小学奥数之几何五大模型
玛丽莲梦兔
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2021年02月01日 20:13
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惨不忍睹-雪中送炭的反义词
五大模型
]
一、等积变换模型
⑴
等底等高的两个三角形面积相等；
其它常见的面积相等的情况
⑵
两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
S
1
S
2
、
如上图
S
1
:
S
2
a
:
b
⑶
夹在一组平行线之间的等积变形，如下图
S
△
ACD
=
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则 可知直线
AB
平行于
CD
。
⑷
正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑸
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
@
二、鸟头定理（共角定理）模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比。
如图，
在
△
ABC
中，
D
,< br>E
分别是
AB
,
AC
上的点
(
如图
1)
或
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC< br>上
(
如图
2)
，则
S
△
ABC
:< br>S
△
ADE
(
AB
AC
):
(
AD
AE
)
图
1
图
2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系
(“
蝴蝶定理
”)
：
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S
2
:
S
4
S
3
…
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不
规 则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例
关系 。
梯形中比例关系
(“
梯形蝴蝶定理
”)
①
S
1
:
S
3
a
2
:
b
2
~
②
S
1
:
S
3
:
S
2
:
S
4
a
2
:
b
2
:
ab
:
ab
；
③梯形
S
的对应份数为
a
b< br>
。
2
四、相似模型
相似三角形性质：
金字塔模型
沙漏模型
`
AD
AE
DE
AF
；
< br>AB
AC
BC
AG
②
S
△
ADE
:
S
△
ABC
AF
2
:
AG
2< br>。
所谓的相似三角形，
就是形状相同，
大小不同的三角形
(
只要其形状不改变，
不论大小怎样改变它
们都相似
)
，与相似三角形 相关的常用的性质及定理如下：
⑴
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
①
五、燕尾定理模型
|
S
△
ABG< br>:
S
△
AGC
S
△
BGE
:S
△
EGC
BE
:
EC
S
△
BGA
:
S
△
BGC
S
△
AGF
:
S
△
FGC
AF
:
FC
S
△
AGC
:
S
△
BCG
S
△
ADG
:
S
△
DGB
AD
:
DB
典型例题精讲
例
1
一个长方形分成
4
个不同的三角形，绿色 三角形面积是长方形面积的倍，黄色三角形的面积是
21
平方厘米。问：长方形的面积是
__________
平方厘米。
(
例
1
图
例
2
如图，三角形田地中有两条小路
AE
和< br>CF
，交叉处为
D
，张大伯常走这两条小路，他知道
DF
＝< br>DC
，
且
AD
＝
2
DE
。则两块 地
ACF
和
CFB
的面积比是
__________
。
例
2
图
}
【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，
三个三角形的面积分别是
3
，
7
，
7
，则阴影四边形的面 积是多少
举一反三图
；
【拓展】如图，已知长方形
ADEF
的面积
16
，三角形
ADB
的面积是
3
，三角形
ACF
的面积是4
，那么三角
形
ABC
的面积是多少
拓展图