最大公因数与最小公倍数 讲义
余年寄山水
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2021年02月01日 07:43
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本文由作者推荐
不值得歌词-小学数学试卷分析
中小学
1
对
1
课外辅导专家
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课时间
课
型
2013-03-16
新授课
授课教师
授课题目
使用教具
最大公因式与最小公倍数
1.
掌握最大公因数和最小公倍数的求法；
2.
会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；
教学目标
3.
培养学生的思维能力。
会求最大公因数和最小公倍数，掌握它们之间的 关系，并能应用解决相
关问题是热门考点。
教学重点和难点
参考教材
重点：掌握最大公因数和最小公倍数的求法；
难点：能熟练运用最大公因数和最小公倍数解应用题。
教学流程及授课详案
一、课本知识复习：
1
、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、互质数的概念复习；
4< br>、
2
个自然数的最大公因数、最小公倍数的求法：观察比较法、短除法
5
、
3
个自然数的最大公因数、最小公倍数的求法：可以先求其中任意两个的数的最 大
公因数
（最小公倍数）
，
再求这个公因数
（公倍数）
与另 外一个数的最大公因数
（最
小公倍数）
，这样求下去，直至求得最后结果。
6
、
（
1
）求
12
和
18
的最大 公因数；
6
（
2
）求
10
、
16
和
24
的最小公倍数；
240
（
3
）有三根铁丝，长度分别是
120
厘米、
180
厘米和
300
厘米。现在要把它们截成
相等的小段，< br>每根都不能有剩余，
每小段长多少厘米？一共可以截成多少段？
分析：∵要截成相等的小段，且无剩余，
时间分配及备注
∴每段长度必是
120
、
180
、
300
的公约数。
解：∵
3
0
︳
120 180 300
2
︳
4 6 10
2
3 5
又∵每段要尽可能长
∴要求的每段长度就是
120
、
18 0
和
300
的最大公约数
（
120,180,300
）
=3
0
×
2=60
∴每小段最长
60
厘米
2+3+5=10
（段）
答：每段最长
60
厘米，一共可以截成
10
段。
（
4
）加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可加工
3
个，第二道工序每个工人每小时可加工
5
个，第三道工序每个工人每小时可
加工
10
个。要使流水线正常生产，各道工序安排几个工人最合理？
龙文教育·教育是一项良心工程
中小学
1
对
1
课外辅导专家
分析：要使流水线正 常生产，不浪费人力和时间，加工零件的个数应是
3
、
5
、
10的最小公倍数。
解：因为
3
、
5
、
10
的最小公倍数是
30
所以各道工序均应加工
30
个零件
30
÷
3=10
（人）
30
÷
5=6
（人）
30
÷
10=3
（人）
答 ：第一道工序安排
10
人，第二道工序安排
6
人，第三道工序安排
3
个人
最合理。
二、新课导入：
例
1.
一张长方形纸，长
2703
厘米，宽
1113
厘米，要把它截成若干个同样 大小的正方
形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问：这样的正方形的边长是多
少厘 米？
让学生先做。通过复习，学生肯定是知道这题是考最大公约数这个知识点的， 可
是能否通过已有知识求出答案就很难说了。
就算求出，
肯定也是大费周章，
此时，
引出求最大公约数的另一种方法——
辗转相除法
，预计能很快让学生接受。
辗转相除法的介绍：
辗转相除法，又叫欧几里得算法，是求两个正整数的最大 公
因数的算法，
是已知最古老的算法，
可追溯至
3000
年前，首次出现于欧几里得
（几
何学的奠基人）的《几何原本》
，而在中国则可以追溯至 东汉出现的《九章算术》
。
分析：
由题意可知，
正方形 的边长即是
2703
和
1113
的最大公约数。
我们可以用上面复< br>习的短除法来求得这俩个数的最大公约数，可是很麻烦。那遇到类似此题情况，
两个数除了
1
以外的公约数一下不好找到，
但又不能轻易断定它们是互质的，
怎
么办？ 在此，我们以例
1
为例，介绍一种新的求最大公约数的方法。
对于例
1
，可做如下图解：
1113
1113
159
159
159
159
447
1113
477
1113
477
447
2703
从图中可知：
在长
2703
厘米、
宽
1113
厘米的长方形纸的一端，
依次裁去以宽
（
1113
厘米）为边长的正方形
2
个，在裁后剩下的长
1113
厘米，宽
47 7
厘米的长方形中，再
裁去以宽（
477
厘米）为边长的正方形
2< br>个，然后又在裁剩下的长方形（长
477
厘米，
宽
159
厘米 ）中，以
159
厘米为边长裁正方形，恰好裁成
3
个，且无剩余，因此可知，
159
厘米是
477
厘米、
1113
厘米和
270 3
厘米的约数。所以裁成同样大的，且边长尽可
能长的正方形的边长应是
159
厘米。所以，
159
是
2703
和
1113
的最大公约数 。
把图解过程转化为计算过程，即：
270
3
÷
1113=2
„„
477
111
3
÷
477=2
„„
159
477
÷
159=3
当余数为
0
时，
最后一个算 式中的除数
159
就是原来两个数
2703
和
1113
的最 大公
约数。
解：∵
2703=
2
×
1113+477
1113=2
×
477+159
477=3
×
159
∴（
2703
，
1113
）
=159
答：这样的正方形的边长是
159
厘米。
练习
1
、求
1008
、
1260
、
882
三个数的最大 公因数是多少？
126
例
2
、两个数的最大公因数是
4
，最小公倍数是
252
，其中一个数是
28
，另一个数是 多
少？
2