组合图形的体积 -
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 14:40
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qq爱歌词-母爱是
组合图形的体积
答案
例
1
．
棱长是
1cm
的小立方体组成如图所示的几何体，
那么这个几何体的体积是
10
立方
厘米，表面积是
36
平方厘米．
考点
：
组
合图形的体积；简单的立方体切拼问题．
分析：
可
根据 立方体的体积公式计算出一个立方体的体积再乘立方体的个数即是这个几何
体的体积，几何体最下层有< br>6
个小立方体，中层有
3
个、最上层有
1
个，所以几何体中共有（
6+3+1
）个小立方体；几何体的表面积就是所有露出的面积的面积，可先计< br>算出一个小立方体一个面的面积再乘露出的面积的个数即可，
从几何体的下面观察有
6< br>个面，
上面露出了
6
个面，
左后面有
6
个面，
右后面有
6
个面，
前面露出了
12
个面，
这个几何体共露 出了（
6+6+6+6+12
）个小正方形的面，列式解答即可得到答案．
解答：
解
：几何体中小立方体的个数为（
1+3+6
）个，
几何体的体积为 ：
1
×
1
×
1
×
（
1+3+6
）
=1
×
10
，
=10
（立方厘米）
；
几何体中共露出了（
6+6+6+12
）个小正方形的面，
几何体 的表面积为：
1
×
1
×
（
6+6+6+6+12
）
=1
×
36
，
=36
（平方厘米）
；
故答案为：
10
，
36
．
点评：
解
答此题的关键是先计算出一个小立方体的体积与一个小立方体一面 的面积，
然后再
分别乘立方体的个数和几何体中的小立方体露出的面数即可．
例
2
．计算体积．
（单位：厘米）
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
压
轴题；立体图形的认识与计算．
分析：
由
题意得：组合图形的体积
=
圆柱的体积
+
圆锥的体积，根据计算公式代数计算．
解答：
2
2< br>解：
3.14
×
（
4
÷
2
）
×7+
×
（
4
÷
2
）
×
3
，< br>
=3.14
×
4
×
7+3.14
×
4，
=87.92+12.56
，
=100.48
（立方厘米）
；
答：这个图形的体积是
100.48
立方厘米．
点评：
此
题主要考查组合图形的体积，要将所求图形分解成所学图形即可．
例
3
．有一个深
4
分米的长方体容器，其内侧底面为边长
3分米的正方形．当容器底面的一
边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有
22.5
升．
考点
：
组
合图形的体积．
分析：
先
根据长方体的体积公式求出容器的容积；
无水的部分看作 是底面是直角三角形的棱
柱，
再根据棱柱的体积公式求出无水的部分的体积；
相减即可 求得容器内的水的体积．
解答：
解
：容器的容积：
4< br>×
3
×
3=36
（立方分米）
；
无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，底面积是
3
×
3÷
2=4.5
（平方分米）
，高
是
3
分米．
所以体积是
4.5
×
3=13.5
（立方分米）
；
所以容器 内有水：
36
﹣
13.5=22.5
立方分米
=22.5
升 ．
答：容器内的水有
22.5
升．
故答案为：
22.5
．
点评：
考
查了 组合图形的体积，本题容器内的水的体积
=
容器的容积﹣无水的部分体积，难
点是把无 水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱．
例
4
．有一个棱长是
10
厘米的正方体木块，在它的上、左、前三个面中心分别穿一个
3
厘
米见方的孔，直至对面．求穿孔后木块的体积．
考点
：
组
合图形的体积．
分析：
孔
的体积中三个孔交汇处可以看成是一个棱长为
3
的正方体，只算一次就可以了，用
一个孔的体积乘
3
后再减去
2
个交 汇处的体积就是孔的总体积，
穿孔后木块的体积是
这个正方体的体积减去孔的体积．
解答：
解
：
3
×
3
×
10=9 0
（立方厘米）
，
穿三个孔时，体积应是：
90
×
3
﹣
3
×
3
×
3
×
2=21 6
（立方厘米）
；
所以穿孔后木块的体积是：
10×
10
×
10
﹣
216=784
（立方厘米）
答：穿孔后木块的体积是
784
立方厘米．
点评：
本
题的关键是对三孔交汇处的求解，这一部分只能算一次．
演练方阵
A
档
（
巩固专练
）
一．选择题（共
5
小题）
2
1
．如图，三个 半径分别为
l
米、
l
．
5
米和
2
米的同轴 圆柱，每个圆柱高
0.5
米，这三个圆
柱组成一个立体图形，这个立体图形的表面积是 （
）平方米．
4
2.39
3
9.25
3
6.11
2
5.12
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
组
合图形的体积．
分析：
这
个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可．
2
解答：
：大圆柱的表面积：
3.14
×
2×
2+2
×
3.14
×
2
×
0.5
，
解
=25.12+6.28
，
=31.4
（平方米）
，
中圆柱侧面积：
2
×< br>3.14
×
1.5
×
0.5=4.71
（平方米）
，
小圆柱侧面积：
2
×
3.14
×
1
×< br>0.5=3.14
（平方米）
，
这个物体的表面积：
31. 4+4.71+3.14=39.25
（平方米）
；
答：这个物体的表面积是
39.25
平方米．
故选：
B
．
点评：
此
题主要考查圆柱的侧面积、表面积公式及其计算．
2
．图形甲和图形乙所占空间的大小关系，是甲（
）乙．
A
．
＞
B
．
＜
C
．
﹦
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
设
每个小正方体的体积为
“
1
”
，表示出甲、乙的体积，然后比较即可，由此解答．
解答：
解
：设每个小正方体的体积为
“
1
”，则甲的体积是
7
，乙的体积也是
7
，
所以，图形甲和图形乙所占空间的大小关系是：甲
=
乙．
故选：
C
．
点评：
要
理解物体所占空 间的大小指的是物体的体积，设出每个小正方体的体积，表示出各
个图形的体积，解决问题．
3
．把一个底面直径为
a
，高为
a
的 圆柱恰好放入正方体盒子里，此时盒子剩余空间（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
3
3
3
（
1
﹣
）
a
（
1
﹣
）
a
（
1
﹣
）
a
（
1
﹣
）
a
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
由
题意可知，正方体盒子的棱长就是
a
，根据圆柱 的体积公式：
v=sh
，正方体的体积
3
公式：
v=a
，把 数据代入公式求出它们的体积差即可．
3
解答：
3
解：
a
﹣
π
=
=
=
．
×
a
答：此时盒子剩余空间是（
1
）
a
．
3
故选：
B
．
点评：
此
题主要考查圆柱的体积公式、正方体的体积公式的灵活运用．
4
．两个棱长
1
分米的正方体并成一个长方体，并成的长方体的表面积（
）原两个正方
体的表面积之和．
A
．
大
于
B
．
小
于
C
．
等
于
考点
：
组
合图形的体积；长方体和正方体的表面积．
分析：
根
据长方体、正方体的特征和长方体表面积的计算方法，两个棱长< br>1
分米的正方体并
成一个长方体，由两个面重合在一起，因此长方体的表面积比原两个正 方体的表面积
之和少了两个正方形面的面积．
解答：
解
：两个棱长
1
分米的正方体并成一个长方体，并成的长方体的表面积小于原两个正
方体 的表面积之和．
故选：
B
．
点评：
此
题主要考查长方体、正方体的特征和长方体的表面积计算方法．
5
．
用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型
（图中涂色部分）< br>，
甲与乙的
体积相比（
）
A
．
甲
大
B
．
乙
大
C
．
相
等
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
根据圆锥的体积公式可得，底面积相同时，两个高为
a
的圆 锥的体积之和，等于一
个高为
a
的圆锥的体积；已知原来两个圆柱的体积相等，而空白 处的图形的体积也相
等，所以涂色部分的体积也相等，据此即可选择．
解答：
解：底面积相同时，两个高为
a
的圆锥的体积之和，等于一 个高为
a
的圆锥的体积；
4
已知原来两个圆柱的体积相等，而空白处的图形 的体积也相等，所以涂色部分的体积
也相等，
故选：
C
．
点评：
此
题主要考查圆锥的体积公式的灵活应用．
二．填空题（共
13
小题）
6
．如图中，每个 小长方体的体积都是
1
立方厘米，那么图形的体积是
13
立方厘米
，表
面积是
48
平方厘米
．
考点
：
组
合图形的体积；规则立体图形的表面积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
（
1
）观察图形可知，这个立体图形一共有
2层，下层
10
个小正方体，上层
3
个小正
方体，一共有
13
个小正方体，则这个图形的体积就是
13
个小正方体的体积之和；
（
2
）从上、下面看有
10
×
2
个面，从左右面看有< br>5
×
2
个面，从前后面看有
9
×
2
个面，< br>据此即可求出这个立体图形的表面积．
解答：
解
：体积是：
1
×
13=13
（立方厘米）
，
体积是
1
立方厘米的正方体的棱长是
1
厘米，
所有表面积是：
（
10
×
2+5
×
2+9
×
2
）
×
1
×
1
，
=48
（平方厘米）
，
答：这个立体图形的体积是
13< br>立方厘米，表面积是
48
平方厘米．
故答案为：
13
立方厘米；
48
平方厘米．
点评：
立
体图形的体积等于组成的所有小正方体的体积之和，
表面 积就是六个面上的小正方
体的面的面积之和，据此即可解决此类问题．
7
．
如图，
是一个直立于水平面上的几何体
（它是圆柱的一部分，< br>下底面为圆面，
单位：
cm
）
．
则
这个几何体的体积 为
62.8
cm
．
（计算结果保留
π
）
3
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
由
图形可知：上部分是一个半圆柱，下部分是一个高为
4< br>厘米，底面直径是
4
厘米的
圆柱，根据圆柱的体积公式：
v=sh，把数据代入公式解答即可．
解答：
2
2
解：3.14
×
（
）
×
（
6
﹣
4
）
×
3.14
×
（
）
×
4
，
5
=3.14
×
4
×
2
×
3.14
×
4
×
4
，
=12.56+50.24
，
=62.8
（立方厘米）
；
答：它的体积是
62.8
立方厘米．
故答案为：
62.8
．
点评：
解
答求 组合图形的体积，首先分析图形是由几部分组成，然后根据相应的体积公式解
答即可．
8
．有一个草堆，上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，圆锥高
1 .5m
，底面半径
2m
，圆柱高
3
3m
，底面半径
2m
，这个草堆的体积是
43.96
m
．
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
由题意知，上面是一个圆锥体，下 面是一个圆柱体，根据圆锥的体积
=
×
底面积
×
高，
圆柱的 体积
=
底面积
×
高，代入公式进行计算即可．
解答：
2
解：圆锥体积：
×
3.14
×
2
×
1.5
，
=
×
3.14
×
4
×
1.5
，
=6.28
（立方米）
；
圆柱的体积：
3.14
×
2
×
3
，
=3.14
×
4
×
3
，
=37.68
（立方米）
；
6.28+37.68=43.96
（立方米）
；
答：这个草堆的体积是
43.96
立方米；
故答案为：
43.96
．
点评：
此
题考查了圆柱与圆锥的体积公式的理解与应用．
9
．
（
2011
•
富源县）如图有
5
个棱长为
20cm
的正方体木箱堆放在墙角的形状，这些木箱< br>3
的体积是
40000
cm
．
2
6
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
3
分析：
图形可知，这些木箱一 共有
5
个，根据正方体的体积公式：
v=a
，求一个木箱的体
由积再乘
5
即可．
解答：
解
：
20
×
20
×
20
×
5
=8000
×
5
，
=40000
（立方厘米）
，
答：这些木箱的体积是
40000
立方厘米．
故答案为：
5
个，
40000
．
点评：
此
题主要考查正方体的体积计算方法及组合图形的体积计算．
1 0
．
（
2012
•
北京）一支未用过的圆柱形铅笔，长
18
厘米，体积是
9
立方厘米．使用一段时
间后，变成了如图的样子．这时体积是 多少立方厘米？
考点
：
组
合图形的体积．
分析：
先
利用圆柱体的体积
V =Sh
求出这根铅笔的底面积，再分别利用圆柱和圆锥的体积公
式，即可求出如图剩余部分的体 积．
解答：
解
：铅笔的底面积：
9
÷
18=0.5
（平方厘米）
；
0.5
×
6+0.5
×
3
×
，
=3+0.5
，
=3.5
（立方厘米）
；
答：这时体积是
3.5
立方厘米．
点评：
先
利用圆柱的体积公式求出这根铅笔的底面积，是解答本题的关键．
11
．
（
2013
•
万州区）以直角梯形的上底为轴旋转一周， 所得的立体图形的体积是
108
立
方厘米．
（
π
值取整数
3
）
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
以
直角梯形的上底为轴旋转一周，所得的立体图形整体是圆柱，上面 是空心圆锥，圆
锥的高是（
11
﹣
5
）厘米，根据圆柱的体积公式：
v=sh
，圆锥的体积公式：
v=
把数据代入公式求出它们的体积差即可．< br>
，
7
解答：
解：
3
×
=
=132
﹣
24
=108
（立方厘米）
，
答：所得的立体图形的体积是
108
立方厘米．
故答案为：
108
．
点评：
此
题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用．
12
．如图，计算出它的体积为
AD
单位：厘米．
A
．
л
（
2
÷
2
）
×
3
×
（
1+
）
B
．
л×
2
×
3
×
（
1+
）
C
．
л
（
2
÷
2
）
×
×
（
3+3
）
D
．
л×
（
2
÷
2
）
×
3
×
×
4
．
2
2
2
2
考点
：
组
合图形的体积．
分析：
根
据图可知，此图是由一个圆柱和圆锥组成的，且圆柱和圆锥是等底 等高的，所以圆
锥的体积等于圆柱体积的
，把圆柱的体积求出来再加上圆柱体积的
即可 ．
解答：
解：由图可知，圆柱和圆锥是等底等高的，所以圆锥的体积等于圆柱体积的
，
圆柱的底面直径为
2
厘米，高为
3
厘米，圆柱的体积：
л
（
2
÷
2
）
×
3
，
（
1
）当把圆柱的体积看成单位
“
1
”
时，再加上圆锥的体积，也就是 圆柱体积的
，
可以列式为：
л
（
2
÷
2
）
×
3
×
（
1+
）
；
（
2
）
当把圆锥的体积看成单位
“
1
”
时，
圆柱的体积就是
3
个单位
“
1
”
，
再加上圆锥的 体
积总共是
4
个单位
“
1
”
，所以也可以列式为：
л×
（
2
÷
2
）
×
3
×
×
4
；
故选：
A
、
D
．
点评：
此题的关键是注意圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的
，然后 把圆柱的体积
或者把圆锥的体积看成单位
“
1
”
来解决问题．
13
．
以棱长
10
厘米的正方体的一个面 ，
挖去一直径为
4
厘米的圆孔
（挖去的圆孔为圆柱体）
，
则 挖去后这个物体的体积是
874.4
立方厘米．
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
立
体图形的认识与计算．
分析：
由
题意得出等量关系式：挖去后这个物体的体积
=
正方体体积﹣圆柱体积，即：剩下
2
2
2
8
的体积
=a
﹣
π
r
h
，代数计算即可．
解答：
：
10
3
﹣
3.14
×
（
4
÷
2
）
2
×
10
，
解
=1000
﹣
125.6
，
=874.4
（立方厘米）
．
答：挖去后这个物体的体积是
874.4
立方厘米．
故答案为：
874.4
．
点评：
解
决 本题的关键是明确挖去后这个物体的体积
=
正方体体积﹣圆柱体积，代数计算即
可．< br>
14
．
如图
1
，
是三个直立 于水平面上的形状完全相同的几何体
（下底面为圆面．
单位：
cm
）
．
将
3
它们拼成如图
2
的新几何体，则该新几何体的体积为
7.5
π
cm
．
（计算结果保留
π
）
3
2
考点
：
组
合图形的体积．
专题
：
综
合题；综合填空题．
分析：
观
察图形可知，拼组后的新 几何体的体积就是图
1
中三个立体图形的体积之和，每个
小立体图形的体积都是底面直 径为
2
厘米，高为
2
厘米的圆柱的体积和底面直径为
2
厘米 ，高为
3
﹣
2=1
厘米的圆柱的一半的体积之和，由此利用圆柱的体积公式计 算出
1
个小立体图形的体积，再乘以
3
就是新几何体的体积．
解答：
解：
[
π×
×
2+
π×
×
（
3
﹣
2
）
÷
2
]
×
3
，
=[
π×
1
×
2+
π×
1
×
1
÷
2
]
×
3
，
=[2
π
+0.5
π
]
×
3
，
=2.5
π×
3
，
=7.5
π
（立方厘米）
，
答：新几何体的体积是
7.5
π
立方厘米．
故答案为：
7.5
π
．
点评：
此
题考查了圆柱的体积公式的灵活应用以及组合图形的体积的计算方法．
15
．
（
2009
•
崇文区）一个长
20
厘米、宽
10
厘米、高
20
厘米的无盖长方体玻璃容器，里面
盛有一 些红色溶液．
小明想知道溶液的深，
他将一根底面边长
5
厘米，
长< br>1
米的长方形木条
垂直插入到容器底部，
取出后量得木条被染红的部分长
16
厘米．
原来容器内红色溶液深
14
厘米．
9
考点
：
组
合图形的体积；长方体和正方体的体积．
分析：
根
据题 干，将一根底面边长
5
厘米，长
1
米的长方形木条垂直插入到容器底部后，此
时原玻璃容器内的液面上升了，那么上升的高度就是：底面边长为
5
厘米，高为
16
厘米的长方体木条排开液体的体积，除以原来玻璃容器的底面积所得到的高度；由此
即可 求得原来液面的高度．
解答：
解
：放入木条后水面上升了：
5
×
5
×
16
÷
（
20
×
10
）
，
=400
÷
200
，
=2
（厘米）
，
所以原来液面的高度为：
16
﹣
2=14
（厘米）
，
答：原来容器内红色溶液深
14
厘米．
故答案为：
14
．
点评：
根
据题干，得出木条排开液体的体积使液面上升的高度，是解决本题的关键．
16
．
（
2010
•
大安区）一根长方体木料， 横截面是边长
10
厘米的正方形．从这根木料上截下
2
6
厘米长的一 段，切削成一个最大的圆锥．圆锥的体积是
157
cm
，约占截下这段长方体
木料体
积的
26.2
%
（百分号前面保留一位小数）
．
考点
：
组
合图形的体积；长方体和正方体的体积．
专题
：
压
轴题．
分析：
（
1
）如图要求这个圆锥的体积 ，需要知道这个圆锥的底面半径和高，这里高显然就
是这个长方体的高
6
厘米，圆锥的 底面应是这个边长为
10
厘米的正方形底面内最大
的圆，正方形内最大圆的直径等于这 个正方形的边长，由此可得这个底面半径是
10
÷
2=5
厘米，由此即可利用 圆锥的体积公式进行解答；
（
2
）利用长方体的体积公式求得这段木料的体 积，利用圆锥的体积
÷
这个长方体木料
的体积即可解决问题．
解答：
解
：
（
1
）根据分析可得：
10
÷
2=5
（厘米）
，
×
3.14
×
5
×
6
，
=6.28
×
25
，
=157
（立方厘米）
，
（
2
）
157
÷
（
10
×
10
×
6
）
，
=157
÷
600
，
≈
0.262
，
=26.2%
，
答：圆锥的体积是
157
平方厘米，约占截下这段长方体木料体积的
26.2%
．
故答案为：
157
；
26.2
．
10
2