再别康桥赏析-秋水仙素

2021年2月1日发(作者：蚂蚁守城)
第一部分



代数

一、整数的分类和整除的有关概念、结论。

1
．整数分为正整数、
0
和负整数。

2
．用来表 示物体个数的
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
……都是自然数，一个物体也没有，就用
0
表示，
0
是最小的
自然数；自然数包括正整数和
0
。

3
． 如果整数
a
除以整数
b
（
b
≠
0
）
,
商是整数而没有余数，我们就说
a
能被
b
整除，也可以说
b
能整除
a
。
如果
a
能被
b
整除，那么
a
叫做
b
的倍数，
b
叫做
a
的因数。
4
．一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数是
1
，最大的因数是 它本身。

5
．一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

6
．一个数最大的因数和最小的倍数相等，都是它本身。

7
．最小的自然数是
0
，没有最大的自然数。

8
．自然数按能不能被
2
整除分为偶数和奇数两类。能被
2
整除的数是偶数,
最小的偶数是
0;
不能被
2
整
除的数是奇数
,
最小的奇数是
1
。

9
．按因数的个数可以把自然数分 为质数、合数和
1
三类。只有因数
1
和它本身两个因数的数叫做素数或
质数。除了
1
和它本身之外还有别的因数的数叫合数。

10
．质 数只有两个因数，合数至少有三个因数；
1
既不是质数，也不是合数。

11
．最小的质数是
2
，最小的合数是
4
，既是偶数又是质数的数只有< br>2
。

12
．能被
2
整除的数的特征是：个位上是< br>2
、
4
、
6
、
8
、
0
的数 ，都能被
2
整除。

13
．能被
5
整除的数的特征 是：个位上是
0
或
5
的数，都能被
5
整除。
14
．能被
3
整除的特征是：一个数，如果每一位上的数字相加的和能被
3
整除，这个数就能被
3
整除。

15
．能同时被
2
和
3
整除的数，一定是
6
的倍数；

能同时被< br>2
和
5
整除的数，个位一定是
0
（也就是
10
的倍数）
；

能同时被
3
和
5
整除的数，一定是
15
的倍数；

能同时被
2
、
3
、
5
整除的数，一定是
30
的倍数；

能同时被
2
、
3
、
5
整除的最小三位数是
120
，最大三位数是
990
。

16
．
20
以内既是奇数又是合数的数只有< br>9
和
15
。

17
．
50
以内的质 数有：
2
、
3
、
5
、
7
；
11< br>、
13
、
17
、
19
；
23
、29
；
31
、
37
；
41
、
43、
47
，共
15
个。

18
．把一个合数写 成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数；这几个质数叫做这个合数的质因数。
（只有
合数才能 分解质因数）
。

19
．分解质因数的方法：先用质数依次去除，除到商是质 数为止，再把所有的除数和最后的商连乘起来。

20
．公因数只有
1
的两个数叫做互质数。互质的两个数不一定是质数。

21
．互质数的
6
种特例：




（
1
）相邻两个自然数一定是互质数；






例如：
15
和
16


58
和
59

……


（
2
）相邻两个奇数一定是互质数；

例如：
15
和
17 61
和
63
……


（
3
）
1
和任意一个自然数一定是互质数；

例如：
1
和
26 1
和
100
……


（
4
）
2
和任意一个奇数一定是互质数；

例如：
2
和
25 2
和
39
……


（
5
）两个不同的质数一定是互质数；

例如：
7
和
13 23
和
31
……


（
6
）一质一合，不成倍数就一定是互质数。 例如：
5
和
33 11
和
28
……

22
．最大公因数和最小公倍数的两种特例：



（
1
）两个数是互质关系时，它们的最大公因数是
1
，最小公倍数是它们 的乘积；




（
2
）两个数是倍数关系时，它 们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。

二、多位数。
（在遇到多位数时，应先分级再做题）

1
．多位数的读数法则：




（
1
）从高位到低位，一级一级地往下读；



（
2
）每级末尾不管有几个
0
，都不读；



（
3
）其它数位有一个
0
或连续的几个
0
，都只读一个零。

2
．多位数的写数法则：



（
1
）从高位到低位，一级一级地往下写；



（
2
）哪一位上一个单位都没有，就在那一位上写
0
。
< br>3
．把一个多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法是：在“万”位或“亿”位的右下角 打上小
数点，同时在后面加上一个“万”字或“亿”字，用等号连接，
。

4
．把一个多位数省略“万”或“亿”位后面的尾数，求近似数的方法是：找到“万”位或“亿”位，看< br>“千位”或“千万位”上的数是否满
5
，满了
5
就向前一位进一，没满
5
就舍去，同时在后面加上一个
“万”字或“亿”字，用约等号连接。




三、简便计算的依据

1
．加数或减数接 近整数（或整十、整百、整千数……）的简便计算：
（
1
）多加就减；
（2
）多减就加；
（
4
）
少减就再减。

2
．去括号（或添号）法则。
（用于同级运算中）

（
1
）在加、减法中：括号前面是加号，去掉括号不变号。






括号前面是减号，去掉括号要变号，是加变成减，是减变成加。

（
2
）在乘、除法中：括号前面是乘号，去掉括号不变号；

括号前面是除号，去掉括号要变号，是乘变成除，是除变成乘。

3
．五大运算律。



（
1
）加法交换 律：
a
＋
b
＝
b
＋
a

（< br>2
）加法结合律：
（
a
＋
b
）＋
c
＝
a
＋
(b
＋
c)

（
3
）乘法交换律：
a
b
＝
ba
< br>（
4
）乘法结合律：
（
ab
）×
c
＝
a
×
(bc)



（
5
）乘法分配 律：
（
a
＋
b
）×
c
＝
ac
＋< br>bc
或
(a
－
b)
×
c
＝
ac
－
bc

乘法分配律的逆运用：
a
c
＋
bc
＝
(a
＋
b)
×
c
或
a c
－
bc
＝
(a
－
b)
×
c





四、方程

1
．含有未知数的等 式叫做方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫
做解方程。

2
．解方程的依据：




（
1
）四则运算的基本关系式：







一个加数＝和－另一个加数



被减数＝减数＋差



减数＝被减数－差







一个因数＝积÷另一个因数



被除数＝商×除数



除数＝被除数÷商

（
2
）等式的性质：

等式的两边同时加上或减去、
同时乘 或除以一个相同的数
（
0
不作除数）
所得的结果仍然是等式。

（
3
）移项。
（从等号的左边移到右边或右边移到左边）






移加作减，移减作加，移乘作除，移除作乘。

（
4
）比例的基本性质。
（解比例的依据）






在比例中，两内项的积等于两外项的积。

五、一般应用题常用数量关系

1
．单价×数量＝总价





总价÷数量＝单价





总价÷单价＝数量

2
．速度×时间＝路程





路程÷时间＝速度





路程÷速度＝时间




在相遇问题中：速度和×共行时间＝共行路程




共行路程÷共行时间＝速度和






共行路程÷速度和＝共行时间

3
．工效×工作时间＝工作总量








工作总量÷工作时间＝工效




工作总量÷工效＝工作时间








4
．单产量×数量＝总产量












总产量÷数量＝单产量




总产量÷单产量＝数量

5
．一倍数×倍数＝几倍数












几倍数÷倍数＝一倍数




几倍数÷一倍数＝倍数

6
．较小数＋相差数＝较大数










较大数－相差数＝较小数




较大数－较小数＝相差数

7
．在和差问题中：较大数＝（和＋差）÷
2



较小数＝
(
和－差
)
÷
2

8
．每份数×份数＝总数量













总数量÷份数＝每份数




总数量÷每份数＝份数

9
．图上距离÷实际距离＝比例尺






图上距离＝实际距离×比例尺




实际距离＝图上距离÷比例尺

★注意：在计算时，通常把比例尺写成分数形式。

10
．利息＝本金×利率×时间









本金＝利息÷时间÷利率

11
．应纳税额＝营业额×税率









营业额＝应纳税额÷税率

税

率＝应纳税额÷营业额





六、分数应用题常用的数量关系

1
．求比较量：













单位“
1
”的量×比较量对应的分率＝比较量


单位“
1
”的量×多的分率＝多的数量





单位“
1
”的量×少的分率＝少的数量

……

总之，单位“
1
”的量乘什么量对应的分率就等于什么量。

2
．求单位“
1
”的量：

比较量÷比较量对应的分率＝单位“
1
”的量





多的数量÷多的分率＝单位“
1
”的量








少的数量÷少的分率＝单位“
1
”的量

……

3
．求分率：

比较量÷单位“
1
”的量＝比较量以应的分率


少的数量÷单位“
1
”的量＝少的分率








多的数量÷单位“
1
”的量＝多的分率

……

注 意：甲数比乙数多的分率≠乙数比甲数少的分率。
（因为单位“
1
”不同。
）

4
．工程问题：

工作总量＝工作效率×工作时间





工作效率＝工作总量÷工作时间













工作时间＝工作总量÷工作效率


合作总量＝合作工效×合作时间


合作时间＝合作总量÷合作工效













合作工效＝合作总量÷合作时间





七、规律和性质（
0
除外）

1
．乘法中的一些规律：

（
1
）一个因数不变，另一个因 数扩大或缩小若干倍，积也随着扩大或缩小相同的倍数。

（
2
）一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。

（一扩一缩，倍数相同，积不变。
）

（
3
）一个非零的数 乘小于
1
的数，积就小于这个数；乘大于
1
的数，积就大于这个数。

2
．除法中的一些规律：



（
1
）除 数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商也随着扩大或缩小相同的倍数。



（
2
）被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。



（
3
）被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，这叫 做商不变规律。



（
4
）当被除数不为零时，除数大于
1
，商反而小于被除数；除数小于
1
，商反而大于被除数。

3
．小数的性质：




小数的末尾添上
0
或者去掉
0
，小数的大小不变，这叫做小数的性质。




★近似数末尾的
0
不能去掉。

4
．分数的基本性质：




分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数值不变，这叫做分数的基本性质。

5
．比的基本性质：




比的前项和后项同时 乘或除以相同的数（
0
除外）
，比值不变。这叫做比的基本性质。

6
．比例的基本性质：




在比例中，两内项的积等于两外项的积，这叫做比例的基本性质。





八、分数、小数、百分数之间的互化

1
．分数化小数的方法是：分子除以分母。

2
．小数化分数的方法 是：先把小数改写成分母是
10
、
100
、
1000
、…… 的分数，再约分成最简分数。

3
．小数化百分数的方法是：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

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