小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
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2021年02月01日 20:11
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风度翩翩-组织委员
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙
漏模型）
，共边（ 含燕尾模型和风筝模型）
，
掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
A
B
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，
面积比等于它们的底之比；
S
S
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
a
b
C
D
如右图
S
1
:
S
2
a
:
b
1
2
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
S
△
ACD
S
△
BCD
；
< br>反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行 四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形
)
；< br>
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边 形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相
等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．
如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB< br>,
AC
上的点如图
⑴
(
或
D
在< br>BA
的延长线上，
E
在
AC
上
)
，
则
S
△
ABC
:
S
△
ADE
< br>(
AB
AC
)
:
(
AD
AE
)
D
A
A
D
E
E
D
C
A
S
1
图⑴
图⑵
S
4
S
2
O
三、蝶形定理
S
3
任意四边形中的比例关系
(
“蝶形定理”
)
：
B
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S
2
:
S
4
S
3
蝶形定理为我们提 供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造
B
C
B
C
a
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边
A
D
S
1
形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积
S
2
S
4
O< br>对应的对角线的比例关系．
S
3
梯形中比例关系
(
“梯形蝶形定理”
)
：
①
S
1
:
S3
a
2
:
b
2
B
b2
2
②
S
1
:
S
3
:
S2
:
S
4
a
:
b
:
ab< br>:
ab
；
③
S
的对应份数为
a
b
2
．
四、相似模型
(
一
)
金字塔模型
(
二
)
沙漏模型
C
A
E
A
F
D
D
B
AB
AC
F
G
BC
AG< br>E
C
B
G
C
①
AD
AE
DE
AF
；
②
S
△
ADE
：
S
△
ABC
AF
2
:
AG
2
．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
(
只要其 形状不改变，
不论大小怎样改变它们都相似
)
，与相似三角形相关的常用的性质及定理 如
下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似
比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工
具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
A
S
ABO
:
S
ACO
BD
:
DC
．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段 ，因
E
F
为
ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴，
所以这个定理被称
O
为燕尾定理．
该定理在许多几何 题目中都有着广泛的运用，
C
D
它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中， 为
B
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
.
典型例题
【例
1
】
如图，正方形< br>ABCD
的边长为
6
，
AE
1
.
5
，
CF
2
．长方形
EFGH
的面
积为
．
_
H
_
D
_
H
_
D
_
A
_
E
_
G
_
A
_
E
_
G
_
B
_
F
_
C
_
B
_
F
_
C
【解析】
连
接
DE
，
DF
，
则长方形
EFGH
的面积是三角形
DEF
面积的二倍．
三角形
DEF
的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△
DEF
6
6
1.5
< br>6
2
2
6
2
< br>4.5
4
2
16.5
,
所以 长方形
EFGH
面积为
33
．
【巩固】如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形
EBGF
的长
B G
为
10
厘
米，那么长方形的宽为几厘米？
_
E
_
A
_
F
_
D
_
G
_
C
_
B
_
F
_
D
_
C
_
A
_
E
_
B
_
G
【解析】
本
题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面 积相等
(
长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
．三角形面积 等于与它等底
等高的平行四边形面积的一半．
证明：
连接
AG．
(
我们通过
△
ABG
把这两个长方形和正方形联系在一
起
)
．
∵在正方形
ABCD
中，
S
△
AB
G
AB
AB
边上的高，
∴
S
△
ABG
S
的一半
)
1
S
S
EFGB
．
同理，
△
ABG
2
8
8
1
2
1
2
ABCD
(
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
∴
正
方
形
ABCD
与
长
方
形
)
．
1
0
(
6
厘米
.
面< br>E
F
G
B
积
相
等
．
长
方
形
的
宽
【例
2
】
长方形
ABCD
的面积为
A
36< br>cm
2
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任
意一点，问阴影部分面积是多少？
H
D
E
G
B
F
C
【解析】
解
法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
H
D
A
E
G
B
F
C
可
得
：
S
EHB
S
AHB
、
S
FHB
S
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，
而
S
AB CD
S
AHB
S
CHB
S
CHD
36
1
2
1
2
1
2
即
S
EHB
S
BHF
S
DHG
(
S
AHB
S
CHB
S
CHD
)
< br>36
18
；
而
S
EHB
S
BHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
1
2
1
2
，
1
1
1
1
1
S
EBF
BE
BF
(
AB
)
(
BC
)
36
4.5
．
2
2
2
2
8
所以阴影部分的面积 是：
S
阴影
18
S
EBF
18
4.5
13.5
< br>解法二：特殊点法．找
H
的特殊点，把
H
点与
D
点重 合，
那么图形就可变成右图：
A
D
(
H
)
E
G
这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
F
C
B
1
1
1
1
1
1
1
S
阴影
S
ABCD
S
AED
S
BEF
S
CFD
36
36
< br>
36
36
13.5< br>．
2
2
2
2
2
2
2
< br>【巩固】
在边长为
6
厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，
将正方形的一组对边
二等分，另一组对边三等分，分别与
P
点 连接
,
求阴影部分面积．
A
D
A
(
P< br>)
D
A
D
P
P
【解析】
（
法
1
）特殊点法．由于
P
是 正方形内部任意一点，可采用特殊点法，
假设
P
点与
A
点重合，则阴 影部分变为如上中图所示，图中的两个阴
影三角形的面积分别占正方形面积的
1
和1
，所以阴影部分的面积为
4
6
B
C
B
CB
C
1
1
6
2
(
)
15
平方厘米．
4
6
（法
2
）连 接
PA
、
PC
．
由于
PAD
与
PBC
的面积之和等于正方形
ABCD
面积的一半，所以上、< br>下两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面积的
1
，同理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面积的
1< br>，所以阴
6
影部分的面积为
6
2
(
1
1
)
15
平方厘米．
4
6
【例
3
】
如图所示， 长方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为
70
，
AB
< br>8
，
AD
15
，四边形
EFGO
的面积为
．
A
D
O
E
B
F
G
C
【解析】
利
用图形中的包含关系可以先求出三角 形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的
面积之和，以及三角形
AOE
和
DOG
的面积之和，进而求出四边形
EFGO
的面积．
由
于
长
方
形
ABCD
的
面
积
为
15
8
120，
所
以
三
角
形
BOC
的
面
积
为
1
3
30
，所以三角形
AOE
和DOG
的面积之和为
120
70
20< br>；
4
4
1
1
又三角形
AOE< br>、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为
120
< br>
30
，所以
2
4
120
四边形
EFGO
的面积为
30
20
10
．
另解：从整体上来看，四边形
EFGO
的面积
三角形
AFC
面积
三角形< br>BFD
面积
白色部分的面积，而三角形
AFC
面积
三角形
BFD
面积为长
方形面积的一半，
即
60
，
白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
分的面积，即
120
70
50
，所以四边形的面积为
60
50
< br>10
．
【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
36
，
E
是
AD
的三等分点，
AE
2
ED
，则
阴影部分的面积为
．
A
O
B
【解析】
如
图，连接
OE
．
E
D
A
M< br>O
B
E
N
D
C
C
根
据
蝶
形
定
理
，
ON
:
ND
S
COE
:
S
CDE
S
CAE
:
S
CDE
1 :1
，
所
以
S
O
1
E
N
S
2
1
2
；
O
E
D
1
1
OM
:
MA
S
BO E
:
S
BAE
S
BDE
:
S
BAE
1:
4
，所以
S
OEM
S
OEA
．
5
2< br>1
1
又
S
OED
S
矩形
ABCD
3
，
S
OEA
2
S
OED
6
，所以阴影部分面积为：
3< br>4
1
1
3
6
2. 7
．
2
5
【例
4
】
已知
ABC
为等边三角形，面积为
400< br>，
D
、
E
、
F
分别为三边的中点，
已知甲、 乙、丙面积和为
143
，求阴影五边形的面积．
(
丙是三角形
HBC
)
A
甲
乙
I
J
M
B
N
H
丙
E
D
F
【解析】
因
为< br>D
、
E
、
F
分别为三边的中点，所以
DE
、
DF
、
EF
是三角形
ABC
的
中位线，也就与对应 的边平行，根据面积比例模型，三角形
ABN
和三
角形
AMC
的面积 都等于三角形
ABC
的一半，即为
200
．
根据图形的容 斥关系，有
S
ABC
S
丙
S
ABN
S
AMC
S
AMHN< br>，
即
400
S
丙
200< br>
200
S
AMHN
，所以
S
丙
S
AMHN
．
又
S
阴影
S
ADF
S
甲
S
乙
S
AMHN
，所以
1
S
阴影
S
甲
S
乙
S
丙
S
ADF
143
400
43
．
4
C
【例
5
】
如图，已知
CD
5
，
DE
7
，
EF
15
，
FG
6
，线段
AB
将图形 分成两部
分，左边部分面积是
38
，右边部分面积是
65
，那么三角 形
ADG
的面
积是
．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
B
E
F
G
【解析】
连
接
AF
，
BD
．
根据题意可知，CF
5
7
15
27
；
DG
7
15
6
28< br>；
15
S
CBF
，
S
BE
C
12
S
CBF
，
S
AEG
21
S
ADG
，
S
AED
7
S
ADG
，
2 7
28
27
28
7
12
21
15
S
S
CBF
38
；
S
S
65
于是：
；
ADG
A DG
CBF
28
27
28
27
可得
S< br>
ADG
40
．故三角形
ADG
的面积是
40
．
所以，
S
BE
F
【例
6
】
如图在
△
ABC
中 ，
且
AD
:
AB
2:5
，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点，
AE
:AC
4:7
，
S
△
ADE
16< br>平方厘米，求
△
ABC
的面积．
A
A
D< br>E
D
E
B
C
B
C
【解析】
连
接
BE
，
S
△
ADE
:
S
△
ABE
AD
:
AB
2
:5
(2
4)
:
(5
4)
，
< br>S
△
ABE
:
S
△
ABC
AE< br>:
AC
4
:
7
(4
5)
:
(7
5)
，
所
以
S
△
A
D
E
:
S
△
A
B
C
(
2
4
)
:
(
7
，
设
S
△
ADE
8
份，则
S
△
ABC
35
份，S
△
ADE
16
平方厘米，所以
1
份是2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△
A BC
的面积是
70
平方厘米．由此我们得到一
个重要的定理，共角定理：共角 三角形的面积比等于对应角
(
相等角
或互补角
)
两夹边的乘积之比< br>
．
【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的
5
倍，
AC
是
AE
的
3
倍，如果三角
形
ADE
的面积等于
1
，那么三 角形
ABC
的面积是多少？
A
D
E
C
D
A
E
C
B
【解析】
连
接
BE
．
B
∵
EC
3
AE
∴
S
ABC
3
S
ABE
又∵
AB
5
AD
∴
S
ADE
S
ABE
5
S
ABC
< br>15
，∴
S
ABC
15
S
ADE
15
．
【巩固】如图，三角形
ABC
被分成 了甲
(
阴影部分
)
、乙两部分，
BD
DC
4
，
BE
3
，
AE
6< br>，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
E
B
甲
D< br>E
A
乙
C
【解析】
连
接
AD
．
B
甲
D
乙
C
∵
BE
3
，
AE
6
∴
AB
3
BE
，
S
ABD
3
S
BDE
又∵
BD
DC
4
，
∴S
ABC
2
S
ABD
，∴
S
ABC
6
S
BDE
，
S
乙
5
S
甲
．
【例
7
】
如图在
△
ABC
中，
D
在
BA
的延长线上，< br>E
在
AC
上，且
AB
:
AD
5:
2
，
AE
:
EC
3:
2，
S
△
ADE
12
平方厘米，求
△
ABC
的面积．
D
D
A
A
E
B
C
E
【解析】
连
接
BE
，
S
△
AD E
:
S
△
ABE
AD
:
AB
2
:5
(2
3)
:
(5
< br>3)
S
△
ABE
:
S
△
ABC
AE
:
A C
3:
(3
2)
(3
5 )
:
(3
2)
5
，
5
(3
2)
6
:
， 设
25
S
△
A
D
E
6
份，则< br>S
△
ABC
25
份，
所以
S
△< br>A
D
E
:
S
△
A
B
C
< br>(3
2)
:
S
△
ADE
12
平方厘米，
所以
1
份是
2
平方厘米，< br>△
ABC
25
份就是
50
平方厘米，
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共
角三角形的面积比等于对应角< br>(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比
B
C
【例
8
】
如图，平行 四边形
ABCD
，
BE
AB
，
CF
< br>2
CB
，
GD
3
DC
，
HA
4
AD
，平
行四边形
ABCD
的面积是
2< br>，
求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面< br>积比．
H
H
A
G
D
F
B
C
E
A
G
D
F
B
C
E
【解析】
连
接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△
ABC
和
△
BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
∴
S
△
ABC
AB
BC
1
1
1
．
S
△
FBE
BE
BF
1
3
3
又
S
△
ABC
1
，所以
S
△
FBE
3
．
同理可得
S
△
GCF
8
，
S
△
DHG
15
，
S
△
AEH
8
．
所以
S
EFGH
S
△
AE H
S
△
CFG
S
△
DHG
S
△
BEF
S
ABCD
8
8
15+3+2
36
．
所以
S
ABCD
S
EFGH
2
1
．
36
18
【例
9
】
如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
12
13
D
13
【解析】
题< br>目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，
难以运用公式直接
求面积
.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形
OAB
绕顶点
O
逆时针旋转，使长为
13
的两条边重合，此时三
角形
OA B
将旋转到三角形
OCD
的位置
.
这样，通过旋转后所得 到的新
图形是一个边长为
12
的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形
的面积
.
因此，原来四边形的面积为
12
12
144
.(
也可以用勾股定理
)
【例
10
】
如
图所示，
ABC
中，
ABC
90
，
AB
3
，
BC
5
，以
AC
为一边向
ABC< br>外作正方形
ACDE
，中心为
O
，求
OBC
的面积．
12
12
A
B
E
E
O
A
3
B
5
C
D
O
A
3
D
C
5
B
【解析】
如
图，将
OAB
沿着
O
点顺时针旋转
90
，到 达
OCF
的位置．
由于
ABC
< br>90
，
AOC
90
，所以
OAB
OCB
180
．而
OCF
OAB
，
所以
OCF
OCB
180
，那么
B
、
C
、
F
三点在一条直线上．
由于< br>OB
OF
，
BOF
AOC
90
，
所以
BOF
是等腰直角三角 形，
且斜边
1
BF
为
5
3
8
，所以它的面积为
8
2
16
．
F
4
根据面积比例模型，
OBC
的面积为
16
5
10
．
8
【例
11
】
如
图，以正方形的边
AB
为斜边在正方形 内作直角三角形
ABE
，
AEB
90
，
AC
、
BD
交于
O
．已知
AE
、BE
的长分别为
3cm
、
5cm
，求
三角形
O BE
的面积．
C
B
C
B
O
E
D
A
D
O
E
A
F
【解析】
如
图，
连接
DE
，
以
A
点为中心，
将
ADE
顺时针旋转
90
到
ABF
的位置．
那么
EAF
EAB
BAF
EAB
DAE
90
，而
AEB
也是
90
，所以四边
形
AFBE
是直角梯形，且
AF
AE
3
，
所以梯形
AFBE
的面积为：
1
3
5
3
12
(
cm
2
)
．
2
又因为
ABE
是直角三角 形，根据勾股定理，
AB
2
AE
2
BE
2
3
2
5
2
34
，2
所以
S
ABD
AB
17(
cm
2
)
．
1
2
那么
S
BDE
S
ABD
S< br>
ABE
S
ADE
S
ABD
S
AFBE
17
12
5
(
cm
2
)
，
所以
S
OBE
S
BDE
2.5(
cm
2
)
．
1
2
【例
12
】
如
下图，六 边形
ABCDEF
中，
AB
ED
，
AF
CD
，
BC
EF
，且有
AB
平行于
ED
，
AF
平行于
CD
，
对角线
F D
垂直于
BD
，
已知
FD
24
BC平行于
EF
，
厘米，
BD
18
厘米，请问六 边形
ABCDEF
的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
E
D
F
E
D
【解析】
如
图，
我们将
BCD
平移使得
CD
与
AF
重合，
将
D EF
平移使得
ED
与
AB
重
合，这样
EF
、
BC
都重合到图中的
AG
了．这样就组成了一个长方形
BGFD< br>，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形
BGFD
的面积为
24
18
432
平方厘米，所以六边形
ABCDEF
的面积 为
432
平方厘米．
【例
13
】
如
图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD
:
DC
1:
2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等 于
．
A
A
3
3
E
F
3
1
2
C
D
E
B
D
A
E
F
B
D
C
F
C
B
S
△< br>ABF
AE
S
△
ABF
BD
1
1
,
【解析】
方
法一 ：连接
CF
，根据燕尾定理，
，
S
△
CBF
EC< br>S
△
ACF
DC
2
设
S
△
BDF
1
份，则
S
△
DCF
2份，
S
△
ABF
3
份，
S
△
AEF
S
△
EFC
3
份，
如图所标
所以
S
DCEF
5
5
S
△< br>ABC
12
12
方法二：连接
DE
，由 题目条件可得到
S
△
ABD
S
△
ABC
，
1
1
2
1
BF
S
△
ABD
1
，
S
△
ADE
S
△
ADC
S
△
ABC
，所以
FE
S
△
ADE
1
2
2
3
3
1
3
1
3
1
1
1
1
1
1
1
S
△
DEF
S
△
DEB
S
△
BEC
S
△
ABC
，
2
23
2
3
2
12
2
1
1
5
S< br>
S
而
△
CDE
．所以则四 边形
的面积等于
．
DFEC
△
ABC
3
2
3
12
【巩固】
如图，
长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
阴
EC
2
DE
，
F
是
DG
的中点．
影部分的面积是多少平方厘米
?
AF
B
G
D
E
C
B
B
A
A3
F
3
G
1
D
D
E
F
x2
y
3
y
x
C
E
G
C
【解析】
设
S
△
DEF
1
份，
则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影
5
5
S
△
BCD
12
12
平方厘米
.
【例
14
】
四
边形
ABC D
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(
如图所 示
)
．如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的面积的
1
，
且
AO
2
，
DO
3
，
那么
CO
的长度
3
是
DO
的长度的
_________
倍．
A
O
B
C
B< br>D
A
H
O
D
G
【解析】
在
本题中，四边形
ABCD
为任意四 边形，对于这种”不良四边形”
，无
外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从 而快速解
决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形
．看到题目中给出条件
S
AB D
:
S
BCD
1:
3
，
这可以向模型一 蝶形定理靠拢，
于是得出一种解法．
又
观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化 为边的关系，可以得
到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边
形”< br>，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG垂直
BD
于
G
，面积比转化为高
之比．再应用结论：三角形高相 同，则面积之比等于底边之比，得出
结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从
而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．
解法一：
∵
AO:
OC
S
ABD
:
S
BDC
1:
3
，
∴
OC
23
∴
O
．
6
，
C
O
D
:
3
6
:
1
2
:
解法二：作
AH
BD
于
H
，
CG
BD
于
G
．
∵
S
ABD
1
1
1
S
S
DOC
，
S
BCD
，∴
AH
CG
，∴< br>
AOD
3
3
3
3
C
∴
AO
1
CO
，∴
OC
2
3
6
，∴
OC
:
OD
6:3
2 :1
．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中 三个三角形的面
积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积； ⑵
AG
:
GC
？
A
2
B
C
【解析】
⑴
根据蝶形定理，< br>S
BGC
1
G
3
D
BGC
1
2
3
，那么
S
6
；
⑵根据蝶形定理，
AG
:
GC
1< br>
2
:
3
6
< br>1:
3
．
【例
15
】
如
图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
△
CEF
、
△
OEF
、
△
ODF
、
△
BOE
的面积依次是
2
、
4< br>、
4
和
6
．
求：
⑴求
△
OCF的面积；
⑵求
△
GCE
A
O
G
D
的面 积
．
F
C
B
E
【解析】
⑴< br>根据题意可知，
△
BCD
的面积为
2
4
4
6
16
，那么
△
BCO
和
CDO
的
面积都是
16
2
8
，所以
△
OCF
的面积为
8
4
4
；
⑵由于
△
BCO
的面积为
8
，
△
BOE
的面积为
6
，所以
△
OCE< br>的面积为
8
6
2
，
根
据
蝶
形
定
理
，
EG
:
FG
< br>S
COE
:
S
COF
2:
4
1:
2
，
所
以
S
< br>G
C
:
E
S
G
C
E< br>:
F
G
F
1
G
，
那么
S
GCE
【例
16
】
如
图，长方形
ABCD
中，
BE
:
EC
2:3
，
DF
:
FC
1:
2
，三角形
DFG
的面积< br>1
1
2
S
CEF
2
．
1
2
3
3
为
2
平方厘米，求长方形
ABCD
的面积．
A
G
D
F
C
A
G
D
F
C
B
E
B
B
:
E
2
E
E
DF
:
FC
1:
2
，
所
以
【解析】
连
接
AE
，
FE
．
因
S
DEF
为
，
C
3
1
1
1
(< br>
)
S
长方形
ABCD
S
长方 形
ABCD
．
5
3
2
10
1
S
S
长方形
ABCD
，
AG
:
GF
1
:
1
5:1
，所以
S
AGD
5
S
GDF
10
平方
因为
AED
2
2
10
1
S
12
S
S
长方形
ABCD
，所以长方形
厘米，所以
AFD
平方厘 米．因为
AFD
6
ABCD
的面积是
72
平方厘米．
【例
17
】
如图，正方形
AB CD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点．求 图中
阴影部分的面积．
B
C
G
A
D
【解析】
因
为
M
是
AD
边上的中点，< br>所以
AM
:
BC
1:
2
，
根据梯 形蝶形定理可以知
道
S
△
AMG
:
S
△
ABG
:
S
△
MCG
:
S
△
BC G
1
2
（
:
1
2
）
（
:
1
2
）
:
2
2
1:
2
:
2
:
4
，
设
S
△
A
G
M
1
份
，
则
S
△
M
C
D
1
2
3
份
，
所
以
正
方
形
的
面
积
为
1
2
2
4
3
12
份
，
S
阴影
:
S
正方形
1:
3
，所以
S
阴影
1
平方厘米．< br>
S
阴影
2
2
份，所以4
M
【巩固】在下图的正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边的中点，
AE
与
BD
相交于
F
点，
三
角
形
BEF
的
面
积
为
1< br>平
方
厘
米
，
那
么
正
方
形< br>ABCD
面
积
是
平方厘米．
A
D
F
B
【解析】
连
E
C接
DE
，
根
据
题
意
可
知
BE
:
AD
1:
2
，
根
据
蝶
形
定
理
得
2
S
梯形
（
1
2
）
9
(
平
方
厘
米)
，
S
△
ECD
3
(
平
方
厘
米
)
，
那
么
ABCD
S
12
(
平方厘米
)
．
【例
18
】
已
知
ABCD
是平行四边形，
BC
:
CE
3:
2
，
三角形
ODE
的面积为
6
平方厘米．则阴影部分的面积是
平方厘米．
A
O
D
A
O
D
B
【解析】
连
接
AC
．
C
E
B
C
E
由于
ABCD
是平 行四边形，
BC
:
CE
3:
2
，所以
C E
:
AD
2:3
，
根据梯形蝶形定理，
S
COE
:
S
AOC
:
S
DOE
:S
AOD
2
2
:
2
3:
2
3:
3
2
4
:
6
:
6
:
9
，
所
以
S
AOC
6< br>(
平
方
厘
米
)
，
S
AOD
9
(
平
方
厘
米
)
，
又
S
A
B
C
S
A
6
C
D
9
(
1
平方厘米
)
，阴影部分面积 为
6
15
21
(
平方厘
米
)
．
【巩固】右图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所
示
(
单位：平方厘米
)
，阴影部分的面积是
平方厘米．
A
9
21
4
B
E
C
21
D
A
9
O4
E
C
D
B
【分析】
连
接
AE
S
OCD
．
由
于AD
与
S
OAE
．
BC
是
平
行
的
，
所
以
AECD
也
是
梯
形
，
那
么
2
根据蝶形定理，
S
OCD
S
OAE
S
O CE
S
OAD
4
9
< br>36
，故
S
OCD
36
，
< br>所以
S
OCD
6
(
平方厘米
)
．
【巩固】右图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所
示
(
单位：平方厘米
)
，阴影部分的面积是
平方厘米．
A
8
16
2
B
E
C
B
E
16
D
A8
O
2
C
D
【解析】
连
接
AE
．
由
于
AD
与
BC
是
平< br>行
的
，
所
以
AECD
也
是
梯
形
，
那
么
S
OCD
S
< br>OAE
．
S
OCD
S
OAE
S
OCE
S
OAD< br>
2
8
16
，
根据蝶形定理，
故
S
OCD
2
16
，
所以
S
OCD
4
(
平方厘米
)
．
另解：
在平行四边形
ABED
中，
S
ADE
S
1
2
ABED
1
16
8
12
(
平方厘米
)
，
2
所以
S
AOE
S
< br>ADE
S
AOD
12
8< br>
4
(
平方厘米
)
，
根据蝶形定理，阴影 部分的面积为
8
2
4
4
(
平方厘米
)
．
【例
19
】
如
图，长方形
ABCD
被
CE< br>、
DF
分成四块，已知其中
3
块的面积分别
为
2、
5
、
8
平方厘米，
那么余下的四边形
OFBC
的面积为
___________
平方厘米．
A
E
2< br>5
O
8
D
C
D
?
5
F
B< br>A
E
2
O
8
C
?
F
B
【解析】
连
接
DE
、
CF
．
四边形
EDCF
为梯形，
所以
S
EOD
S
FOC
，
又根据蝶形定理，
S
EOD
S
FOC
S
EOF
S
COD
，所以
S
EOD
S
FOC
S
EOF
S
COD
2
8
16
，所以
S
EOD
4
(
平方厘米
)
，
S
ECD
4
8
12
(
平方 厘米
)
．那么长方形
ABCD
的面
积为
12
2
24
平方厘米，四边形
OFBC
的面积为
24
5
2
8
9
(
平方厘