一个整数的约数个数和约数及的计算方法
绝世美人儿
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2021年02月01日 12:50
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一个整数的约数个数与约数和的计算方法
,
两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系
,
分数的最小公倍数
.
涉及一个整数的约数
,
以及若干整数 最大公约数与最小公倍数的问题
,
其
中质因数分解发挥着重要作用．
1.
数
360
的约数有多少个
?
这些 约数的和是多少
?
3
2
【分析与解】
360
分解质因数
:360=2
×
2
×
2
×
3
×
3
×
5=2
×3
×5；
360
的约数可以且只能是
2
×3
×5
,(
其中
a,b,c
均是整数
,
且
a
为
0
～
3,6
为
0
～
2,c
为
0
～
1)
．
因为
a
、
b
、
c
的取值是相 互独立的
,
由计数问题的乘法原理知
,
约数的个数为(3+1)×(2
+1)
×
(1+1)=24
．
2
2
< br>我们先只改动关于质因数
3
的约数
,
可以是
l,3,3
,
它们的和为
(1+3+3
),
所以所有
360
约数的和 为
(1+3+3
)
×
2
×5
；
我们再来确定关于质因数
2
的约数
,
可以是
l,2,2,2
,
它们的和为
(1+2+2
+2
)
，所以所
有
360
约数的和为
(1+3+3
)
×
(1+2+2+2
)×5
；
2
2
3
2
3
2
3
2
a
b
c
y
w
w
< br>最后确定关于质因数
5
的约数
,
可以是
1,5,
它们 的和为
(1+5),
所以所有
360
的约数的和
2
2
3
为
(1+3+3
)×(1+2
+2
+2
)×(1+5) ．
于是
,
我们计算出值
:
13×15×6=1170．
所以
,360
所有约数的和为
1170
．
评注
:
我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法
.下面我们给出一般结论：
I.
一个合数的约数的个数是在严格分解质因 数之后
,
将每个质因数的指数
(
次数
)
加
1
后
3
2
所
得
的
乘
积
.
如
:1400
严
格
分
解
质
因
数
后
为
2
×5
×7
,
所
以
它
的约
数
有
(3+1)×(2+1)×(1
+1)=
4×3×2=2 4
个
.(
包括
1
和它自身
)
Ⅱ
.
约数的和是在严格分解质因数后
,
将
M
的每个质因数最高次幂的所有约数的 和相乘
3
3
2
3
所
得
到
的
积．
如
：
21000=2
×3×5
×7
,
所以
21000
所
有
约
数
的
和
为
(1+2+2
+2
)
×
2
3
(1+3)×(1+5+5< br>+5
)×(1+7)=74880．
2
.一个数是
5
个
2,3
个
3,6
个
5,1
个
7
的连乘积
.
这个数有许多约数是两位数
,
那么在这些 两
位数的约数中
,
最大的是多少
?
5
3
6
【分析与解】
设这个数为
A,
有
A=2
×3
×5
×7
,99=
3×3×11
,9 8=
2×7×7
,97
均不是
A
的约数
,
而
96=25×3
为
A
的约数
,
所以
96
为其最大 的两位数约数．
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3
.
写出从
360
到
630
的自然数中有奇数个约数的数．
【分析与解】
一个合数的约数的个数是在严格分解质因数 之后
,
将每个质因数的指数
3
2
(
次数
)
加
1
后所得的乘积
.
如
:1400
严格分解质因数后为2
×5
×7
,
所以它的约数有
(3+1)×(2+1)×(1+ 1)=4×3×
2=24
个
.(
包括
1
和它自身
)
如果某个自然数有奇数个约数
,
那么这个数的所有质因子的个数均为 偶数个
.
这样它们
加
1
后均是奇数
,
所得的乘积才 能是奇数
.
而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方
数
.
即< br>完全平方数
(
除
0
外
)
有奇数个约数
,反过来
,
有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知
,
我们所求的为
360
～
630
之间有多 少个完全平方数
?
18
×
18=324,19
×
19=361,
25×25=625
,
26×26=676
,
所以在
360
～
630
之间的完全平方数
2
2
2
2
2
2
2
为
19
,20
,21
,22,23
,24
,25
．
即
360
到
630
的自然数中有奇数个约数的数为
361,400,441,484,529,576,6 25
．
4.
今有语文课本
42
册< br>,
数学课本
112
册
,
自然课本
70
册,
平均分成若干堆
,
每堆中这
3
种课本
的数量分别相等
.
那么最多可分多少堆
?
【分析与解】
显然堆数是
42
的约数
,
是
112
的约数
,是
70
的约数
.
即为
42,112,70
的公
约数
,
有
(42,112,70)=14
．
所以
,
最多可以分成
14
堆．
5
.
加工某种机器零件
,
要经过三道工序
,
第一道工序 每名工人每小时可完成
6
个零件
,
第二道
工序每名工人每小时可完成
10
个零件
,
第三道工序每名工人每小时可完成
15
个零件
.
要使加
工生产均衡
,
三道工序最少共需要多少名工人
?
【分析与解】
为了使生产均衡
,
则每道工序每小 时生产的零件个数应相等
,
设第一、
二、
三道工序上分别有
A
、
B
、
C
个工人
,
有
6A=10B=15C=k ,
那么
k
的最小值为
6,10,15
的最小公
倍数
,
即
[6,10,15]=30
．
所以
A=5,B=3, C=2,
则三道工序最少共需要
5+3+2=10
名工人．
6
.
有甲、乙、丙
3
人
,
甲每分钟行走
120
米
,
乙每分钟行走
100
米
,
丙每 分钟行走
70
米
.
如果
3
个人同时同向
,
从同地出发
,
沿周长是
300
米的圆形跑道行走
,
那么多少 分钟之后
,3
人又可
以相聚
?
【分析与解】
设在
x
分钟后
3
人再次相聚,
甲走了
120x
米
,
乙走了
lOOx
米,
丙走了
70x
米
,
他们
3
人之间的路程差均 是跑道长度的整数倍．
即
120x-100x,120x-70x ,lOOx-70x
均是
300
的倍数
,
那么
300
就是
20x,50x,30x
的公约
数．
有< br>(20x,50x,30x):300,
而
(20x,50x,30x)=x(20,5 0,30)=lOx,
所以
x=30
．
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即在
30
分钟后
,3
人又可以相聚．
7
.3
条圆形跑道
,
圆心都在操场中的旗杆处
,
甲、乙、内
3
人分别在里圈、中圈、外圈沿同样
的方向跑步
.
开始时
, 3
人都在旗杆的正东方向
,
里圈跑道长
跑道长
1
1
千米
,
中圈跑道长
千米
,
外圈
5
4
31
千米
.
甲每小时跑
3
千米
,
乙每小时跑4
千米
,
丙每小时跑
5
千米
.
问他们同时出发
,
8
2
几小时后
,3
人第一次同时回到出发点
?
【分析与解】
甲跑完一圈需
1
1
21
1
3
小时
,
乙跑一圈需
4
小时
,
丙跑一圈需
5
2
35
4< br>16
3
3
2
1
3
5
则 他们同时回到出发点时都跑了整数圈
,
所以经历的时间为
,
,
的倍数
,
即
8
40
35
16
40
它们的公倍数．
而
2,1,3
6
< br>6
.
2
1
3
,
,
35
16
40
35,16,4< br>
1
所以
,6
小时后
,3
人第一次同时回到出发点< br>.
评注
:
求一组分数的最小公倍数
,
先将这些分数化为最简 分数
,
将分子的最小公倍数作为
新分数的分子
,
将分母的最大公约数 作为新分数的分母
,
这样得到的新分数即为所求的最小
公倍数
；
< br>求一组分数的最大公约数
,
先将这些分数化为最简分数
,
将分子的最大 公约数作为新分
数的分子
,
将分母的最小公倍数作为新分数的分母
,
这样得到的新分数即为所求的最大公约
数
.
8.
甲数和乙数的最大公约数是
6
最小公倍数是
90.
如果甲数是
18,
那么乙数是多少？
【分析与解】
有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积
.
有它们的
最大 公约数与最小公倍数的乘积为
6×90=540，则乙数为
540÷
18=30
．
9
.A,B
两数都仅含有质因数
3和
5,
它们的最大公约数是
75.
已知数
A
有
12
个约数，数
B
有
10
个约数，那么
A,B
两数 的和等于多少
?
2
2
【分析与解】
方法 一
:
由题意知
A
可以写成
3×5
×
a
，< br>B
可以写成
3
×
5
×6
,
其中
a< br>、
b
为整数且只含质因子
3
、
5.
即
A:3
×5
,B=3
+m×5
,
其中
x
、
Y
、
m
、
n
均为自然数
(
可以为0)
由
A
有
12
个约数
,
所以
[(1+x)+1]
×[
(2+y)+1]=(2+x
)×(3+y)=12，
所
以
1+x
2+y
1
2+n
x
2
< br>x
1
x
0
1+2
2
1+1
2+1
.
对
应
A
为
3
×5
=675,3
×5
=1125,
或
,
或
y
0
y
1
y
4
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