网络营销策划案-春天的故事歌曲

2021年2月1日发(作者：亿告)
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乘法公式的复习


一、复习
:
(a+b)(a-b)=a
-b
(a+b)
=a
+2ab+b
(a-b)
=a
-2ab+b

(a+b)(a
-ab+b
)=a
+b
(a-b)(a
+ab+b
)=a
－
b


归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①

位置变化，

x

y

y

x

x

y

②

符号变化，

x

y

x

y

x


y

x

y

③

指数变化，

x

y

x

y

x

y

④

系数变化，

2
a

b

2
a

b

4a

b

⑤

换式变化，

xy
z

m

xy

z
m



xy


z

m


x
y

z

m

z

m



x
y

z

zm

zm

m



x
y
z

2
zm

m

⑥
< br>增项变化，

x

y

z

x< br>
y

z



x

y


z


x

y

x

y

z
< br>
x

xy

xy

y

z


x

2
xy

y

z

⑦

连用公式变化，

x

y

x

y

x

y


< br>x

y

x

y



x

y

⑧

逆用公式变化，

x

y

z


x

y

z



x

y

z

x

y

z

x

y

z
 
x

y

z




2
x

2
y

2
z




4
xy

4
xz


例1
．已知
a

b

2
，
ab

1
，求
a

b
的值。

2
2< br>2
2
4
4
2
2
2
2
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
4
4
2< br>2
2
2
2
2
2
2
3
3
2< br>2
3
3
2
2
2
2
2
2
2< br>2


实用文档

2
2
2
2
解：∵
(
a

b
)

a

2< br>ab

b

∴
a

b
=
(
a

b
)

2
ab

22
∵
a

b

2
，
ab
< br>1

∴
a

b
=
2
2

2

1

2


例
2
．已知
a

b

8
，
ab
2
，求
(
a

b
)
的值。

2
2
2
2
解：∵
(
a

b
)
a

2
ab

b

(
a

b
)

a

2
ab
b

2
2
2
2
2
∴
(
a
b
)

(
a

b
)
4
ab

∴
(
a

b
)

4
ab
=
(
a

b
)


2
∵
a

b

8
，
a b

2

∴
(
a

b
)

8

4

2

56

2
2
2
2
2


例
3
：计算
1999
-2000
×
1998 〖解析〗此题中
2000=1999+1
，
1998=1999-1
，正 好符合平方差公式。

解：
1999
-2000
×
1998 =1999
-
（
1999+1
）×（
1999-1
）

=1999
-
（
199 9
-1
）
=1999
-1999
+1 =1

例
4
：已知
a+b=2
，
ab=1
，求
a
+ b
和
(a-b)
的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

解：
a
+b
=(a+b)
-2ab=4-2=2

（
a-b)
=(a+b)
-4ab=4-4=0

例5
：已知
x-y=2
，
y-z=2
，
x+z=14。求
x
-z
的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出
x
、
y
、
z
的值，比较麻烦，考虑到
x
-z是由
x+z
和
x-z
的积得来的，所以只要求出
x-z
的值即可。

解：因为
x-y=2
，
y-z=2
，将两式相 加得
x-z=4
，所以
x
-z
=
（
x+z
）
(x-z)=14
×
4=56
。


例
6
：判断（
2+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）……（
2
2
4
2048
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2< br>+1
）
+1
的个位数字是几？

〖解析〗
此题直接计 算是不可能计算出一个数字的答案，
故有一定的规律可循。
观察到
1=
（2-1
）和上式可构成循环平方差。

解：
（
2+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）……（
2
2
4
2
4
2048
+1
）
+1
+1
）
+1
=
（
2-1
）
（2
+1
）
（
2
+1
）……（
2
=2
4096
2048



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=16
1024
因为当一个数的个位数字是
6
的时候，这个数的任意正整数 幂的个位数字都是
6
，所以
上式的个位数字必为
6
。


例
7
．运用公式简便计算

（
1
）
103

（
2
）
198

解：
（
1
）103

100

3



100

2

100

3

3


10000

600

9

10609

（
2
）
198< br>
200

2



200
< br>2

200

2

2


40000

800

4

39204

例
8
．计算

（
1
）

a

4
b

3
c

a

4
b

3
c


（
2
）

3
x

y

2

3
x

y

2


解：
（
1
）原式

a

3
c

4
b

a

3
c

4
b

a

3
c


4b


a

6
ac

9
c< br>
16
b


（
2
）原式
3
x

y

2

3
x

y

2

9
x

y

4
y

4

9
x

y

4
y

4

例
9
．解下列各式

（
1
）已知
a

b

13
，
ab

6
，求

a

b

，

a

b

的值。

（
2
）已知

a

b< br>

7
，

a

b

< br>4
，求
a

b
，
ab
的值。
a
2

b
2
（
3
）已知
a

a

1

a

b

2，求

ab
的值。

2
1
1
（
4
）已知
x


3
，求
x
4

4
的值。

x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 < br>2
2
2
2
分析：在公式

a

b< br>

a

b

2
ab
中，如果把< br>a

b
，
a

b
和
ab
分 别看作是一个整体，则公
式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。

解：< br>（
1
）∵
a

b

13
，
ab

6


a

b


a

b

2
ab

13
2

6

25

a

b


a

b

2
ab
13

2

6

1

（
2
）∵

a

b


7
，

a

b


4


a

2
ab

b

7
①

a

2
ab

b

4
②


①

②得
2

a

b

11
，即
a
2

b
2


①

②得
4
ab

3
，即
ab

2
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
11

2
3

4

（
3
） 由
a

a

1

a

b
2
得
a

b

2


实用文档

a
2

b
21
1
1
2
2



a b


a
2

b
2

2
ab



a

b





2


2

2
2
2
2
1

1
1
1


（
4< br>）由
x


3
，得

x



9

即
x
2

2

2

9


x
2

2

11

x

x
x
x

1

1
1




x
2

2


121

即
x
4

4

2

1 21

x
4

4

119

x

x
x




例
1 0
．四个连续自然数的乘积加上
1
，一定是平方数吗？为什么？

分 析：由于
1

2

3

4

1< br>
25

5
2

3

4

5

1

121

11
3

4

5

6
1

361

19


……

得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上
1
，都是平方数。

解：设
n
，
n

1
，
n

2
，
n

3
是四个连续自然数

则
n

n

1

n

2

n
< br>3

1

n

n

3
n

1

n

2
< br>1

n

3
n


2< br>
n

3
n

1

n

3
n

n

3
n

2
1

n

3
n

1


∵
n
是整数，

n
，
3
n
都是整数


n

3
n

1
一定是整数


n

3
n

1

是一个平方数


四个连续整数的积与
1
的和必是一个完全平方数。


例
11
．计算

（
1
）

x

x

1


（
2）

3
m

n

p

解：
（
1
）

x

x

1< br>

x


x


1

2

x

x

2

x

1

2

x

1
< br>x

x

1

2
x

2< br>x

2
x

x

2
x

3
x

2
x

1

（2
）

3
m

n

p

3
m


n

p


2

3
m

n

2

3
m

p

2

n

p

9
m

n

p

6
mn

6
mp

2
np

分析：两数和的平方的推广



a

b

c



a

b

c



a

b


2

a

b

c

c


a

2
ab

b

2
ac

2
bc

c



a

b

c

2
ab

2
bc

2ac
即

a

b

c

a

b

c

2
ab
< br>2
bc

2
ac
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的
2
倍。


二、乘法公式的用法

(
一
)
、套用
:
这 是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，
准确地掌握其特征，为辨认和运用 公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


实用文档

例
1.
计算：
5
x
2

3
y
2
5
x
2

3
y
2

解：原式

5
x
2







2

3
y
2
2

25
x
4

9
y
4
(
二
)
、连用
:
连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。< br>
例
2.
计算：

1

a
< br>a

1

a
2

1
a
4< br>
1

解：原式

1

a
2
1

a
2
1

a
4









1

a
4
1

a
4

1

a
8




例
3.
计算：

3
x

2
y

5
z

1
 

3
x

2
y

5
z

1


解：原式


2
y
< br>5
z



3
x

1
< br>



2
y

5
z
< br>

3
x

1



< br>

2
y

5
z


< br>3
x

1

2
2
2
2
2< br>
4
y

9
x

25
z

20
yz

6
x

1
三、逆用
:
学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出
公式的逆向形式，并 运用其解决问题。

例
4.
计算：

5
a

7
b

8
c



5
a

7
b

8
c


解：原式


5
a

7
b

8
c



5
a

7
b

8
c


5
a

7
b

8
c



5
a

7
b

8
c


2
2





10
a

14
b

16
c

140
ab

160
ac

四、变用
:
题目变形后运用公式解题。

例
5. 计算：

x

y

2
z

x

y

6
z


解：原式
< br>

x

y

2
z

< br>4
z



x

y

2< br>z


4
z


2
2
2< br>

x

y

2
z

< br>
4
z

2
2


x
< br>y

12
z

2
xy

4
xz

4
yz
五、活用
:
把公式本身适当变形后再用于 解题。这里以完全平方公式为例，经过变形
或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：



实用文档

1
.

a
b


2
ab

a
2

b< br>2
2
.

a

b


2< br>ab

a
2

b
2
3
.

a

b



a

b


2
a

b
2
2
2
2
2

2


4
.

a

b



a

b


4
a b
灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

2
2
例
6.
已知
a

b
4
，
ab

5
，求
a
2

b
2
的值。

解：
a
2

b
2

a

b

2

2
ab< br>
4
2

2

5

26


例
7.
计算：

a

b
< br>c

d

2


b

c< br>
d

a

2

解：原式



b

c



a

d


2



b

c



a

d


2


2


b

c

2


a

d

2



2
a
2

2
b
2

2
c
2

2
d
2

4
bc

4
ad< br>
例
8.
已知实数
x
、
y
、
z< br>满足
x

y

5
，
z
2

xy

y

9
，那么
x

2y

3
z

（
解：由两个完全平方公式得：
a b

1

a

b

2


a

b

2
4



从而

z
2

1
4

5
2


x

y

2


y

9


25
4

1
4
5

2
y

2

y
9


y
2

6
y

9



y
2

6
y
9




y

3

2∴
z
2


y

3

2
0
∴
z

0
，
y

3
∴
x

2
∴
x

2
y
3
z

2

2

3
0

8
）




实用文档


三、学习乘法公式应注意的问题




（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．



例
1
计算
(-2
x
-5)(2
x
-5)


分析：
本题两个因式中
“
-5
”
相同 ，
“
2
x
”
符号相反，
因而
“
-5
”
是公式
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
-
b
中的
a
，而“
2
x< br>”则是公式中的
b
．



解：原式
=(- 5-2
x
)(-5+2
x
)=(-5)
-(2
x
)
=25-4
x
．




例
2
计算
(-
a
+4
b
)


分析：运用公式
(
a
+
b
)
=
a
+2
ab
+
b
时，“
-
a
”就是公式中的
a< br>，“
4
b
”就是公式中的
b
；
若将题目变形为
(4
b
-
a
)
时，则“
4
b
”是公式中 的
a
，而“
a
”就是公式中的
b
．（解略）




（二）、注意为使用公式创造条件



例
3
计算
(2
x
+
y
-
z+5)(2
x
-
y
+
z
+5)
．



分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“
2
x
”、“
5
”两项同号，
“
y
”、“
z
” 两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．


< br>解：原式
=
〔
(2
x
+5)+(
y
-
z
)
〕〔
(2
x
+5)-(
y
-
z)
〕



=(2
x
+5)
-(
y
-
z
)



=4
x
+20
x
+25-
y< br>+2
yz
-
z
．




例
4
计算
(
a
-1)
(
a
+< br>a
+1)
(
a
+
a
+1)



分析：
若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，
则可利用
乘法公式，使运算简便．



解：原式
=[(
a
-1)(
a
+
a
+1)(
a
+
a
+1)]



=[(
a
-1)(
a
+
a
+1)]



=(
a
-1)
=
a
-2
a
+1


例
5
计算
(2+1)(2
+1)(2
+1)( 2
+1)
．



分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太 繁，但若添上一项（
2-1
），则可运用公式，
使问题化繁为简．



解：原式
=(2-1)(2+1)(2
+1)(2
+1)(2
+1)


=(2
-1)(2
+1)(2
+1)(2
+1)


=(2
-1)(2
+1)(2
+1)


=
（
2
-1
）（
2
+1
）



8
8
4
4
8
2
2
4
8
2
4
8
2
4
8
9
2
18
9
3
6
3
2
2
6
3
2
2
2
2
6
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
实用文档



=2
-1



（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由
(
a< br>+
b
)
=
a
+2
ab
+
b
，可推广得到：
(
a
+
b
+
c
)
=
a
+
b
+
c
+2
ab
+2
ac
+2
bc
．



可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的
2
倍．



例
6
计算
(2
x
+
y
-3)


< br>解：原式
=(2
x
)
+
y
+(-3)
+2< br>·
2
x
·
y
+2
·
2
x
( -3)+2
·
y
(-3)


=4
x
+
y
+9+4
xy
-12
x
-6
y
．




（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式



例
7 (1)
已知
x
+
y
=10，
x
+
y
=100
，求
x
+
y
的值；



(2)
已知：
x
+2
y
=7
，
xy
=6
，求
(
x
-2
y
)
的值．



分析：粗看似乎无从下手，但注 意到乘法公式的下列变形：
x
+
y
=(
x
+
y)
-2
xy
，
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
x
3
+
y
3
=(
x
+
y
)
3
-3
xy< br>(
x
+
y
)
，
(
x
+
y< br>)
2
-(
x
-
y
)
2
=4
xy
，问题则十分简单．



解：
(1)
∵x
+
y
=(
x
+
y
)
-3
x y
(
x
+
y
)
，将已知条件代入得
100=10< br>-3
xy
·
10
，




∴
xy
=30

故
x
+
y
=(
x
+
y
)
-2
xy
=10
-2
×
30=40
．



(2)(
x-2
y
)
=(
x
+2
y
)
-8
xy
=7
-8
×
6=1
．




例
8
计算
(
a
+
b
+
c
)
+(
a
+
b
-
c
)
+(< br>a
-
b
+
c
)+(
b
-
a
+
c
)
．



分析：直接展开，运算较繁，但注 意到由和及差的完全平方公式可变换出
(
a
+
b
)
+(a
-
b
)
=2(
a
+
b
)
， 因而问题容易解决．



解：原式
=[(
a
+< br>b
)+
c
]
+[(
a
+
b
)-c
]
+[
c
+(
a
-
b
)]
+[
c
-(
a
-
b
)]



=2[(
a
+
b
)
+
c
]+2[
c
+(
a
-
b
)
]


=2[(
a
+
b
)
+(
a
-
b
)
]+4
c



=4
a
+4
b
+4
c



（五）、注意乘法公式的逆运用



例
9
计算
(
a
-2
b
+3
c
)
-(
a+2
b
-3
c
)
．



分 析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简
便得多．



解：原式
=[(
a
-2
b
+3
c
)+(
a
+2
b
-3
c
)][(
a< br>-2
b
+3
c
)-(
a
+2
b
-3
c
)]


=2
a
(-4b
+6
c
)=-8
ab
+12
ac
．



例
10
计算
(2
a
+3
b
)
-2(2
a
+3
b
)(5
b
-4
a
)+(4
a
-5
b
)



分析：
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，
但逆用完全平方公式，
则运


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
实用文档
算更为简便．



解：原式
=(2
a+3
b
)
+2(2
a
+3
b
)(4
a
-5
b
)+(4
a
-5
b
)



=[(2
a
+3
b
)+(4
a
-5b
)]



=(6
a
-2
b
)
=36
a
-24
ab
+4
b
．

四、怎样熟练运用公式：


（一）
、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，
且在这四 项中有两项完全相同，
另两项是互为相反数；
等号右边是乘式中两项的平方差，
且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公
式．


（二）
、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母
a
、
b
可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义
的广泛性， 就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（
x
+2
y
－
3
z
）
，若视
x
+2
y
为公式
中的
a，
3
z
为
b
，则就可用（
a
－
b）
=
a
－
2
ab
+
b
来解了。


（三）
、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形 式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特
征，合理调整变化，使其满足公式特点．


常见的几种变化是：

1
、位置变化

如（
3
x
+5
y
）
（
5
y
－< br>3
x
）
交换
3
x
和
5
y
的 位置后即可用平方差公式计算了．

2
、符号变化

如（－
2
m
－
7
n
）
（
2
m
－
7
n
）变为－（
2
m
+7
n
）
（
2
m
－
7
n
）后就可用平方差公
式求解了（思考：不变或 不这样变，可以吗？）

3
、数字变化

如
98
×
102
，
99
，
91
等分别变为（
100
－
2
）
（
100+2
）
，
（
100－
1
）
，
（
90+1
）
后就能够用乘法公式加 以解答了．

4
、系数变化

如（
4
m
+
进行计算了．

5
、项数变化

如（
x
+3
y
+2z
）
（
x
－
3
y
+6
z
）变 为（
x
+3
y
+4
z
－
2
z
）< br>（
x
－
3
y
+4
z
+2
z
）后再适
当分组就可以用乘法公式来解了．


（四）
、注意公式的灵活运用

n
n
n
n
）
（
2
m
－
）变为
2
（
2
m+
）
（
2
m
－
）后即可用平方差公式
2
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


实用文档

有些题目往往可用不同的公式来解，
此时要选择最恰当的公式以使 计算更简便．
如计算
（
a
+1
）
·
（
a< br>－
1
）
，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步< br>计算，则非常简便．即原式
=[
（
a
+1
）
（
a
－
1
）
]
=
（
a
－
1
）
=
a
－
2
a
+1
．

对数学 公式只会顺向
（从左到右）
运用是远远不够的，
还要注意逆向
（从右到左）< br>运用．
如
计算（
1
－
1
1
1
11
）
（
1
－
2
）
（
1
－2
）…（
1
－
2
）
（
1
－
2
）
，若分别算出各因式的值后再行
2
2
3
4
910
2
2
2
4
2
8
4
2
2< br>2
2
相乘，
不仅计算繁难，
而且容易出错．
若注意到各因式均 为平方差的形式而逆用平方差公式，
则可巧解本题．

即原式
=
（< br>1
－
）
（
1+
）
（
1
－
）
（
1+
）×…×（
1
－
×…×
9
111
11
11
×
=
×
=
．

10
10
10
20
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
1
3
2
4
1
）
（
1+
）
=
×
×
×
10
102
2
3
3
有时有些问题不能直接用乘法公式解决，
而要用到乘法 公式的变式，
乘法公式的变式主
要有：
a
+
b
=
（
a
+
b
）
－
2
ab
，
a
+
b
=
（
a
－
b
）
+2
ab等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知
m
+
n
=7
，
mn
=
－
18
，求
m
+
n
，
m
－
mn
+
n
的值．

面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m
+
n
=
（
m
+
n
）
－2
mn
=7
－
2
×（－
18
）
=49 +36=85
，

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
2
－
mn
+
n
2
=
（
m
+
n< br>）
2
－
3
mn
=7
2
－
3
×（－
18
）
=103
．


下列各题，难不倒你吧？！

1
、若
a
+
1
1
1
2
2
=5
，求（
1
）
a
+
2
，
（
2
）
（
a
－
）
的 值．

a
a
a
2
4
8
16
32< br>64
2
、求（
2+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
+1
的末位数字．

（答案：
1.
（
1
）
23
；
（
2
）
21
．
2. 6
）


五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a
＋
b)(a
－
b)=a
－
b
，
( a
±
b)=a
±
2ab
＋
b
，

(a
±
b)(a
±
ab
＋
b
)=a
±b
．


第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．

例
1
计算



2
2
3
3
2
2
2
2

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