小学奥数-几何五大模型(等高模型)讲课教案
绝世美人儿
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2021年02月01日 20:12
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万念俱灰-经典名句
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三角形等高模型与鸟头模型
模型一
三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积
底
高
2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三 角形的底不变，高越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小< br>)
；
如果三角形的高不变，底越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小
)
；
这说明当三角 形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时
1
发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的
3
倍，底变为原来的
，则三角 形面积与原来
3
的一样．
这就是说：
一个三角形的面积变化与否取决于它的高 和底的乘积，
而不仅仅取决于高或底的变化．
同
时也告诉我们：一个三角形在面积不改 变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图
S
1
:
S
2
a
:
b
A
B
S
1
a
S
2
b
C
D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S
△
ACD
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于< br>CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
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【例
1
】
你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴
3
个面积相等的三角形；
⑵
4
个面积相等的三角形；
⑶
6
个面积相等的三角形。
【解析】
⑴
如下图，
D
、
E
是
BC
的三等分点，
F
、
G
分别是对应线段的中点，答案不 唯一：
A
A
F
A
G
B
D
C
C
D
E
C
B
D
⑵
如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
B
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
【例
2
】
如图，
BD
长
12
厘米，
DC长
4
厘米，
B
、
C
和
D
在同一条直线 上。
⑴
求三角形
ABC
的面积是三角形
ABD
面积的多少倍？
⑵
求三角形
ABD
的面积是三角形
ADC
面积的多少倍？
A
B
D
C
【解析】
因
为三角形
ABD
、三角形
ABC
和三角形
ADC在分别以
BD
、
BC
和
DC
为底时，它们的高都是从< br>A
点向
BC
边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：三角形
ABD
的面积
12
高
2
6
高
三角形
ABC
的面积
（
12
4
）
高
2< br>
8
高
三角形
ADC
的面积
4
高
2
2
高
4
倍；
3
三角形
ABD
的面积是三角形
ADC
面积的
3
倍。
所以，三角形
ABC
的面积是三角形
ABD
面积的
【例
3
】
如右图，
ABFE
和
CDE F
都是矩形，
AB
的长是
4
厘米，
BC
的长是3
厘米，那么图中阴影部分的面
积是
平方厘米。
A
E
D
B
F
C
【解析】
图
中阴影部分的面积等于长方形
ABCD
面积的一半，即
4
< br>3
2
6
(
平方厘米
)
。
【巩固】
(
2009
年四中小升初入学测试题
)如图所示，平行四边形的面积是
50
平方厘米，则阴影部分的面积
是
平方厘米。
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【解析】
根
据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也
等于平行四边形面积的一半，为
50
2
25
平方厘米 。
【巩固】如下图，长方形
AFEB
和长方形
FDCE
拼成了长方形
ABCD
，长方形
ABCD
的长是
20
，宽是
12
，则
它内部阴影部分的面积是
。
A
B
F
D
E
C
1
【解析】
根
据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
20
12
120
。
2
【例
4
】
如图，
长方形
ABCD
的面积是
56
平方厘米，
点
E
、
F
、
G
分别是长方形
ABCD
边上的中点，
H
为
AD
边上的任意一点，求阴影部分的面积 。
A
E
B
H
D
G
A
E
B
H
D
G
【解析】
本
题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接
BH
、
CH
。
∵
AE
EB
，
∴
S
△
AEH
S
△
BEH
．
同理，
S△
BFH
S
△
CFH
，
S
V
CGH
=S
V
DGH
，
1
1
∴
S
阴影
S
长方形
ABCD
56< br>
28
(
平方厘米
)
．
2
2
F
C
F
C
【巩固】图中 的
E
、
F
、
G
分别是正方形
ABCD
三条 边的三等分点，如果正方形的边长是
12
，那么阴影部
分的面积是
。
A
D
G
E
B
F
C
E
B
F
A
6
5
4
3
1
G
2
C
H
D
【解析】
把
另外三个三等分点标出之后，正方形的< br>3
个边就都被分成了相等的三段。把
H
和这些分点以及正
方形的顶点相 连，把整个正方形分割成了
9
个形状各不相同的三角形。这
9
个三角形的底边 分别是
在正方形的
3
个边上，
它们的长度都是正方形边长的三分之一。
阴影部分被分割成了
3
个三角形，
右
边三角形的面积和第
1
第
2
个三角形相等：中间三角形的面积和第
3
第
4
个三角 形相等；左边三角形
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的面积和第
5
个第
6
个三角形相等。
因此这3
个阴影三角形的面积分别是
ABH
、
BCH
和
CDH
的三分之一，
因此全部阴影的总面积就等
于正方形面积的三分之一。正方形的面积是< br>144
，阴影部分的面积就是
48
。
【例
5
】
长方形
ABCD
的面积为
3 6
cm
2
，
E
、
F
、
G
为各边中 点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
A
H
D
E
G
【解析】
解法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
H
D
A
F
B
C
E
G
B
1
1
1
S
AHB
、
S
FHB
S< br>
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，而
S
ABCD
S
AHB
S
CHB
S
CHD
3 6
2
2
2
1
1
即
S
EHB
S
BHF
S
DHG
(
S
AHB
S
CHB
S
CHD
)
36
18
；
2
2
1
1
1
1
1
而
S
EHB
S
BHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
，
S
EB F
BE
BF
(
AB
)
(
BC
)
3 6
4.5
。
2
2
2
2
8
所以阴影部分的面积是：
S
阴影
18
S
EBF
18
4.5
13.5
可得：
S
EHB
解法二：特殊点法。找
H
的特 殊点，把
H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
A
D
(
H
)
F
C
E
G
这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
1
1
1
1
1
1
1
S
阴影
S
ABCD
S
AED
S
BEF
S
CFD
36
36
36
36< br>
13.5
。
2
2
2
2
2
2
2
【例
6
】
长方形
ABCD
的面积为
36
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
B
F
C
A
H
D
E
G
B
F
C
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A
(
H
)
D
A
H
D
E
GE
G
C
F
B
【解析】
（
法
1
）特殊点法。由于
H
为
AD
边上任意一点，找
H
的特殊点，把
H点与
A
点重合（如左上图）
，
那么阴影部分的面积就是
AEF
与
ADG
的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形
ABCD
1
1
1
1
3
3
面积的
和
，所以阴影部分面积为长方形
ABCD
面积的
，为
3 6
13.5
。
8
4
8
8< br>8
4
（法
2
）寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如右上图。
1
1
1
可得：
S
EHB
S
AHB
、
S
FH B
S
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，而
S
ABCD
S
AHB
S
CHB
S
C HD
36
，
2
2
2
1
1即
S
EHB
S
BHF
S
DHG
(
S
AHB
S
CHB
S
CHD
)
36
18
；
2
2
1
1
1
1
1
而
S
EHB
S
< br>BHF
S
DHG
S
阴影
< br>S
EBF
，
S
EBF
BE
BF
(
AB
)
(
BC
)
36
4.5
。
2
2
2
2
8
所以阴影部分的面积是：
S
阴影
18
S
EBF
< br>18
4.5
13.5
。
【 巩固】在边长为
6
厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，将 正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与
P
点连接
,
求 阴影部分面积。
A
D
A
(
P
)
D
A
D
B
F
C
P
P
C
C
B
B
【解析】
（
法
1
）特殊点法。由于
P
是 正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设
P
点与
A
点重合，则阴
1
1
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的
和< br>，所以阴影部
4
6
1
1
分的面积为
6
2
(
)
15
平方厘米。
46
（法
2
）连接
PA
、
PC
。
B
C
由于
PAD
与
PBC
的面积 之和等于正方形
ABCD
面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
1
之 和等于正方形
ABCD
面积的
，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面
4
1
1
1
积的
，所以阴影部分 的面积为
6
2
(
)
15
平 方厘米。
6
4
6
【例
7
】
如右图，
E
在
AD
上，
AD
垂直
BC，
AD
12
厘米，
DE
3
厘米．
求三角形
ABC
的面积是三角形
EBC
面积的几倍？
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A
E
【解析】
因
为
AD
垂直 于
BC
，所以当
BC
为三角形
ABC
和三角形
EB C
的底时，
AD
是三角形
ABC
的高，
ED
是三角 形
EBC
的高，
于是：三角形
ABC
的面积
< br>BC
12
2
BC
6
三角形
EBC
的面积
BC
3
< br>2
BC
1.5
所以三角形
ABC的面积是三角形
EBC
的面积的
4
倍．
【例
8
】
如图，在平行四边形
ABCD
中，< br>EF
平行
AC
，连结
BE
、
AE
、
CF
、
BF
那么与
V
BEC
等积的三角形一
共有哪 几个三角形？
F
A
D
E
C
V
AEC
、
V
AFC
、
V
ABF
．
【解析】
【巩固】如图，在
V
ABC
中，D
是
BC
中点，
E
是
AD
中点，连结
BE
、
CE
，那么与
V
ABE
等积的三角形一共
有 哪几个三角形？
A
B
B
D
C
E
【解析】
3
个，
V
AEC
、
V
BED
、
V
DEC
．
【巩固】如图，在梯形< br>ABCD
中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
A
O
D
B
D
C
V
ABD
与
V
ACD
，
V
ABC
与
V
DBC，
V
ABO
与
V
DCO
．
【解析】
【例
9
】
(
第 四届”迎春杯”试题
)
如图，三角形
ABC
的面积为
1
，其 中
AE
3
AB
，
BD
2
BC
，三角形
BDE
的面积是多少？
B
B
E
A
E
A
C
D
C
D
B
C
【解析】
连
接
CE
，∵
AE
3
AB
，∴
BE
2
AB
，
S
V
BCE
2
S
V
ACB
又∵
B D
2
BC
，∴
S
V
BDE
2
S
V
BCE
4
S
V
ABC
< br>4
．
【例
10
】
(
2008
年四中考题
)
如右图，
AD
DB
，< br>AE
EF
FC
，
已知阴影部分面积为
5
平方厘米，
ABC
的面积是
平方厘米．
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B
D
B
DA
E
F
C
1
1
【解析】
连
接
CD
．根据题意可知，
DEF
的面积为
DA C
面积的
，
DAC
的面积为
ABC
面 积的
，所
2
3
1
1
1
以
DEF
的面积为
ABC
面积的
．而
DEF
的面积为
5
平方厘米，所以
ABC
的面积为< br>2
3
6
1
5
30
(
平 方厘米
)
．
6
【巩固】
图中三角形
A BC
的面积是
180
平方厘米，
D
是
BC
的中点，
AD
的长是
AE
长的
3
倍，
EF
的长是< br>BF
长的
3
倍．那么三角形
AEF
的面积是多少平方厘米？
A
E
F
C
A
E
F
B
D
C
S
V
ABD
BD
1
,
S
V
ABC
BC
2
【解析】
V
ABD
，
V
ABC
等高，所以面积的比为底的比，有
1
1< br>AE
1
所以
S
V
ABD
=
SV
ABC
180
90
(
平方厘 米
)
．同理有
S
V
ABE
S
V
ABD
90
30
(
平方厘米)
，
2
2
AD
3
FE
3
S
V
AFE
S
V
ABE
30
22.5
(
平方厘米
)
．即三角形
A EF
的面积是
22
.
5
平方厘米．
BE
4
【巩固】如图，在长方形
ABCD
中，
Y
是
BD
的中点，
Z
是
DY
的中点，如果
A B
24
厘米，
BC
8
厘米，求
三角形
ZCY
的面积．
D
Z
A
Y
C
B
1
1
1
【解析】
∵
Y
是
BD< br>的中点，
Z
是
DY
的中点，∴
ZY
DB
，
S
V
ZCY
S
V
DCB
，
2
2
4
1
1
1
又∵< br>ABCD
是长方形，∴
S
V
ZCY
S
V< br>DCB
S
Y
ABCD
24
(
平方厘米
)
．
4
4
2
【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
24
，
D
、E
和
F
分别是
BC
、
AC
和
AD的中点．求三角形
DEF
的面积．
A
F
B
E
C
D
【解析】
三
角形
ADC
的面积是三角形
ABC< br>面积的一半
24
2
12
，
三 角形
ADE
又是三角形
ADC
面积的一半
12
2
6
．
三角形
FED
的面积是三角形
A DE
面积的一半，所以三角形
FED
的面积
6
2
3
．
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【巩固】如图，在三角形ABC
中，
BC
8
厘米，高是
6
厘米，E
、
F
分别为
AB
和
AC
的中点，那么三角形
EBF
的面积是多少平方厘米？
A
E
B
F
C
【解析】
∵
F
是
AC
的中点
∴
S
VABC
2
S
V
ABF
同理
SV
ABF
2
S
V
BEF
∴
S
V
BEF
S
V
ABC
4
8
6
2
4
6
(
平方厘米
)
．
【例
11
】
如图
ABCD
是一个长方形，点
E
、F
和
G
分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是
36
个平 方单位，求三角形
EFG
的面积是多少个平方单位．
G
G
C
C
D
D
E
A
F
B
E
F
A
B
【解析】
如
右图分割后可得，
S
V
EFG
S
矩形
DEFC
2
S
矩形
ABCD
4
36
4
9
（平方单位）
．
【巩固】
(
97
迎春杯决赛
)
如图，
长方形
ABCD
的面积是
1< br>，
M
是
AD
边的中点，
N
在
AB
边 上，
且
2
AN
BN
.
那么，阴影部分的面积是多 少？
A
N
B
C
M
D
A
N
B
C
M
D
【解析】
连
接
BM
，因为
M
是中点所以
△
ABM
的面积为
1
又因为< br>2
AN
BN
，所以
△
BDC
的面积为4
1
1
1
1
1
1
5
，又因为
△
BDC
面积为
，所以阴影部分的面积为：
1
.
4
3
12
2
12
2
12
【例
12
】
如图，大长方形由面积是
12
平方 厘米、
24
平方厘米、
36
平方厘米、
48
平方厘米的四个 小长方
形组合而成．求阴影部分的面积．
B
A
12cm
2
36cm
2
12cm
2
M
36cm
2
N< br>48cm
2
24cm
2
48cm
2
【解析】
如
图，将大长方形的长的长度设为
1
，则
AB
1 2
1
24
1
，
CD
，
12
36
4
24
48
3
1
1
1
1
1
所以
MN
< br>，阴影部分面积为
(12
24
36
4 8)
5(cm
2
)
．
3
4
12
2
12
如图，
三角形
ABC
中，< br>DC
2
BD
，
三角形
ADE
的面积是20
平方厘米，
三角形
ABC
CE
3
AE< br>，
24cm
2
C
D
【例
13
】
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的面积是多少？
A
E
B
【解析】
∵
CE
< br>3
AE
，∴
AC
4
AE
，
SV
ADC
4
S
V
ADE
；
又∵
DC
2
BD
，∴
BC
1
.5
DC
，
S
V
ABC
1
.5
S
V
ADC
6
S
V
ADE
120
(
平方厘米
)
．
【例
14
】
(
2009
年第七届”
希望杯”
二试六年 级
)
如图，
在三角形
ABC
中，
已知三角形
ADE
、
三角形
DCE
、
三角形
BCD
的面积分别是89
，
28
，
26
．那么三角形
DBE
的面积 是
．
B
D
D
C
A
E
【解析】
根
据题意可知，
S
ADC
S
ADE
S
DCE
89
28
117
，
C
所以
BD
:
AD
S
BDC
:
S
ADC
26
:117
2
:9
，
那么S
DBE
:
S
ADE
BD:
AD
2
:
9
，
2
2< br>2
7
故
S
DBE
89
(90
1)
20
19
．
9
9
9
9
【例
15
】
(
第四届《小数报》数学竞赛
)
如图，梯形
ABCD
被它的一条对角线
BD
分成了两部分．三角形
BDC
的面 积比三角形
ABD
的面积大
10
平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和 是
15
分米，
它们的差是
5
分米．求梯形
ABCD
的面积．
A
A
D
D
h
B
C
E
【解析】
如
右图，
作
AB
的平行线< br>DE
．
三角形
BDE
的面积与三角形
ABD
的面积相 等，
三角形
DEC
的面积就
B
C
是三角形
BDC< br>与三角形
ABD
的面积差
(
10
平方分米
)
．从而，可求出梯形高
(
三角形
DEC
的高
)
是：
2
10
5
4
(
分米
)，梯形面积是：
15
4
2
30
(
平方分米
)
．
【例
16
】
图中
V
AOB
的面积为
15cm
2
，线段
OB
的长度为
OD
的
3
倍，求梯形
ABCD
的面积．
A
O
B
C
D
【解析】
在
V
ABD
中，因为
S
VAOB
15cm
2
，且
OB
3
O D
，所以有
S
V
AOD
S
V
AOB
3
5cm
2
．
因为
V
ABD
和
V
ACD
等底等高，所以有
S
V
ABD< br>
S
V
ACD
．
从而
S
V
OCD
15cm
2
，
在
V
BCD
中，
S
V
BOC
3
S
V
OCD
< br>45cm
2
，
所以梯形面积：
15
5
< br>15
45
80
．
（
cm
2
）
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【例
17
】
如图，把四边形
ABCD
改成一个等积的三角形．
D
A
B
C
D
A
A′
C
B
【解析】
本
题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是 改成的三角形与原四边形面积相等．我们可
以利用三角形等积变形的方法，
如右上图把顶点A
移到
CB
的延长线上的
A
′
处，
V
A
′
BD
与
V
ABD
面
积相等，
从而
V
A
′
DC
面积与原四边形
ABCD
面积也 相等．
这样就把四边形
ABCD
等积地改成了三角
形
V
A< br>′
DC
．问题是
A
′
位置的选择是依据三角形等积变形原则． 过
A
作一条和
DB
平行的直线与
CB
的延长线交于
A
′
点．
具体做法：⑴
连接
BD
；
⑵
过
A
作
BD
的平行线，与
CB
的延长线交于
A
′
．
⑶
连接
A
′
D
，则
V
A
′
CD
与四边形
ABCD
等积．
【例
18
】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4
个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形
面积的
15%
，黄色三角形 面积是
21
cm
2
．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄
红
绿
红
【解析】
黄
色三角 形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿
色三角形的面积 和为长方形面积的
50%
，而绿色三角形面积占长方形面积的
15%
，所以黄 色三角形
面积占长方形面积的
50%
15%
35%．
已知黄色三角形面积是
21
cm
2
，所以长方形面 积等于
21
35%
60
（
cm
2）
．
【例
19
】
O
是长方形
ABCD
内一点，已知
OBC
的面积是
5cm< br>2
，
OAB
的面积是
2cm
2
，求
OBD
的面
积是多少？
D
A
O
P
B
1
1
【解析】
由
于
ABCD
是长方形，所以
S
AOD
< br>S
BOC
S
ABCD
，而
S
ABD
S
ABCD
，所以
S
AOD< br>
S
BOC
S
ABD
，2
2
则
S
BOC
S
O AB
S
OBD
，所以
S
OBD
S
BOC
S
OAB
5
2
3cm
2
．
【例
20
】
如右图，过平行四边形
ABCD
内 的一点
P
作边的平行线
EF
、
GH
，若
PBD
的面积为
8
平方
分米，求平行四边形
PHCF
的面积 比平行四边形
PGAE
的面积大多少平方分米？
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C
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A
E
P
FG
D
E
A
P
F
G
D
H
C
【解析】
根
据差不变原理，要求平行四边形
PHCF
的面积与平行四边形
PGAE的面积差，相当于求平行四边
B
H
C
B
形
BCFE的面积与平行四边形
ABHG
的面积差．
如右上图，连接
CP
、
AP
．
1
由于< br>S
BCP
S
ADP
S
ABP
S
BDP
S
ADP
S
ABCD
，所以
S
BCP
S
ABP
S
BDP
．
2
1
1
而
S
BCP
S
BCFE
，
S
ABP
S
ABHG
， 所以
S
BCFE
S
ABHG
2
S
BCP
S
ABP
2
S
BDP
16
(
平方分米
)．
2
2
【例
21
】
A
如右图，正方形
ABCD
的面积是
20
，正三角形
BPC
的面积是
15
，求阴影
BPD
的面积．
A
P
D
P
D
O
B
C
B
C
【解析】
连
接
AC
交< br>BD
于
O
点，并连接
PO
．如下图所示，
可得
PO
/
/
DC
，所以
DPO
与
CPO< br>面积相等
(
同底等高
)
，所以有：
S
< br>BPO
S
CPO
S
BPO
S
PDO
S
BPD
，< br>
1
1
因为
S
BOC
S
ABCD
20
5
，所以
S
BPD
15
5
10
．
4
4
【巩固】如右图，正方形
ABCD
的面积是
12
，正三角形
BPC
的面积是
5
，求阴影
< br>BPD
的面积．
A
A
P
D
P
D
O
【解析】
连
接
AC
交
BD
于
O
点，并连接
PO
．如右上图所示，
可得
PO
/
/
DC
，所以
DPO
与
CPO
面积相等
(
同底等高
)
，所以有
:
S
BPO
S
CPO
S
BPO
S
PDO
S
BPD
，
1
因 为
S
BOC
S
ABCD
3
，所以
S
BPD
5
3
2
．
4
【例
22
】
在长方 形
ABCD
内部有一点
O
，
形成等腰
AOB的面积为
16
，
等腰
DOC
的面积占长方形面积的
18%
，那么阴影
AOC
的面积是多少？
B
C
B
C
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D
O
C
【解析】
先
算出长方形面积，再用其一半减去
DOC< br>的面积
(
长方形面积的
18%
)
，再减去
AOD
的面积，即
可求出
AOC
的面积．
A< br>B
1
1
根据模型可知
S
COD
S
AOB
S
ABCD
，所以
S
ABC D
16
（
18%
）
50
，
2
2
又
AOD
与
BOC
的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以
AOD
的 面积等于长方
1
形面积的
，
4
1
所以
S
AOC
S
ACD
S
< br>AOD
S
COD
S
ABCD
25%
S
ABCD
18%
S
ABCD
25
12.5
9
3
.5
．
2
【例
23
】
（
20 08
年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形
ABCD
中，
E
、
F
分别是其两腰
AB
、
CD
的中点，
G
是
EF
上的任意一点，
已知
ADG
的面积为
15cm
2
，
而
BCG
的7
面积恰好是梯形
ABCD
面积的
，则梯形
ABCD
的 面积是
cm
2
．
20
A
D
F
A
D
F
E
G
E
G
C
B
【解析】
如
果可以求出
ABG
与
CDG
的面积之和与梯形
ABCD
面积的比，那么就可以知道
ADG
的面积占
B< br>梯形
ABCD
面积的多少，从而可以求出梯形
ABCD
的面积．
如图，连接
CE
、
DE
．则
S
AE G
S
DEG
，
S
BEG
S
CEG
，于是
S
ABG
S
CDG
S
CDE
．
要 求
CDE
与梯形
ABCD
的面积之比，
可以把梯形
ABCD
绕
F
点旋转
180
，
变成一个平行四 边形．
如
下图所示：
C
1
从
中
容
易
看
出
CDE
的
面
积
为
梯< br>形
ABCD
的
面
积
的
一
半
．
(
也
可
以
根
据
S
BEC
< br>S
ABC
，
2
1
1
1
1
S
AED
S
AFD
S
ADC
，
S
BEC
S
AE D
S
ABC
S
ADC
S
ABCD
得来
)
2
2
2
2< br>1
7
3
那么，根据题意可知
ADG
的面积占梯形< br>ABCD
面积的
1
，所以梯形
ABCD
的面积是
2
20
20
3
15
100cm
2
．
20
小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的 中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，
这是一个很有用的结论．
本题中，
如果知道这一结论，
直接采用特殊点法，
假设
G
与
E
重合 ，
则
CDE
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的面积占梯形面积的一半，那么
ADG
与
BCG
合起来占一半．
【例
24
】
如图所示，四边形
ABCD
与AEGF
都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
F
A
B
G
D
E
C
F
A
B
G
D
E
C
【解析】
本
题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相 等和三角形面积等于与它等底等
高的平行四边形面积的一半．
证明：连接
B E
．
(
我们通过
△
ABE
把这两个看似无关的平行四边形联 系在一起．
)
1
∵在平行四边形
ABCD
中，
S
△
ABE
AB
AB
边上的高，
2
1
∴
S
△
ABE
S
W
ABCD
．
2
1
同理，
S
△
A BE
S
Y
AEGF
，∴平行四边形
ABCD
与< br>AEGF
面积相等．
2
【巩固】
如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，
长方形
EBGF的长
BG
为
10
厘米，
那么长方形的宽为几厘米？
< br>E
A
F
D
G
C
B
F
D
G< br>C
A
E
B
【解析】
本
题主要是让学生会运用等底等 高的两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形
)
．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接
AG
．
(
我们通过
△
ABG
把这两个长方形和正方形联系在一起
)
．
1
∵在正方形
ABCD
中，
S△
AB
G
AB
AB
边上的高，
2
1
∴
S
△
ABG
S
W
ABCD
(
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
)
2
1
同理，
S
△
ABG
S
EFGB
．
2
∴正方形
ABCD
与长方形
EFGB
面积相等．
长方形的宽
8
8
10
6 .4
(
厘米
)
．
【例
25
】
如图，正方形
ABCD
的边长为
6
，AE
1
.
5
，
CF
2
． 长方形
EFGH
的面积为
．
H
H
A
E
D
A
E
G
D
G
B
F
C
B
F
C
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【解析】
连
接
DE
，
DF
，
则 长方形
EFGH
的面积是三角形
DEF
面积的二倍．
三角形
DEF
的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△
DEF
6
6
1.5
< br>6
2
2
6
2
< br>4.5
4
2
16.5
,
所以 长方形
EFGH
面积为
33
．
【例
26
】
如图，
ABCD
为平行四边形，
EF
平行
AC
，如果
V
ADE
的面积为
4
平方厘米．求三角 形
CDF
的
面积．
D
C
D
C
F
A
E
B
F
A
E
B
【解析】
连
结
AF
、
CE
．
∴
S
V
ADE
S
V
ACE
；
S
V
CDF
S
V
ACF
；
又∵
AC
与
EF
平行，∴
S
V
ACE
S
VACF
．
∴
S
V
ADE
S
V
CDF
4
(
平方厘米
)
．
【巩固】如右图，在平行四边形
ABCD
中，直线
CF
交
AB
于
E
，交
DA
延长线于
F
，若< br>S
△
ADE
1
，求
△
BEF
的面积．
C
E
D
A
B
C
EF
B
A
D
F
【解析】
本
题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等
(
或夹在一组平行线之间的三角形面积
相等
)
和等量代换的思想．连接AC
．
∵
AB
∥
CD
，∴
S
△
ADE
S
△
ACE
同理
AD∥
BC
，∴
S
△
ACF
S
△
ABF
又
S
△
ACF
S
△
ACE
S
△
AEF
，
S
△
ABF
S
△
BEF
S
△
AEF
，∴
S
△
ACE
S
△
BEF
，即
S
△
BEF
S
△
ADE
1
．
【例
27
】
图中两个正方形的边长分别 是
6
厘米和
4
厘米，
则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
【解析】
4
4
2
8
．
【例
28
】
如图，有三个正方形的顶点
D
、< br>G
、
K
恰好在同一条直线上，其中正方形
GFEB
的边长为< br>10
厘米，求阴影部分的面积．
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D
C
G
QF
O
H
E
K
A
Q
P
D
CG
F
O
H
E
K
P
A
【解析】
对
于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同 方向的对角线，连得的这些对角
线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．
如右图所示，连接
FK
、
GE
、
BD
，则BD
/
/
GE
/
/
FK
，根据几何五大模型中 的面积比例模型，可
得
S
DGE
S
BGE
，
S
KGE
S
FGE
，所以阴影部分的面积就等于正方形
GFEB
的面积，即为
10
2
100
平
方厘米．
【巩固】右图是由大、小两个正方 形组成的，小正方形的边长是
4
厘米，求三角形
ABC
的面积．
< br>B
B
A
B
G
E
D
F
4
C< br>A
B
G
F
4
E
D
C
【解析】
这
道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大 正方形的边长没关系．连接
AD
(
见右上图
)
，
可以看出，
三角形
ABD
与三角形
ACD
的底都等于小正方形的边长，
高都等于大正
方形的边长，所以面积相等．因为三角形
AGD
是三角形
ABD
与三角形
ACD
的公共部分，所以去掉
这个公共部分，
根据差不变性 质，
剩下的两个部分，
即三角形
ABG
与三角形
GCD
面积 仍然相等．
根
据等量代换，求三角形
ABC
的面积等于求三角形
BC D
的面积，等于
4
4
2
8
．
【巩固】
(
2008
年西城实验考题
)如图，
ABCD
与
AEFG
均为正方形，三角形
ABH
的面积为
6
平方厘米，图
中阴影部分的面积为
．
D
C
D
C
F
H
G
E
F
H
E
【解析】
如
图，连接
AF
，比较
AB F
与
ADF
，由于
AB
AD
，
FG
FE
，即
ABF
与
ADF< br>的底与高分
别相等，所以
ABF
与
ADF
的面积相等，那么阴影部分面积与
ABH
的面积相等，为
6
平方 厘米．
【巩固】
正方形
ABCD
和正方形
CE FG
，
且正方形
ABCD
边长为
10
厘米，
则图中 阴影面积为多少平方厘米？
D
D
A
A
G
H
E
B
C
【解析】
方
法一：三角形
BEF
的 面积
BE
EF
2
，
B< br>F
A
B
G
A
B
G
H
C
F< br>E
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梯形
EFDC
的面积< br>
（
EF
CD
）
CE
2
BE
EF
2
三角形
BEF
的面积，
而四边形
CEFH
是它们的公共部分，所以，三角 形
DHF
的面积
三角形
BCH
的面积，
进而可得，阴影面积
三角形
BDF
的面积
三角形BCD
的面积
10
10
2
< br>50
(
平方厘
米
)
．
方法二：连接
CF
，那么
CF
平行
BD
，
所以，阴影面积
三角形
BDF
的面积
三角形
BCD
的面积
50
(
平方厘米
)
．
【巩固】
(
人大附中考题
)
已 知正方形
ABCD
边长为
10
，正方形
BEFG
边长为6
，求阴影部分的面积．
A
F
G
J
D
A
F
G
I
J
D
I
E
C
H
【解析】
如
果注意到
DF
为一 个正方形的对角线
(
或者说一个等腰直角三角形的斜边
)
，那么容易想到DF
与
C
H
CI
是平行的．所以可以连接
CI
、
CF
，如上图．
由于
DF
与
CI
平行 ，所以
DFI
的面积与
DFC
的面积相等．而
DFC
的面积为
10
4
以
DFI
的面积也为
20
．
【例
29
】
(
2008
年”
华杯赛”
决赛
)
右图中，
ABCD
和
CGEF
是两个正方形，
AG
和
CF
相交于
H
，
已知
CH
等于
CF的三分之一，三角形
CHG
的面积等于
6
平方厘米，求五边形
A BGEF
的面积．
B
E
B
1
20，所
2
F
E
F
E
A
D
H
A< br>D
H
G
B
G
B
C
C
【解析】
连
接AC
、
GF
，由于
AC
与
GF
平行，可知四边 形
ACGF
构成一个梯形．
由于
HCG
面积为
6
平方厘米，
且
CH
等于
CF
的三分之一，
所以
CH
等于
FH
的
1
，
根据梯形蝴蝶
2
定理或相似三角形性质，
可知
FHG
的面积为
12平方厘米，
AHF
的面积为
6
平方厘米，
AHC
的
面积为
3
平方厘米．
那么正方形
CGE F
的面积为
6
12
2
36
平方厘米，所以其边长为
6
厘米．
又
AFC
的面积为
6
3
9
平方厘米，所以< br>AD
9
2
6
3
(
厘米
)
，即正方形
ABCD
的边长为
3
厘
1
米．那么，五边形
ABGEF
的面积为：
36
9
3
2
49.5
(
平方厘米
)．
2
【例
30
】
(
第八届小数报数学竞赛决赛试题
)
如下图，
E
、
F
分别是梯 形
ABCD
的下底
BC
和腰
CD
上的
点，
DF
FC
，并且甲、乙、丙
3
个三角形面积相等．已知梯形
ABCD
的面积是
32
平方厘米．求图
中阴影部分的面积．
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