最大公约数和最小公倍数竞赛题
绝世美人儿
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2021年02月01日 07:57
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新课标七年级数学竞赛培训第
32
讲：最大公约数和最小公倍数
一、选择题（共
10
小题，每小题
3
分，满分
3 0
分）
1
．
（
3
分）设
a
与< br>b
是正整数，且
a+b=33
，最小公倍数
[a
，
b ]=90
，则最大公约数（
a
，
b
）
=
（
）
1
3
1
1
9
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．
（
3
分）古人用天干和地支记次序，其中天干有
10
个：甲，乙，丙 ，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有
12
个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉， 戌，亥，将天干的
10
个汉字和地支的
12
个汉字分别循环排列如
下 两列：
甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸
…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
…
从左向右数，第< br>1
列是甲子，第
2
列是乙丑，第
3
列是丙寅
…
则第
2
次甲和子在同一列时，该列的序号是（
）
3
1
6
1
9
1
A
．
B
．
C
．
D
．
1
21
3
．
（
3
分）两个正数的和是
60
，它们的最小公倍数是
273
，则它们的乘积是（
）
2
73
8
19
1
199
1
911
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．
（
3
分 ）
2001
的正约数的个数是（
）
3
4
6
8
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．
（
3
分）下面的四句话中正确的是（
）
A
．
正
整数
a
和
b
的最大公约数大于等于
a
正
整数
a
和
b
的最小公倍数大于等于
ab
B
．
正
整数
a
和
b
的最大公约数小于等于
a
C
．
D
．
正
整数
a
和
b
的公倍数大于等于
ab
6
．
（
3
分）
360
×
473
和
172
×
361
这两个积的最大公约数是（
）
4
3
8
6
1
72
4
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．
（
3
分 ）
所有形如
的六位数
（
a
，
b
，
c
分别是
0
～
9
这十个数之一，
可以相同，
但
a< br>≠
0
）
的最大公约数是
（
）
1
001
1
01
1
3
1
1
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．
（
3
分 ）用长为
45cm
，宽为
30cm
的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（< br>
）块．
6
8
1
2
1
6
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．
（
3
分 ）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是
1610
，那么祖孙两人今年的年龄分别是 （
B
）
A
．
7
0
岁、
23
岁
B
．
6
9
岁、
22
岁
C
．
1
15
岁、
14
岁
D
．
1
14
岁、
13
岁
10
．
（
3
分）在正整数
1
，
2
，
3
，
…
，
100
中，能被
2
整除但不能被
3
整除的数的个数是（
）
3
3
3
4
3
5
3
7
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题（共
5
小题，每小 题
4
分，满分
20
分）
11
．
（
4
分）
a
，
b
是彼此不相等的非零数字，则
与
4 017
的最大公约数是
_________
．
12
．
（
4
分）写出一组
4
个连续自然数，使它们从小到大顺次是
5
的倍数、
7
的倍数、
9的倍数、
11
的倍数，这组自
然数依次为
1735
，
1736
，
1737
，
1738
．
13
．
（
4
分）设
m
和
n为大于
0
的整数，且
3m+2n=225
．
（
1
）如果
m
和
n
的最大公约数为
15
，则
m+n=
_________
；
（2
）如果
m
和
n
的最小公倍数为
45
，则m+n=
_________
．
< br>14
．
（
4
分）两个正整数之和为
667
，其最小公 倍数是它们的最大公约数的
120
倍，那么满足条件的正整数有
_________
组．
15
．
（
4
分）
（
a
，
b
）表示两个正整数a
和
b
的最小公倍数，例如
[14
，
35
]< br>=70
，则满足
[x
，
y
]
=6
，
[y
，
z
]
=15
的正整数
组（
x
，y
，
z
）共有
_________
组．
三、解答题（共
8
小题，满分
100
分）
16< br>．
（
12
分）
甲地到乙地原来每隔
45m
要安装一根 电线杆，
加上两端的两根一共有
53
根电线杆．
现在改成每隔
60m
安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
17
．
（
12
分）如图，一个圆圈上有
n
（n
＜
100=
个孔．小明像玩跳棋一样，从
A
孔出发，逆时针方 向将一枚棋子跳
动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到
A
孔．他先每步跳过
2
个孔，结果只能跳到
B
孔；他又试着每步跳过
4
个孔，结果还是 跳到
B
；最后他每步跳过
6
孔，正好回到
A
孔．问这个圆圈 上一共有多少个孔？
18
．
（
1 2
分）
23
个不同的正整数的和是
4845
，问这
23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，
并说明你的理由．
19
．
（
12
分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新 年贺卡
x
、
y
、
z
张．如果已知
x
，y
，
z
的最小公倍数为
60
，
x
和
y
的最大公约数为
4
，
y
和
z
的最大公约数为
3
，那么张华发出的新年贺卡是多少张？
20
．< br>（
12
分）在一间屋子里有
100
盏电灯排成一横行，依从左到右的顺 序编上号码
1
，
2
，
3
，
…
，
1 00
．每盏电灯上
有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有
100
个学 生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是
1
的倍
数的电灯的开关拉一下；接着 第二个学生走进屋来，把凡是编号是
2
的倍数的电灯开关拉了一下；
…
；最后 第
100
个学生走进屋来，把编号是
100
的倍数的电灯的开关拉了一下，这 样做过以后，问哪些电灯是亮的？
21
．
（
12
分）用整元的人民币购物，若用多于
7
元的任意元钱去买单价为
3
元和
5
元的两种雪糕，一定可以把钱花
完，请证明这一结论．
22
．
（
14
分）已知两数和是
60
， 它们的最大公约数与最小公倍数之和是
84
，求此二数．
23
．
（
14
分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每
6< br>天去一次，乙每
8
天去一次，丙每
9
天去一次，如果
8
月
17
日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？
新课标七年级数学竞赛培训第
32
讲：最大公约数和最小公倍数
参考答案与试题解析
一、选择题（共
10
小 题，每小题
3
分，满分
30
分）
1
．
（
3
分）设
a
与
b
是正整数，且
a+b=33
，最小公倍数
[a
，
b]=90
，则最大公约数（
a
，< br>b
）
=
（
）
1
3
1
1
9
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：
约数与倍数．
2383486
专题：
特定专题．
分析：
假设出（
a
，
b
）
=x
，得出
x
是
a
，< br>b
，
a+b
及
[a
，
b]
的公约数，得出< br>x
的值是
x=1
或
x=3
，进一步利用数的整
除性知 识进行分析，得出符合要求的答案．
解答：
解：令（
a
，
b
）
=x
，则
x
是
a
，
b，
a+b
及
[a
，
b]
的公约数，
故
x
是
33
和
90
的公约数，知
x=1
或
x=3
．
当
x=1
时，
a
与
b
互质，而
a+b=33
，当
a
不能被
3
整除，则< br>b
不能被
3
整除，
而
[a
，
b] =90
，说明
a
、
b
至少有一个能被
3
整除．
当
a
能被
3
整除，由
a+b=33
，则b
也能被
3
整除，
故（
a
，
b）
≠1
，即
x≠1
．
当
x=3
时， 即有（
a
，
b
）
=3
，
∴
ab =[a
，
b]
，
（
a
，
b
）
=3 ×90=32×5×6
，
而
a+b=33
，∴
a=15< br>，
b=18
，
（
a
，
b
）
=3．故选
B
．
2
．
（
3
分）古人用天干和地支记次序，其中天干有
10
个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛 ，壬，癸，地支有
12
个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10
个汉字和地支的
12
个汉字分别循环排列如
下两列：
甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸
…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
…
从左向右数，第< br>1
列是甲子，第
2
列是乙丑，第
3
列是丙寅
…
则第
2
次甲和子在同一列时，该列的序号是（
）
3
1
6
1
9
1
1
21
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
约数与倍数．
分析：
此题是关于排列组合问题，找出最小公倍数是关键．
解答：
解：根据题意分析可得：
其中天干有
10
个，地支有
12
个．
12
与
10
的最小公倍数是
60
，故序号每隔
60
循环一次，故第
2
次甲和子
在同一列时，该列的序号是
61
．
故答案
B
点评：
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首 先应找出哪些部分发生了变
化，是按照什么规律变化的．
3< br>．
（
3
分）两个正数的和是
60
，它们的最小公倍数是
273
，则它们的乘积是（
）
2
73
8
19
1
199
1
911
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
约数与倍数．
专题
：
计算题；数字问题．
分析：
先对
273
分解质因数
273=3
×7
×
13
，所以，两个数为
3
，
7
，
13
中的任意两数的乘积．
解答：
解：∵
273=3
×
7
×
13
，
∴这两个数为
3
，
7
，
13
中的任意两个数的乘积，
∴有
3
，
7
，
13
，
21
，
39
，
91
，
273
这七个数，
又∵两数和为
60
，
∴这两个数为
21
，
39
，
所以乘积为
21
×
39=819
．故选
B
．
点评：
本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用< br>273
分解质因数，然后利用
“
凑
项法
”
解答．
4
．
（
3
分）
2001
的正约数的个数是（
）
3
4
6
8
A
．
B
．
C
．
D
．
分析：
先分解质因数
2001=3
×
667
，然后根据约数个数定理来解答．
解答：
解：∵
2001=3
×
667
，
∴
20 01
的正约数的个数是：
（
1+1
）
×
（
1+1< br>）
=4
．故选
B
．
点评：
本题 考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：对于一个数
a
可以
2
3
分解质因数：
a=a
1
•
a
2< br>a
3
…
则
a
的约数的个数就是（
r
1
+1
）
（
r
2
+1
）
（
r
3< br>+1
）
…
需要指出来的是，
a
1
，
a
2
，
a
3
…
都
1
2
3
3
2
是
a
的质因数．
r
，
r
，
r
…
是
a
1
，
a
2
，
a
3
…
的指数．
比如，
360=2
×
3
×
5
，
所以
360
约数的个数是
（
3+1
）
×
（
2+1
）
×
（
1+1
）
=24
个．
5
．
（
3
分）下面的四句话中正确的是（
）
A
．
正
整数
a
和
b
的最大公约数大于等于
a
正
整数
a
和
b
的最小公倍数大于等于
ab
B
．
正
整数
a
和
b
的最大公约数小于等于
a
C
．
D
．
正
整数
a
和
b
的公倍数大于等于
ab
分析：
运用特殊 值法进行排除，例如
3
是
6
和
9
的公约数，小于
6
，所以正整数
a
和
b
的最大公约数大于等于
a
，< br>同理可得出符合要求的答案．
解答：
解：
A
、< br>3
是
6
和
9
的公约数，小于
6
，所以排除< br>A
；
B
、
6
和
9
的最小公倍数是
18
，小于
54
，所以排除
B
；
C、正整数
a
与
b
的最大公约数小于等于
a
是成立的；故
C
正确；
D
、
6
和
9
的最小公 倍数是
18
，小于
54
，所以排除
D
；故选
C．
点评：
此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．
6
．
（
3
分）
360
×473
和
172
×
361
这两个积的最大公约数是（
）
4
3
8
6
1
72
4
A
．
B
．
C
．
D
．
分析：
解决此类问题一般需要将这两个式子分解质 因数，但由于
361
是一个质数，我们只要将
172
分解，再看一
看 前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案．
解答：
解：∵
361
是质数且不能被
473
整除，
172=2
×
2×
43
，
473=43
×
11
，
360=4< br>×
90
，
∴
360
×
473
和< br>172
×
361
这两个积的最大公约数是
4
×
43= 172
．故选
C
．
点评：
此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键．
7
．
（
3
分）
所有形如
的六位数
（
a
，
b
，
c
分别是
0
～
9< br>这十个数之一，
可以相同，
但
a
≠
0
）
的最 大公约数是
（
）
1
001
1
01
1
3
1
1
A
．
B
．
C
．
D
．
分析：
首先表示出这个六位数，
1000 00a+10000b+1000c+100a+10b+c
，再进行分解因数，得出它们的最大公约数 ．
解答：
解：∵
100000a+10000b+1000c+100a+10b+c
=100100a+10010b+1001c
=1001
（
100a+10b+c
）
1001
是四位数，比
100a+10b+c
大，
∴最大公约数一定是
1001
．故选：
A
．
点评：
此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分 解成两个因数是解决问题的
关键．
8
．
（< br>3
分）用长为
45cm
，宽为
30cm
的一批砖，铺成一块正 方形，至少需要（
）块．
6
8
1
2
1
6
A
．
B
．
C
．
D
．
分析：
45
与
30
的最 小公倍数
90
就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．< br>
解答：
解：∵
[45
，
30]=90
（
cm
）
，