小升初数学几何五大几何模型
余年寄山水
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2021年02月01日 20:12
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素描入门-哥特式风格
五大几何模型
知识框架
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③夹在一组平行线之间的等积变形， 如右图
S
△
ACD
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两 个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形 高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
它们的高之比．
二、共角定理（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系
(“
蝴蝶定理
”)
：
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S
2
:
S
4
S
3
蝴蝶定理为我们提供了解决不 规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可
以使不规则四边形的面积关系与四边形内的 三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对
应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系
(“
梯形蝴蝶定理
”)
：
①S
1
:
S
3
a
2
:
b2
2
2
②
S
1
:
S3
:
S
2
:
S
4
a
:b
:
ab
:
ab
；
2
③
S
的对应份数为
a
b
．
A
S
2
a
S
1
O
S
3
S
4
D
④
B
b
C
四、相似模型
(
一
)
金字塔模型
(
二
)
沙漏模型
①
AD
AE
DE
AF
；
< br>
AB
AC
BC
AG
②
S
△
ADE
：
S
△
ABC
AF
2
:
AG< br>2
．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
(
只要其形状不改变，不论大小怎样改
变它们都相似
)
，与相似三角形相关的常用的性 质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾定理）
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
PM
共边定理：设直线
AB
与
PQ
交于点
M
，则
PAB
S
QAB
S
QM
特殊情况：当
PQ
∥
AB
时，易知△
PA B
与△
QAB
的高相等，从而
S
△
PAB=S
△< br>QAB
例题精讲
一、三角形相似模型
【例
1
】
图
30-10
是一个正方形，其中所 标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少
平方厘米
?
【
巩
固
】
如
图，
四边形
ABC D
和
EFGH
都是平行四边形，
四边形
ABCD
的面积是< br>16
，
BG
:
GC
3:1
，
则四 边形
EFGH
的面积
________
．
【例
2
】
已知三角形
ABC
的面积为
a
，
AF
:
FC
2:1
，
E
是
BD
的中点，
且
EF
∥
BC
，
交
CD
于
G
，
求阴影部分的面积．