华杯赛经典教案--整数与整除(教师版)
绝世美人儿
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2021年02月01日 07:36
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大城小爱王力宏-ipad闪退
课
题
整数与整除
学生姓名
年级
小六
授课时间
教师姓名
课时
1
、
掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；
教学目标
2
、
掌握算术基本原理与质因数分解的应用
3
、
重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想
重
点
难
点
掌握算术基本原理与质因数分解的应用
概念的“相对性”与“绝对性”的理解与区别
【前次课提要】
计数原理：
【知识点梳理】
1
）已知
b|c ,a|c,
则
[a,b]|c,
特别地，若
(a,b)=1,
则有< br>ab|c
。
2
）已知
c|ab
，
(b,c)=1,
则
c|a
。
3
）唯一分解 定理：任何一个大于
1
的自然数
n
都可以写成质数的连乘积，即
n= p1
a
1
×
p2
a
2
×...×p
k
ak
（
#)
其 中
p1
a1,a2,....ak
为自然数， 并且这种表示是唯一的。
该式称为
n
的质因子分解式。
4
）约数个数定理：设自然数
n
的质因子分解式如（
#
）< br>
那么
n
的约数个数为
d(n)=(a1+1)(a2+1).... (ak+1)
所有约数和：（
1+P1+P1
+
„
p1
2
a
1
）（
1+P2+P2
+
„
p2
2a
2
）„（
1+Pk+Pk
+
„
pk
2
ak
）
5)
用
[a,b]
表示
a
和
b
的最小公倍数，
(a,b)
表示
a
和
b
的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
6
） 自然数是否能被
3
，
4
，
25
，
8
，125
，
5
，
7,9
，
11
，
13< br>等数整除的判别方法。
7
）平方数的总结：
1
：平方差
A
-B
=< br>（
A+B
）（
A-B
），其中我们还得注意
A+B
，
A-B
同奇偶性。
2
：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为
3
的是质数的平方。
3
：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
4:
平方和。
8
）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
9
）周期性数字：
abab=ab
×
101
作业
2
2
【例题讲解】
题型：数的整除
例题：
【例
1< br>】（★★★）
将
4
个不同的数字排在一起，可以组成
24
个不 同的四位数（
4
×
3
×
2
×
1=24
）。 将这
24
个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是
5
的倍数；按从大到 小
排列的话，第二个是不能被
4
整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差 在
3000-4000
之间。请求出这
24
个四位数中最大的一个。
【解】：不妨设这
4
个数字分别是
a>b>c>d
那么 从小到大的第
5
个就是
dacb,
它是
5
的倍数，因此b=0
或
5
，注意到
b>c>d,
所以
b=5; 从大到小排列的第
2
个是
abdc,
它是不能被
4
整除 的偶数；所以
c
是偶数，
c
＜
b=5
，
c=4或
2
从小到大的第二十个是
adbc,
第五个是
dacb,< br>它们的差在
3000-4000
之间，所以
a=d+4
；
< br>因为
a>b,
所以
a
至少是
6
，那么
d最小是
2
，所以
c
就只能是
4
。而如果
d=2
，那么
abdc
的末
2
位
是
24
，它是< br>4
的倍数，和条件矛盾。因此
d=3,
从而
a=d+4=3+4=7< br>。
这
24
个四位数中最大的一个显然是
abcd,
我们求得了
a=7,b=5,c=4,d=3
所以这
24
个四位数中最大的一个是
7543
。
【例
2
】
（★★★）
一个
5
位数，它的 各个位数字和为
43
，且能被
11
整除，求所有满足条件的
5
位数？
[
思路
]
：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和 ，也可以选择被
11
整除，但我们发
现被
11
整除性质的运用要具体 的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入
手
【解】：
5
位数数字和最大的为
9
×
5=45
，这样
43
的可 能性只有
9
，
9
，
9
，
9
，
7< br>或
9
，
9
，
9
，
8
，
8< br>。
这样我们接着用
11
的整除特征，
发现符合条件的有
999 79
，
97999
，
98989
符合条件。
< br>【例
3
】（★★★）
由
1
，
3
，
4
，
5
，
7
，
8
这六个数字所组成的六位数中，能被
11
整除的最
大的数是多少？
【解】：各位数字和为
1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为
14
为了使得该数最大，首位必须是
8< br>，第
2
位是
7
，
14-8=6
那么第
3
位一定是
5
，第
5
位为
1
该数最大为
875413
。
[
拓展
]
：
一个三位数，它由
0
，
1
，
2
，
7
，
8
组成，且它能被
9
整除，问满足条件的总共有几
个？
【例
4
】
（
★★）
一个学校参加兴 趣活动的学生不到
100
人，
其中男同学人数超过总数的
4/7
，
女同学的人数超过总数的
2/5
。问男女生各多少人？
【解】：男生超过总数的
4/7
就是说女生少个总数的
3/7，这样女生的范围在
2/5
～
3/7
之
间，
同理可得男 生在
4/7
～
3/5
之间，
这样把分数扩大，
我们可得女生 人数在
28/70
～
30/70
之间，所以只能是
29
人， 这样男生为
41
人。
题型：
质数与合数（分解质因数）
2
【例
5
】（★★★）
2005
×
684
×
375
×□最 后
4
位都是
0,
请问□里最小是几
?
【解】：先分析
1
×
2
×
3
×
4
××10
的积的末尾共有多少个
0
。由于分解出
2
的个数比
5
多，这
样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个
5
这个质因数。而能 分解出
5
的一
定是
5
的倍数。注意：
5
的倍数能分 解一个
5
，
25
的倍数分解出
2
个
5
，< br>125
的倍数能
分解出
3
个
5
„„最终转化成计数问 题，如
5
的倍数有
[10/5]=2
个。
2005=5
×
401 684=2
×
2
×
171
375=3
×< br>5
×
5
×
5
前三个数里有
2
个质因子
2
，
4
个质因子
5
，要使得乘积的最后
4
位都< br>是
0
应该有
4
个质因子
2
和
4
个 质因子
5
，还差
2
个质因子。因此□里最小是
4
。
[
拓展
]
：
2005
×
684
×
375
×□最后
4
位都是
0
，且是
7
的倍数，问□ 里最小是
_____
【例
6
】
（★★★）
03
年
101
中学 招生人数是一个平方数，
04
年由于信息发布及时，
04
年
的招生人 数比
03
年多了
101
人，也是一个平方数，问
04
年的招 生人数？
【解】
：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设
03
年的为
A
，
04
年的为
B
，从中我们发现04
年的比
03
年多
101
人，这样我们可以列式子
B
- A
=101
此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，
所以
B
-
A
=
（
A+B
）
（< br>A-B
）
=101
，
可见右边的数也要分成
2
个数的 积，
还得考虑同奇偶性，
但
101
是个质数，所以
101
只 能分成
101
×
1
，这样
A+B=101
，
A-B =1
，所以
A=50
，
B=51
，所
以
04
年的招生人数为
51
×
51=2601
。
[
拓 展
]
：
一个数加上
10
，减去
10
都是平方数，问 这个数为多少？（清华附中测试题）
2
2
2
2
2
2
题型：
约数和倍数
【例
7
】
（★★★）
从一张长
2002
毫米，宽
847
毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大
的正方形，
如果 剩下的部分不是正方形，
那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正
方形。按照上面的过 程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
【解】
：边长是< br>2002
和
847
的最大公约数，可用辗转相除法求得
（
2002,847
）
=77
所以最后剪得的正方形的边长是
77
毫米。
辗转相除示例：
2002
÷
847=2
„
308
求
2
个数的最大公约数，就用大数除以小数
847
÷
308=2
„
231
用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
308
÷
231=1
„
77
用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
231
÷
77=3
最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数
【例
8】
（★★★）
一根木棍长
100
米，现从左往右每
6
米 画一根标记线，从右往左每
5
米作一
根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差
4
米？
【解】：
100
能被
5
整除，所 以每
5
米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们
都以从左往右作，可见转化成讨论
5
，
6
的最小公倍数中的情况，
画图可得有2
根距离为
4
米，
所以
30
，
60
，
90
里各有
2
条，但发现最后
96
和
100
也是距离
4
米，所以总共
2
×
3+1=7
。
< br>[
拓展
]
：在一根长木棍上，有三种刻度线
.
第一种刻度线将 木棍分成十等份；第二种将木棍
分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份
.
如果沿每 条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共
3
被锯成多少段？
【例
9
】（★★★）
1
、
2
、
3
、
4
„
2008
这
2 008
个数的最小公倍数等与多少个
2
与一个奇数
的积？
【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除
2
以外都是奇数
质因数，可见我们只要找需要多少个
2
，所以只要看
1
～
2008
中
2
ˇ
n
谁最大，可见
2
ˇ< br>10=1024
，所以为
10
个
2
。
【例
10
】
（★★★★）
有
15
位同学，每位同学 都有编号，它们是
1
号到
15
号。
1
号同学写了一
个自然数，
2
号说：“这个数能被
2
整除”，
3
号说“这个 数能被
3
整除”，„„，依次下去，
每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1
号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学
说得不对，其余同学都对，问：（
1
）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然
数？（
2
）如果告诉你 ，
1
号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）
【解 】：
1
）首先可以断定编号是
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
号的同学说的一定都对。不然，其中说
的不对的编号乘以
2
后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不< br>对”不符合。因此，这个数能被
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
都整除。
其次利用整除性质可知， 这个数也能被
2
×
5
，
3
×
4
，
2
×
7
都整除，即编号为
10
，
12
，
1 4
的
同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是
8
和
9。
2
）这个数是
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
10
，
11< br>，
12
，
13
，
14
，
15
的公倍 数
由于上述十二个数的最小公倍数是
60060
因为
60060
是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以
1
号同学写的数
就是
60060
。
题型：
数论的综合题型
【例
11
】（★★★★ ）
某住宅区有
12
家住户，他们的门牌号分别是
1
，
2，
…
,12.
他们的电
话号码依次是
12
个连续的六位 自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已
知这些电话号码的首位数字都小于
6
，
并且门牌号是
9
的这一家的电话号码也能被
13
整除，< br>问：这一家的电话号码是什么数？
【解】：
设第一户电 话号是
x+1,
第二户
x+2,
…
.
第
12
户电话号
x+12
根据条件得
x+i
是
i
的倍数
(i=1,2,
…
,12)
因此
x
是
1
，
2
，
…
.12
的公倍数
[1,2,
…
..12]=27720
所以
x=27720m < br>27720m+9
是
13
的倍数，
27720
除以
1 3
余数为
4
所以
4m+9
是
13
的倍数
m=1,14,27
…
.
第一家电话号码是
27720m+1
m
取
14
合适；
因此第一家电话号码是
27720*14+1=388081
[
拓展
]
：
写出连续的
11
个自然数，
要求第
1
个是< br>2
的倍数，
第二个是
3
的倍数„第
11
个是
12
的倍数？
4