圆面积公式的三种推导方法
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 16:51
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圆面积公式的三种推导方法
圆是个封闭的曲线图形，用面积单位度量求面 积是行不通的，要么用初等
数学中的剪拼的方法把圆转化为学过的简单图形计算面积，
要么用高 等数学定积
分的方法求解。
笔者就初等方法谈几点粗浅的认识，
对于提高数学思维能力 不无
裨益。下面就将圆分别剪拼成三角形、平行四边形（长方形）
、梯形来计算面积
的 方法作具体详细的分析。
在剪拼的过程中，
图形的大小没有发生变化，
只是 形状改变了。
圆的面积等
于拼成的近似图形的面积。
一、将圆剪拼成三角形的方法
把圆平均分成四份，
得到四个小扇形，
再把小扇形如下图拼成一个近似三角
2
形。
若圆的半径为
r
，近似三角形的底可以看作两个扇形的弧长之和
2
r
，
高
4
1
2
可以看作是两个半径
2
r
，则近似三角 形的面积为
S
(
2
r
)
2
r
r
2
，即
2
4
圆的面积为
r
2
。
把圆平均分的份数越多， 拼成的图形就越近似于三角形。要拼成三角形，
分的份数只能是
n
2
（
n
2
2
的整数）
份，
将圆
n
2
等份后，
拼成的三角形叠了
n
层
扇形，最后一层有
2
n< br>
1
个扇形
，其中扇形的顶点向上的是
n
个扇形， 向下的是
2
r
2
r
，高为
nr
，则近似三角形的面
n
1
个扇形，故近似三角形的底为
n
2
n
n
1
2
r
积为S
nr
r
2
，即 圆的面积为
S
r
2
。下面是把圆
9
等份的剪拼
2
n
图示，
二、将圆剪拼成平行四边形的方法
把圆平均分成四份，
得到四个小扇形，< br>再把小扇形如图拼成一个近似平行四
边形。同样，圆的半径为
r
，近似平行四边 形的底可以看作
2
个扇形并成的为
2
2
r，高可以看作是小扇形的半径
r
，则近似平行四边形的面积为
4
2
S
2
r
r
r
2
，即圆的面积为
S
r
2
。
4
同样的把圆平均分的份数越多，
拼出来的图形越接近平行四边形，
当分的份
数无限大时，
拼出的图形也可以看作是长方形。
要拼成平行四边形，
分的份数 只
能是
2
n
（
n
2
的自然数）份，将圆
2
n
等份后，拼成的平行四边形（叠了一层）
2
r
2
r
的底为
n
，高为半径
r
，则平 行四边形的面积为
S
n
r
r
2
，即圆
2
n
2
n
的面积
S
r
2
。
同样可以考虑叠2
层，
3
层等。下面是把圆
8
等份后，由两层扇形拼成平行四边形的图示；