三角形等高模型与鸟头模型(一).学生版
绝世美人儿
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2021年02月01日 20:08
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.
4-3-1.
三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一
三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积
底
高
2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三 角形的底不变，高越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小< br>)
；
如果三角形的高不变，底越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小
)
；
这说明当三角形的面积变 化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
1
变化时，三 角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的
3
倍，底变为原来的
，则三角形面积与原 来的一
3
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于 高或底的变化．同时
也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①
等底等高的两个三角形面积相等；
②
两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图
S
1
:
S
2
a
:
b
A
S
1
a
S
2
b
B
C
D
③
夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S
△
ACD
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于CD
．
④
等底等高的两个平行四边形面积相等
(
长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
；
⑤
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥
两个 平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例
1
】
你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴
3
个面积相等的三角形；
⑵
4
个面积相等的三角形；
⑶
6
个面积相等的三角形．
.
.
【例
2
】
如图，
BD
长
12
厘米，
DC
长
4
厘米，
B、
C
和
D
在同一条直线上．
⑴
求三角形
ABC
的面积是三角形
ABD
面积的多少倍？
⑵
求三角形
ABD
的面积是三角形
ADC
面积的多少倍？
A
B
D
C
【例
3
】
如右图，
ABFE和
CDEF
都是矩形，
AB
的长是
4
厘米，
B C
的长是
3
厘米，那么图中阴影部分的面
积是
平方厘米．
A
E
B
F
D
C
【巩固】
(2009
年四中小升初入学测试题
)
如图所示，平行四边形的面积是
50
平方厘米，则阴影部分的面积
是
平方厘米．
【巩固】如下图，长方形
AFEB和长方形
FDCE
拼成了长方形
ABCD
，长方形
ABCD的长是
20
，宽是
12
，则
它部阴影部分的面积是
．
.
.
A
B
F
D
E
C
【例
4
】
如图，长方形
ABCD
的面积是
56
平方厘米，点
E
、
F
、
G< br>分别是长方形
ABCD
边上的中点，
H
为
AD
边上的 任意一点，求阴影部分的面积．
A
E
B
H
D< br>G
A
E
B
H
D
G
【巩固】图中 的
E
、
F
、
G
分别是正方形
ABCD
三条 边的三等分点，如果正方形的边长是
12
，那么阴影部分
的面积是
．
A
D
G
E
B
F
C
E
B
F
A
6
5
4
3
1
G
2
C
H
D
F
C
F
C
【例
5
】
长方形
ABCD
的面积为
36
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
.
A
.
H
D
E
G
B
A
(
H
)
D
F
A
C
H
D
E
G
E
G
【巩固】在边长为
6
厘米的正方形
ABCD
任取一点
P
，将正方形的一组对边二等分 ，另一组对边三等分，分
别与
P
点连接
,
求阴影部分面积．
A
D
A
(
P
)
D
A
D
B
F
C
B
F
C
P
P
B
C
【例
6
】
如右图，
E
在
AD
上，
AD
垂直
BC
，
AD
12
厘米，
DE
< br>3
厘米．求三角形
ABC
的面积是三角形
EBC
面积的几倍？
B
C
B
C
.
.
A
E
【例
7
】
如图，在 平行四边形
ABCD
中，
EF
平行
AC
，连结
BE
、
AE
、
CF
、
BF
那么与
△
B EC
等积的三角形一共
有哪几个三角形？
F
A
D
E
B
D
C
【巩固】如图，在
△
ABC
中，
D
是
BC
中点，
E
是
AD< br>中点，连结
BE
、
CE
，那么与
△
ABE
等 积的三角形一共有哪
几个三角形？
A
B
C
E
B
D
C
【巩固】如图，在梯形
AB CD
中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
A
O
B
C
D
.
.
【例
8
】
如图， 三角形
ABC
的面积为
1
，其中
AE
3
AB
，
BD
2
BC
，三角形
BDE
的面积是多少？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【例
9
】
如右图，
AD
DB
，
AE
EF
FC
，
已知阴影部分面积为5
平方厘米，
ABC
的面积是
平
方厘米．
B
D
B
D
A
E
F
C
A
E
F
C
【巩固】
图中三角形
ABC
的面积是
180
平方 厘米，
D
是
BC
的中点，
AD
的长是
AE
长的
3
倍，
EF
的长是
BF
长的
3
倍．那么三角形
AEF
的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
D
C
【巩固】如图，在长方形
ABCD中，
Y
是
BD
的中点，
Z
是
DY
的中 点，如果
AB
24
厘米，
BC
8
厘米 ，求
三角形
ZCY
的面积．
.
.
D
Z
A
Y
C
B
【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是< br>24
，
D
、
E
和
F
分别是
BC、
AC
和
AD
的中点．求三角形
DEF
的面积．
A
F
B
D
E
C
【巩固】如图，在三角形
A BC
中，
BC
8
厘米，高是
6
厘米，
E
、
F
分别为
AB
和
AC
的中点，那么三角形
EBF
的面积是多少平方厘米？
A
E
B
F
C
【例
10
】
如图所 示，
A
、
B
、
C
都是正方形边的中点，△
COD< br>比△
AOB
大
15
平方厘米。△
AOB
的面积为
平方厘米。
C
A
O
B
D
E
.
.
【例
11
】
如图
ABCD
是一个长方形，点
E
、
F
和
G
分别是它们所在边的中点． 如果长方形的面积是
36
个平方
单位，求三角形
EFG
的面积是多少 个平方单位．
G
G
C
C
D
D
E
A
F
B
E
F
B
【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
1
，
M
是
AD
边的中点，
N
在
AB
边上，且
2< br>AN
BN
.
那么，阴影部
分的面积是多少？
A
N
B
C
M
D
A
N
B
CM
D
A
【例
12
】
如图，大长方形由面积是
12
平方厘米、
24
平方厘米、
36< br>平方厘米、
48
平方厘米的四个小长方形
组合而成．求阴影部分的面积．
A
12cm
2
36cm
2
B
36c m
2
N
M
12cm
2
48cm
2
24cm
2
48cm
2
【例
13
】
图中
AB CD
是个直角梯形(∠
DAB
=∠
ABC
=90°)，以
A D
为一边向外作长方形
ADEF
，其面积为
6.36
平
方厘 米。连接
BE
交
AD
于
P
，再连接
PC
。 则图中阴影部分的面积是
()
平方厘米。
.
24cm
2
C
D
.
F
A
P< br>E
D
B
C
(
A
)6.36
(
B
)3.18
(
C
)2.12
（
D
）
1.59
【例
14
】
如图，
BC
是半径为
6
的圆
O< br>上的弦，且
BC
的长度与圆的半径相等，
A
是圆外的一点，
O A
的长度
为
12
，且
OA
与
BC
平行，那 么图中阴影部分的面积是
。
（
π
3.14
）
B
C
O
A
【巩固】在下图中，
A
为半径为
3
的⊙0外一点。弦
BC
∥
A
0
且
BC
=3
。 连结
AC
。阴影面积等于
.(
=3.14)
C
B
O
A
【例
15
】
如图，
三角形
ABC
中，
DC
2
BD
，
CE
3
AE
，
三角形
ADE
的面积是
20
平方厘米，
三角形
ABC
的< br>面积是多少？
.
.
A
E
B
D
C
【例
16
】
如图，
在三角形ABC
中，
已知三角形
ADE
、
三角形
DCE
、
三角形
BCD
的面积分别是
89
，
28
，
26
．
那
么三角形
DBE
的面积是
．
B
D
A
E
C
【例
17
】
如图，梯形
ABCD
被它的一条对角线
BD
分成了两部分．三角形
BDC
的面 积比三角形
ABD
的面积大
10
平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和 是
15
分米，它们的差是
5
分米．求梯形
ABCD
的
面积．
A
A
D
D
h
B
C
【例
18
】
图中
V
AOB
的面积为
15cm
2
，线段
OB
的长度为
OD
的
3
倍，求梯形
ABCD
的面积．
A
O
B
C
D
B
E
C
.
.
【例
19
】
如图，把四边形
ABCD
改成一个等积的三角形．
D
A
B
C
D
A
【例
20
】
一个长方形分成< br>4
个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的
15%
，黄色三角形面积是
21
cm
2
．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄
红
绿
红
A′
B
C
【例
21
】
O是长方形
ABCD
一点，已知
OBC
的面积是
5cm
2
，
OAB
的面积是
2cm
2
，求
OBD
的面积是多
少？
D
A
O
P
B
【例
22
】
如右图，过平行四边形
ABCD
的 一点
P
作边的平行线
EF
、
GH
，若
P BD
的面积为
8
平方分米，
求平行四边形
PHCF
的面积比 平行四边形
PGAE
的面积大多少平方分米？
A
E
P
F
G
D
C
A
E
P
G
D
F
B
H
C
.
B
H
C
.
【例
23
】
如右图，正方形
AB CD
的面积是
20
，正三角形
BPC
的面积是
1 5
，求阴影
BPD
的面积．
A
A
P
D
P
D
O
B
C
B
C
【巩固】如右图，正方形
ABCD
的面积是
12
，正三角形
BPC
的面积是
5
，求阴影
BPD
的面积．< br>
A
A
P
D
P
D
O
B
C
B
C
【例
24
】
在长方形
ABCD
部有一点
O
，形成等腰
AOB
的面积为
16
，等腰
DOC
的 面积占长方形面积的
18%
，那么阴影
AOC
的面积是多少？
D
O
C
A
B
【例
25
】
如右图所示，在梯形
ABCD< br>中，
E
、
F
分别是其两腰
AB
、
CD
的中点，
G
是
EF
上的任意一点，
7
已知
ADG
的面积为
15cm
2
，
而
BCG
的面积恰好是梯形
ABCD
面积的
，
则梯形
ABCD
的面积
20
2
是
cm
．
.
.
A
D
F
A
D
F
E
G
E
G
B
C
【例
26
】
如图所示，四边形
ABCD
与
AEGF
都是平行四边形，请你证明它们的 面积相等．
B
C
F
A
B< br>G
D
E
C
F
A
B
G
D
E< br>C
【巩固】
如图所示，
正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，
长方形
EBGF
的长
BG
为< br>10
厘米，
那么长方形的宽为几厘米？
E
A
FD
G
C
B
F
A
E
B
【例
27
】
如图，正方形
ABCD
的边长为< br>6
，
AE
＝
1.5
，
CF
＝
2．长方形
EFGH
的面积为
．
D
G
C
.
.
H
A
E
D
G
B
F
C
【例
28
】
如图，
ABCD
为平行四边形，< br>EF
平行
AC
，如果
V
ADE
的面积为
4< br>平方厘米．求三角形
CDF
的面积．
D
C
D
C
F
A
E
B
F
【巩固】如右图，在平行四边形
ABC D
中，直线
CF
交
AB
于
E
，交
DA延长线于
F
，若
S
△
ADE
1
，求
△
BEF
的面积．
A
E
B
C
E
D
A
B
C
E
F
D
A
B
【例
29
】
梯形< br>ABCD
中，
AE
与
DC
平行，
S
ABE
15
,
S
BCF
.
A
F
B
C
D
F
E
【例
30
】
图中两个正方形的边长分别是
6
厘米和
4
厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
.
.
【例
31
】
如图，
有三个正方形的顶点
D
、
G
、
K
恰好在 同一条直线上，
其中正方形
GFEB
的边长为
10
厘米，
求 阴影部分的面积．
D
C
G
Q
F
O
HE
K
A
Q
P
D
C
G
F
OH
E
K
P
A
B
B
【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是
4
厘米，求三角形
ABC
的面积．
A
B
G
E
D
F
4
C
A
B
G
E
D
F
4
C
【巩固】如图，
ABCD
与< br>AEFG
均为正方形，三角形
ABH
的面积为
6
平方厘米，图 中阴影部分的面积
为
．
D
C
D
C
F
H
G
.
E
F
H
E
A
B
G
A
B