小升初第1讲最大公因数和最小公倍数(含答案)
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 08:06
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数学小升初分班考
第一讲
最大公约数与最小公倍数（一）
教学目标：
1
．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，
培养学生发现问题和解决问题的意识。
2
．通
过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握
“最大公约数和最小公倍数
”应用题的解
题规律。
3
．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：
一、基本概念知识
1.
公约数和最大公约数
①如果一个自然数
a
能被自然数
b
整除，那么称
a
为
b
的倍数，
b
为
a
的约数。
②如果
一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个
自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的
最大公约数。
例如：
12
的约数有：
1
，
2
，
3
，
4
，
6
，
12;
18
的约数有：
1
，
2
，< br>3
，
6
，
9
，
18
。
自然数
a
1
,a
2
, ,a
n
的最大公约数通常用符号（
a
1
,a
2
, , a
n
）表示，例如，
12
和
18
的公约数有：
1
，
2
，
3
，
6.
其中
6
是
12
和
18
的最大公约数，记作
（
12
，
18
）
=6
。
（8
，
12
）
=4
，（
6
，
9
，
15
）
=3
。
2.
公倍数和最小公倍数
③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，
那么称这个自然数是这若干个
自然数的
公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的
最小公倍数。
例如：
12
的倍数有：
12
，
24
，
36
，
48
，
60
，
72
，
84
，
⋯
18
的倍数有：
18
，
36
，
54
，
72
，
90
，
⋯
自然数
a
1
,a
2
, ,a
n
的最小公倍数通常用符号
[
1
a
,a
2
, , a
n
]
表示，例如
12
和
18
的公
倍数有：
36
，
72
，
⋯
.
其中
36
是
12
和
18
的最小公倍数，记作
[12
，
18]=36
。
[8
，
12]=24
，
[6
，
9
，
15]=90
。
3.
互质数
如果两个数的最大公约数是
1
，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最
小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：
求
个数的最大公约数：
n
（
1
）
必须每次都用
n
个数的公约数去除；
（
2
）
一直除到
n
个数的商互质（但不一定两两互质）
；
（
3
）
n
个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求
n
个数的最小公倍数：
（
1
）
必须先用
（如果有）
n
个数的公约数去除，除到
n
个数没有除去
1
以外的公约数
后，
在用
n 1
个数的公约数去除，除到
n 1
个数没有除
1
以外的公约数后，再
用
n 2
个数的公约
数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均
可选质数；
（
2
）
只要有两个数（被除数）
能被同一数整除，就要继续除，一定要除到
n
个数的商
两两互
质为止；
1
（
3
）
n
个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
例
1
用
60
元钱可以买一级茶叶
144
克，或买二级茶叶
180
克，或买三级茶
叶
240
克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，
要求每袋的价格都相等，
那么每
袋的价格最低
是多少元钱
？
分析与解：
因为
144
克一级茶叶、
180
克二级茶叶、
240
克三级茶叶都是
60
元，
分
装后每袋的价格相等，
所以
144
克一级茶叶、
180
克二级茶叶、
240
克三级茶
叶，
分
装的袋数应相同，即分装的袋数应是
144
，
180
，
240
的公约数。题目要求每袋
的价格尽
量低，所以分装的袋数应尽量多，应是
144
，
180
，
240
的最大公约数。
是
144
，
180
，
240
的最大公约数。
所以（
144
，
180
，
240
）
=2< br>×
2
×
3=12
，即每
60
元的茶叶分装成
12
袋，每袋
的价
格最低是
60
÷
12=5
（元）。
例
2 B
用自然数
a
去除
498
，450
，
414
，得到相同的余数，
a
最大是多少？
分析
与解：因为
498
，
450
，
414
除以
a
所得的余数相同，所以它们两两 之差
的公约数应能被
a
整除。
498-4 50=48
，
450-414=36
，
498-414=84
。所求 数是（
48
，
36
，
84
）
=12
。
例
3 C
现有三个自然数，它们的和是
1111
，这样的三个自然数的公约数中，
最大
的可以是多少？
分析与解
：
只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无
法求最大
公约数。只能从唯一的条件“它们的和是
1111
”入手分析。三个数的
和是
1111
，它们
的公约数一定是
1111
的约数。因为
1111=101
×
11
，它的约数
只能是
1
，
11
，
101
和
1111
，由于三个自然数的和是
1111
，所以三个自然数
都
小于
1111
，
1111
不可能是三
个自然数的公约数，而
101
是可能的，比如取三个
数为
101
，
101
和
909
。所以所求数
是
101
。
例
4 B
在一个
30
×
24
的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角
线除两个
端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？
2
分析与解
：（
30
，
24
）
=6
，说明如果将方格纸横、竖都分成
6
份，即分成
6
×
6
个相
同的矩形，那么每个矩形是由（
30
÷
6
）×（
24
÷
6
）
=5
×
4
（个）
小方格组成。在
6
×
6
的
简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对
角线，所以经过
5
个格点（见左下
图）。在对角线所经过的每一个矩形的
5
×
4
个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。
所以，对角线共经过格点（
30
，
24
）
-1=5
（个）
例
5
甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要
1
分、
1
分
15
秒和
1
分
30
秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、
丙走一圈分别需
60
秒、
75
秒和
90
秒，因为要在起点
相会，即三人都要走整圈数，所以
需要的时间应是
60
，
75
，
90
的公倍数。所求
时间为
[60
，
75
，
90]=900
（秒）
=15
（分）。
例
6
爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的
7
倍，过几年是你的
6
倍，再
过若干年
就分别是你的
5
倍、
4
倍、
3
倍、
2
倍。”你知道爷爷和小明现在的年
龄吗？
分析与解
：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，
但他们的年龄差是
保持不
变的。
爷爷的年龄现在是小明的
7
倍，说明他们的年龄差是
6
的倍数；同
理，他们的年
龄差也是
5
，
4
，
3
，
2
，
1
的倍数。由此推知，他们的年龄差是
6
，
5
，
4
，
3
，
2
的公倍
数。
[6
，
5
，
4
，
3
，
2]=60
，
爷爷和小明的年龄差是
60
的整数倍。考虑到年龄的实际情
况，爷爷与小明的年
龄差应是
60
岁。所以现在
小明的年龄
=60
÷（
7-1
）
=10
（岁），
爷爷的年龄
=10
×
7=70
（岁）。
、随堂练习
3
最大公约数与最小公倍数（二）
摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，
并对最大公约数与最小公
倍数的概
念加以推广。
在求
18
与
12
的最大公约数与最小公倍数时，由短除法
可知，（
18
，
12
）
=2
×
3=6
，
[18
，
12]= 2
×
3
×
3
×
2=36
。如果把
18
与
12
的
最大公约
数与最小公倍数相乘，那么
（
18
，
12
）×
[18
，
12]
=
（
2
×
3
）×（
2
×
3
×
3
×
2
）
=
（
2
×
3
×
3
）×（
2
×
3
×
2
）
=18
×
12
。
也就是说，
18
与
12
的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于
18
与
12
的乘积。
当把
18
，
12
换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：
4