>2

16)
2
，故
A
的算术平方根为
a2

16
．

4
【答案】
a
2

16


< br>【巩固】设
a
是整数，则使
48
a
为最小正整数的
a
的值是
________
．

【难度】
2
星

【解析】
a
是整数，要使
48
a
为整数，
48
a
必须是完全平方数，

因为
48

4
2

3
，所以使
48
a
为最小正
整数的整数
a
为
3
．

【答案】
3


【例
2
】

x
为何值时，下列各式有意义？

（
1
）
2
x
；



















（
2
）

x
2
；














（
3
）

x

2
；

1
（
4
）

x

；


















（
5
）



；










（
6
）
x

1

1

2
x
；

x

1
【难度】
1
星

【解析】略

【答案】
（
1
）
x

0
；
（
2
）
x
=0
；
（
3）
x

2
；
（
4
）
x
为任意 数
；
（
5
）
x
>1
；
（
6
）

1

x



对计算的考察


【例
3
】

求下列等式中的
x
：

（
1
）若
x
2
＝
1
．
21
，则
x
＝
______< br>；



（
2
）
x
2
＝< br>169
，则
x
＝
______
；

9
（
3
）若
x
2

，则
x
＝
__ ____
；






（
4< br>）若
x
2
＝
(

2)
2
，则
x
＝
______
．

4
【难度】
1
星

【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．

3
【答案】
（
1
）
x


1.1
；
（
2
）
x
=

13
；
（
3
）
x

；
（
4
）
x


2．


2


【例
4
】

求下列各式的值

（
1
）
2
36


























（
2
）
49

25

4
（
3
）
0.09

0.64



















（
4
）
0.81



169
1
1
（
5
）
29
2

21
2






















（
6
）
0.64

625

4
5
【难度】
1
星

【解析】
指的是一个数的算术平方根，具有唯一性．

1
．

2

（
1
）
2
36

2

6

12
；

















（
2
）
49

25

7

5

12
；

4
2
9
0.9


（
3
）
0.09
0.64

0.3

0.8


0.5
；





（
4
）
0.81

；

169
1 3
65
1
1
1
1
（
5
）
292

21
2

50

8

4 00

20
；





（
6
）
0.64


625


0.8


25

0.2

5

5.2
；
4
5
4
5

【答案】
（
1
）
12
；





（
2
）
12
；





（
3
）

0.5
；





（
4
）


9
；




（
5
）
20
；


（
6
）
5.2
．

65

【巩固】求下列各式中
x
的值．

（
1
）
x
2

9
；



















（
2
）
2
x
2

50

0

1
（
3
）
(5
x

1)
2

3
0


















（
4
）
(10

0.2
x
)
2< br>
0.64

3
【难度】
1
星

【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．

（
1
）
x


3
；














（
2
）
x
2

25,
x


5
；

1
4
2
（
3
）
(5
x

1)
2

3,(5
x

1)
2

9,5
x

1


3,5
x

1

3
；
或
5
x

1

3
，
解得
x
或
x


．

3
5
5
（4
）
10

0.2
x


0.8,0 .2
x

10

0.8,0.2
x

10 .8
或
0.2
x

9.2
解得
x

54
或
x
=46
．

【答案】
（
1）
x


3
；














（
2
）
x


5
；

4
2
（
3
）
x

或
x


；






（
4
）
x

54
或
x
=46
．

5
5


对非负性的考察




【例
5
】

如果
a

b

3
与
a

2
b

2
互为相反数，求27(
a

b
)
的值．

【难度】
2
星

【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．

4

a




a

b

3

0
5
4
1

3
有题可知

解 得

，代入
27(
a

b
)
，
2 7

(

)

27


9

3
．

3
3
3

a

2
b

2

0

b

5

3

【答案】
3



【例
6
】

已知
b

4
9
a

4

2
4

9
a

2
，求
【难度】
2
星


9
a

4

0
1
1
9
1
11
4
【解析】由题可知

，

a

，
b
=2
，








4

9
a

0
a
b
4
2
2
9

1
1

的平方根．

a
b
【答案】



11

2< br>【巩固】已知
x
，
y
，
z
满足
4
x

4
y

1

【难度】
2
星
【解析】

1
1
2
y

z

(
z

)
2

0
，求
(
x

z
)
y
的值．

5
2
< br>1

x




2

4< br>x

4
y

1

0

< br>1
1
1
1
1

由题可知

2
y

z

0
，解得

y

< br>，
(
x

z
)
y

(
< br>
)

(

)

．

4< br>2
2
4
16


1
1

z


0

z


2

2

1
【答案】

16


总结：

（
1
）
当被开方数扩大
(
或缩小
)
n2
倍，它的算术平方根相应地扩大
(
或缩小
)
n
倍(
n

0
)
．

（
2
）
平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

< br>a
(
a

0)
①
若
a

0
，则
(
a
)
2

a
；
②
不管
a
为何值，总有
a
2

|
a
|




a
(
a

0)
注意二者之间的区别及联系．

（
3
）
若一个非负数
a
介于另外两个非负数
a
1
、
a
2
之间，即
0

a
1

a

a
2
时，它的算 术平方根也

介于
a
1
、
a
2

之间，即：
0

a
1

a

a
2
利用这个结论我们可以来估算一个非负数
的算术平方根的大致范围．



模块二

立方根



如果一个数的立 方等于
a
，那么这个数叫做
a
的立方根，也就是说，若
x
3

a
,
则
x
就叫做
a
的
立方根< br>，

一个数
a
的立方根可用符号表
“
3
a< br>”
，其中
“
3
”
叫做根指数，不能省略．

前面学习的
“
a
”
其实省略了根指数
“
2
”
，即：
2
a
也可以表示为
a
．

3
a< br>读作
“
三次根号
a
”
，
2
a
读作< br>“
二次根号
a
”
，
a
读作
“
根号< br>a
”
．

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，
0
的立方根为
0
．



立方根的计算：


求一个数的立方根的运算，叫做开 立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方
根，以及检验一个数是不是另一个 数的立方根．



对立方根定义和性质的考察



【例
7
】

（
1
）下列说法中，不正确的是

（




）

















A
．

8
的立方根是
2





B
．


8
的立方根是

2

C
．


0
的立方根是
0




D
．

3
a
2
的立方根是
a

61
（
2
）

1
的立方根是（




）

64

3





A
．


1

61
1
1
1




B
．

1




C
．

1




D
．

1


4
4
4
4
（
3
）某数的立方根是它本身，这样的数有（




）







A
．

1
个




B
．

2
个





C
．

3
个





D
．

4
个

（
4
）下列说法正确的是（




）

①

正数都有平方根；②

负数都有平方根，

③

正数都有立方根；④

负数都有立方根；















A
．
1
个





B
．
2
个





C
．
3
个





D
．
4
个

（
5
）若
a
立方比
a
大，则
a
满足（




）






A
．

a
<0



B
．

0<
a
<1




C
．

a
>1




D
．

以上都不对

（
6
）下列运算中不正确的是（




）





A
．

3

a


3
a









B
．

3

27

3

C
．
3
2
3

3
3


1









D
．

3
1

641

4


【难度】
1
星

【解析】略

【答案】
（
1
）
D
；
（
2
）
D
；
（
3
）
C
；
（
4
）
C
；
（
5
）
D
；
（
6
）
B
．



【巩固】
（
1
）若
x
的立方根是4
，则
x
的平方根是
______
．

（2
）
3
1

x

3
x
1
中的
x
的取值范围是
______
，
1
< br>x

（
3
）－
27
的立方根与
16
的平方根的和是
______
．

（
4
）若
3x

3
y

0
则
x
与
y的关系是
______
．

（
5
）如果
3a

4

4
那么
(
a

66 )

2
的值是
______
．

（
6）若
3
2
x

1

3
4
x< br>
1
则
x
＝
______
．

（< br>7
）若
m
＜
0
，则
m

3
m
3
=______
．

（
8
）若
5x

9
的立方根是
4
，则
3
x
4
的平方根是
______
．

【难度】
2
星

【解析】略

【答案】

（
1
）

8
；
（
2
）
任 意数；

x
=1
；
（
3
）

1< br>或

5
；
（
4
）
互为相反数
；
（
5
）
-
12
；
（
6
）< br>x
=1
；





（
7
）
0
；



（
8
）

37
．



对计算的考察



【例
8
】

求下列等式中的
x
：

（
1
）若
x
3
＝
0
．
729
，则
x
＝
______
；



（
2
）
x
3
＝

（
3
）若

3

x
=
【难度】
1
星

【解析】略

x

1中的
x
的取值范围是
______
．

64
，则
x
＝
______
；

27
5
，则
x
＝
______
；





（
4
）若
x
3
＝

(

2)
3
，则
x
＝
___ ___
．

2
4
125
【答案】
（
1）
0.9
；
（
2
）

；
（
3
）
；
（
4
）
2
．

3
8



【例
9
】

求下列各式的值

（
1
）
3
0.064























（
2
）
3

8



（
3
）

3

（
5
）
3
2

（
7
）
3
27

(

2)
2

3

1


【难度】
1
星

【解析】略

10






















（
6
）
3
11

4
3

25

27
8





















（
4
）
(
3
64)
3


125
2
4
【答案】
（
1
）
0.4
；< br>（
2
）

2
；
（
3
）
< br>；
（
4
）
64
；
（
5
）
；
（
6
）
9
；
（
7
）
6
．

5
3


【巩固】
（
1
）填表：


a

0
．
000001
0
．
001
1
1000
1000000
3
a






（
2
）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．

（
3
）

根据你发现的规律填空：

①

已知
3
3

1.442
，则
3
3000< br>=









，
3
0.000003
=







；

②

已知
3
456

7.696
，
，则
3
0.456
=








．

【难度】
2
星

【解析】略

【答案】
（
1
）
0.01
；



0.1
；





1
；




10
；




100
．

（
2
）
当被开方 数
(
大于
0)
扩大
(
或缩小
)
n
3
倍，它的立方根相应地扩大
(
或缩小
)
n
倍

（
3
）


①
14.42
；


0.01442
；



②
0.7696
．


总结

：
（
1
）

当被开方数
(
大于
0 )
扩大
(
或缩小
)
n
3
倍，它的立方根相应地扩大
(
或缩小
)
n
倍．

（
2
）

3
a
3

a
，
(
3
a
)
3

a

（
3
）

若一个数
a
介于另外两个数
a< br>1
、
a
2
之间，即
a
1

a

a
2
，它的立方根也介于
3
a
1
和
3
a
2
之间，

即
3
a
1

3
a

3
a
2
利用这个结论我们可以来估算一个数的立方 根的大致范围．



综合应用



【例
10
】

若
a

8
与
(
b

27)
2
互为相反数，求
3

a

3
b
的立方根．

【难度】
2
星



a

8
0

a


8
【解析】由题可知

，
解得

，

3

a

3
b

3
8

3

27

2

3

5,

3
5
．

b

27

0

b

< br>27
【答案】
1



【例
11
】

已
知
x

2
的平方根是
±
2
，
2
x

y

7
的立方根是
3
，求
x
2

y
2
的平方根．

【难度】
2
星

Q
【解析】
x

2

(

2)
2
，
Q

x

6
；
3
2
x

y

7

3
，


y

8
，

x
2

y
2


62

8
2


36

64


10
．
【答案】

10



总结
：平方根与立方根的区别与联系：




区别：

（
1
）
根指数不同：平方根的根指数是
2
，通常省略不写；立方根的根指数是
3
，却不能省略．

（
2
）
被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何 数．

（
3
）
平方的结果不同：平方根的结果除
0
之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有
一个．

（
4
）
平方根等于本身的数是
0
，算术平方根等于它本身的数是
0
，< br>1
，立方根等于它本身的数是
0
，
1
，

1
；

联系：

（
5
）
平方根与立方根相等的数是
0
．

（
6
）
平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．



模块三

实数



1
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．

注意：

（
1
）
所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．

（
2
）
圆周率

及一些含

的数是无理数．

（
3
）
不循环的无限小数是无理数．

（
4
）
有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．

2
无理数的性质：

设
a
为有理数，
b
为无理数，则
a+b
，
a-b
是无理数；

3
实数的概念：有理数和无理数统称为实数．

实数的分类：

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