五年级奥数.几何.五大模型(B级).学生版
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2021年02月01日 20:15
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九一八事件-怎的拼音
五大模型
(
一
)
知识框架
一、等积模型
A
B
C
D
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
S
③夹在一组平行线之间的 等积变形，如右图
△
ACD
反之，如果
S
△
BC D
；
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两 个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形 高相等，
面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，
面积比等于它们的高之比 ．
二、共角定理（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．
S
△
ABC
:
S
△
ADE
(
A B
AC
)
:
(
AD
AE
)< br>
MSDC
模块化分级讲义体系
五年级奥数
.
几何
.
五大模型（
B
级）
.
学生版
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(1)
(2)
(3)
(4)
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系
(“
蝴蝶定理
”)
：
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S
2
:
S
4
S
3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题 的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四
边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方 面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
D
A
S
2
B
S
1
O
S
3
C
S
4
梯形中比例关系
(“
梯形蝴蝶定理
”)
：
2
2
S
:
S
a
:
b
1
3
①
2
2
S
:
S
:
S
:
S
a
:
b
:
ab
:
ab
；
1
3
2
4
②
a
b
．
③
S
的对应份数为
A
S
2
a
S
1
O
S
3
B
b
C
2
D
S
4
四、相似模型
(
一
)
金字塔模型
(
二
)
沙漏模型
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模块化分级讲义体系
五年级奥数
.
几何
.
五大模型（
B
级）
.
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A
E
A
F
D
D
B
F
G
E
C
B
G
C
AD
AE
DE
AF
< br>
AB
AC
BC
AG
；
①2
2
S
：
S
AF
:
AG
△
ADE
△
ABC
②
．
所谓的相似三角形，
就是形状相同，
大小不同的三角形
(
只要其形状不改变，
不论大小怎样改变 它们都相似
)
，
与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾定理）
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
PAB
PM
S
QM
QA B
共边定理：设直线
AB
与
PQ
交于点
M
，则
S
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几何
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五大模型（
B
级）
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特殊情况：当
PQ
∥
AB
时，易知
△
PAB
与
△
QAB
的高相等，从而
S
△
PAB=S
△
QAB
例题精讲
一、鸟头定理
【例
1
】
如图
16-4
，已知．
AE =
三角形
DEF
的面积
1
1
1
AC
，CD=
BC
，
BF=
AB
，那么
三角形
ABC
的面积
等于多少
?
5
6
4
【
巩
固
】
如
图 ，在
△
ABC
中，延长
AB
至
D
，使
BD
AB
，延长
BC
至
E
，使
CE
点，若
△
ABC
的面积是
2
，则
△
DE F
的面积是多少？
A
F
B
D
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1
BC
，
F
是
AC
的中
2
C
E< br>
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几何
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五大模型（
B
级）
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二、三角形相似模型
【例
2
】
如图，
三角形
PDM
的面积是
8
平 方厘米，
长方形
ABCD
的长是
6
厘米，
宽是
4< br>厘米，
M
是
BC
的中点，则三角形
APD
的面积是< br>
平方厘米．
A
D
P
B
【
巩
固
】
如
图，三角形
AB C
的面积为
60
平方厘米，
D
、
E
、
F< br>分别为各边的中点，那么阴影部分的面积
是
平方厘米．
A
M
C
D
E
B
F
C
【例
3
】
如图，已知
S
△
ABC
14
,
点
D
,
E
,
F< br>分别在
AB
,
BC
,
CA
上，且
AD
2,
BD
5,
AF
FC
，
S
四边形
DBEF
S
△
ABE
则
S< br>△
ABE
是多少？
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级）
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C
E
F
A
D
B
【
巩
固
】
如
图，
ABCD
为正 方形，
AM
NB
DE
FC
1cm
且
MN
2
cm
，请问四边形
PQRS< br>的面积为
多少？
D
E
R
S
P
A< br>M
N
B
Q
F
C
三、蝴蝶模型
【例
4
】
梯形的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OBC
的面积是
9
cm
2
，问三角形
AOD
的面积是多少？
A
D
O
B
C
【
巩
固
】
如图，梯形
ABCD
中，
AOB
、
COD
的面积分别为
1.2
和< br>2.7
，求梯形
ABCD
的面积．
A
B
O
D
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