五年级上册奥数最大公约数和最小公倍数 (例题含答案)
玛丽莲梦兔
980次浏览
2021年02月01日 12:36
最佳经验
本文由作者推荐
天马行空的意思-农村养殖
第三讲
最大公约数和最小公倍数
一、基本概念和知识
1.
公约数和最大公约数
几个 数公有的约数，
叫做这几个数的公约数；
其中最大的一个，
叫做
这几个数的最 大公约数。
例如：
12
的约数有：
1
，
2
，
3
，
4
，
6
，
12；
18
的约数有：
1
，
2，
3
，
6
，
9
，
18
。
12
和
18
的公约数有：
1
，
2
，
3
，
6.
其中
6
是
12
和
18
的最大公约数，
记作（
12
，
18
）
=6
。
2.
公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，
叫做这几个数的公倍数；
其中最小的一个，
叫 做
这几个数的最小公倍数。
例如：
12
的倍 数有：
12
，
24
，
36
，
48
，
60
，
72
，
84
，„
18
的倍数有：
18
，
36
，
54
，
72
，
90
，„
12
和
18< br>的公倍数有：
36
，
72
，
„
.
其中
36
是
12
和
18
的最小公倍数，
记作
[12< br>，
18]=36
。
3.
互质数
如果两个数的最大公约数是
1
，那么这两个数叫做互质数。
二、例题
例
1
用一个数去除
30
、
6 0
、
75
，都能整除，这个数最大是多少？
分析
∵要求的数去除
30
、
60
、
75
都能整除，
∴要求的数是
30
、
60
、
75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数，
∴就是求
30
、
60
、
75
的最大公约 数。
解：∵
（
30
，
60
，
75
）
=5
×
3=15
这个数最大是
15
。
例
2
一个数用
3
、
4
、
5
除都能整除，这个数最小是多少？< br>
分析
由题意可知，要求的数是
3
、
4
、
5
的公倍数，且是最小的公倍数。
解：∵［
3
，
4
，
5
］
=3
×
4
×
5=60
，
∴用
3
、
4
、
5
除都能整除的最小的数是
60
。
例
3 有三根铁丝，长度分别是
120
厘米、
180
厘米和
300厘米
.
现在要把
它们截成相等的小段，
每根都不能有剩余，
每小 段最长多少厘米？一共可
以截成多少段？
分析
∵要截成相等的小段，且无剩余，
∴每段长度必是
1 20
、
180
和
300
的公约数。
又∵每段要尽可能长，
∴要 求的每段长度就是
120
、
180
和
300
的最大公约数< br>.
（
120
，
180
，
30 0
）
=30
×
2=60
∴每小段最长
60
厘米。
120
÷
60+180
÷
60+300
÷
60
=2
＋
3
＋
5=10
（段）
答：每段最长
60
厘米，一共可以截成
10
段。
例
4
加工某种机器零件，
要经过三道工序
.
第一道工序每 个工人每小时可
完成
3
个零件，第二道工序每个工人每小时可完成
10
个，第三道工序每
个工人每小时可完成
5
个，
要使加工生产均衡，
三道工序至少各分配几个
工人？
分析
要使加工生产均衡，各道工 序生产的零件总数应是
3
、
10
和
5
的公
倍数.
要求三道工序“至少”要多少工人，要先求
3
、
10
和
5
的最小公倍
数。
［
3
，
10
，
5
］
=5
×
3< br>×
2=30
∴各道工序均应加
130
个零件。
30
÷
3=10
（人）
30
÷
10=3
（人）
30
÷
5=6
（人）
答：第一道工 序至少要分配
10
人，第二道工序至少要分配
3
人，第
三道工序至少 要分配
6
人。
例
5
一次会餐供有三种饮料
.< br>餐后统计，
三种饮料共用了
65
瓶；
平均每
2
个人饮 用一瓶
A
饮料，每
3
人饮用一瓶
B
饮料，每
4人饮用一瓶
C
饮料
.
问参加会餐的人数是多少人？
分析
由题意可知，参加会餐人数应是
2
、
3
、< br>4
的公倍数。
解：∵
[2
，
3
，
4]=12
∴参加会餐人数应是
12
的倍数。
又∵
12
÷
2+12
÷
3+12
÷
4
=6+4+3=13
（瓶），
∴可见
12
个人要用
6
瓶
A
饮料，
4
瓶< br>B
饮料，
3
瓶
C
饮料，共用
13
瓶饮料。< br>
又∵
65
÷
13=5
，
∴参加会餐的总人数应是
12
的
5
倍，
12
×
5=60
（人）。
答：参加会餐的总人数是
60
人。
例
6
一张长 方形纸，长
2703
厘米，宽
1113
厘米
.
要把它截成若 干个同样
大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大
.
问：这样的正方形的边长是多少厘米？
分析
由题意可知，
正方形的边长 即是
2703
和
1113
的最大公约数
.
在学校，
我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，
但有时会遇到类似此题情
况，两个数除了
1
以外的公约数一下不好找到
.
但又不能轻易断定它们是
互质数
.
怎么办？在此，
我们以例
6
为例介绍另一种求最大公约数的方法。
对于例
6
，可做如下图解：