海参的做法-带牛的成语

2021年2月2日发(作者：秦爱纷奢)

八年级数学下册期末复习

第十六章

二次根式

1.
二次根式：式子
a
（
a
≥
0
）叫做二次根式。定义包含三个内容
:
Ⅰ必需含有二次根号

“
”；Ⅱ被开方数
a
≥
0
；Ⅲ
a
可以是数，也可以是含有字母的式
子。

例
1.
下列式子中
,
是二次根式的有
_______(
填序号
)
（
1
）
32

（
2
）
6
（
3
）

12

（
4
）

m
（
m
＞
0
）（
5
）
xy< br>
（
6
）
a
2

1

（
7
）

3
5

2.
二次根式有意义的条件：

大于或等于
0
。

例
2.
当
x
是 怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？


8
x

1
(
1
)
2

x
(
2
)
(
3
)

3

2
x
x

3

x

1

(
4
)
(
5
)
x
2

1
3

x

※二次根式中字母的取值范围的基本依据：

（
1
）开方数不小于零 ；（
2
）分母中有字母时，要保证分母不为零。

3.
二次根式的双 重非负性：
a
：

a

0
，

a

0

附：具有非负性的式子：

a

0
；

a

0
；

a
2

0


x

例
4.
若
x
,
y
为实数，且
x

2

y

2

0
，则



y

2009< br>的值为（

）

A
．
1 B
．
-1 C
．
2 D
．
-2
< br>a
(
a

0
)
4.
二次根式的性质：（1
）
(
a
)
2

a
(
a
0
)

（
2
）
a
2

a





a
(
a

0
)
例
5 .
利用算术平方根的意义填空

1

(
4
)
2

(
0
.
01
)
2

()
2


3
例
6.
化简：
(


4
)
2
=
5.
二次根式 的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作
积（商）的被开方数并将 运算结果化为最简二次根式．

ab
=
a
·
b
（< br>a
≥
0
，
b
≥
0
）；

(

4
)
2

(

0
.
01
)
2

a
a
=
（
a
≥
0
，
b
>0
）

b
b
1
ab


（
4
）
5
例
7.
计算：（
1
）
9
×
27

（
2
）
2
5
×3
2

（
3
）
5
a
·
1 / 1

5
·
3
a
·
1
b

3


例
8.
计算：①
54


②
12
a
2
b
2

③
25

49


④
100

64

3
1
3
64< br>b
2
12

例
9.
计算：（
1
）< br>
（
2
）
（
3
）

（
4
）

2
2
8

64
9
a
3


6.
最简二次根式：必须同时满足下列条件（三个不含有）：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

例
10.
下列各式中，是最简二次根式的是（

）

2
A
．
18
B
．
a
2
b
C
．
a
2

b
2
D
．

3


7.
同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若

相同，则这几个二次根式就是同类二次根
式。

例
11.
下列根式中，与
3
是同类二次根式的是（

）

A.
24
B.
12
C.
3
D.
18

2
8.
二次根式的加减法：先把 二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

例
12.
计算：

（
1
）
7
2
3
8
5
50

（
2
）
2
x
1
1
1
9
x

6

2
x

（
3
）
2
3

8

12

50

3
4
x
2
5


9.
有理数的加 法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的
乘法公式，都适用于二次根 式的运算．

例
14.
计算：

（
1
）（
8

3
）×
6
< br>（
2
）
(
4
2

3
6
)< br>
2
2

（
3
）
(
2
3
)(
2

5
)



（
4
）
(
2
3

2
)
2

（
5
）（
10
-
7
）（< br>-
10
-
7
）

（
6
）
(


1 / 1
1
2
27

24

3
)

12

3
3

第十七章

勾股定理

1.< br>勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为c
，那么
a
2

b
2

c
2
。

应用：在

ABC
中，

C

90

，

则
c

a
2

b
2
，

b

c
2

a
2
，
a

c
2

b
2
）

例
1.
在
Rt
△
ABC
中，∠C=90°

①若
a
=5
，
b
=12
，则
c
= ___________
；②若
a
=15
，
c
=25
，则
b
=___________
；

③若
c
= 61
，
b
=60
，则
a
=__________
； ④若
a
∶
b
=3
∶
4
，
c
=10
则
S
Rt
△
ABC

=________
。

⑤已知直角三角形的两边长分别为
3cm< br>和
5cm
，，则第三边长为

。

（
2
）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。
< br>例
2.
在长方形
ABCD
中，
AB=3cm
，
AD=9cm
，将此长方形折叠，使点
B
与点
D
重合，折痕为EF
，则△
ABE
的面积为（


）

2
2
2
2
A
、
6cm
B
、
8cm
C
、
10cm
D
、
12cm






2 .
勾股定理逆定理：如果三角形三边长
a
,b,c
满足
a
2

b
2

c
2
，那么这个三角形是直角三角
形。

应用：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（定理中< br>a
，
b
，
c
及
a
2

b< br>2

c
2
只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长< br>a
，
b
，
c
满足
a
2

c
2

b
2
，那么以
a
，
b
，c
为三边的三角形是直角三角形，但是
b
为斜边）

例
3.
下列四组线段不能组成直角三角形的是（

）

A
．
a
=8
，
b
=15
，
c=17 B
．
a
=9
，
b
=12
，
c
=15 C
．
a
=
5
，
b
=3
，
c
=
2
D
．
a
：
b
：
c
=2
：
3
：
4
例
4.< br>若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，满 足（
a
－
b
）（
a
2
＋
b
2－
c
2
）
=0
，则△
ABC
是（

）

A
．等腰三角形
B
．直角三角形
C
．等腰三角形或直角三角形
D
．等腰直角三角形

3.
勾股数


①能够构成直角三角形的三边长的三个

称为勾股数，即
a
2

b
2

c
2
中，
a
，
b
，
c
为正整数时，称
a，
b
，
c
为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高 解题速度，如
3,4,5
；
6,8,10
；
5,12,13
；
7,24,25
等

例
5.
长度分别为
3
，
4
，
5
，
12
，
13
的 五根木棒能搭成
(
首尾连接
)
直角三角形的个数为
( )
A 1
个
B 2
个
C 3
个
D 4
个

例
6.
在三角形
ABC
中，
AB=12
，
AC=5
，
BC=13
，则
BC
边上的高为
AD= .


例
7.
如图，有一块地，已知，
AD=4m
，
CD=3m
，∠
ADC=90
°，
AB=13m
，
BC=12m
．求这块地的面积．






4.
直角三角形的性质

（
2
）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：
1 / 1

∠C=90°

∠
A+
∠B=90°

（
2
）在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。∠
C=90< br>°，
∠A=30°

BC=
1
2
AB
（< br>3
）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。∠
ACB=90
，
D< br>为
AB
的中点

CD=
1
2
AB=BD=A D
5.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反 的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另
一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

例
8.
下列命题的逆命题正确的是（



）．

A
．全等三角形的面积相等




B
．全等三角形的对应角相等

C
．如果
a
=b
，那么
a
2
=
b
2


D
．等边三角形的三个角都等于
60
0

6.
证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

7.
证明的一般步骤

（
1
）根据题意，画出图形。

（
2
）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（
3
）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

第十八章

平行四边形

一．平行四边形


1
、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．


2
．平行四边形的性质


角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

边：平行四边形两组对边分别平行且相等；

对角线：平行四边形的对角线互相平分；


例
3
图

面积：①
S=
底

高
=
ah
；

例
1
．在
□
ABCD
中，若∠
A
－∠B
＝
40
°，则∠
A
＝
______
，∠B
＝
______
．

例
2
．若平行四边形周 长为
54cm
，两邻边之差为
5cm
，则这两边的长度分别为
___ ___
．

例
3
．如图，
□
ABCD
中，
CE
⊥
AB
，垂足为
E
，如 果∠
A
＝
115
°，则∠
BCE
＝
______< br>．

例
4
．若在
□
ABCD
中，∠
A
＝
30
°，
AB
＝
7cm
，
AD
＝
6cm
，则
S
□
ABCD
＝
______．

例
5
．如图，在
□
ABCD
中，
M
、
N
是对角线
BD
上的两点，
BN=DM
，请判 断
AM
与
CN
有怎样的
数量关系，并说明理由
.
它 们的位置关系如何呢？


A
N
D


M
B
C

例
6
．
□
ABCD的周长为
60
cm
，对角线交于点
O
，△
BOC
的周长比△
AOB
的周长小
8
cm
，则
AB
=_ _____
cm
，
BC
=_______
cm
.
例
7.
□
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于点
O
，若
AC
=8
，
AB
=6
，BD
=
m
，那么
m
的取值范围是
_______.
3
．平行四边形的判定方法：


①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；





②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；


一组平行且相等的四边形是平行四边形；

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；


1 / 1
A

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；

例
8．已知：如图，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，
M
、
N
分别是
OA
、OC
的
中点，

A
D
M
O
求证：BM
∥
DN
，且
BM=DN.

N
C

B

例
9
．如图，在
□< br>ABCD
中，
E
、
F
分别是边
AB
、
CD
上的点，已知
AE
＝
CF
，
M
、
N
是
DE
和
FB
的中点，求证：四边形
ENFM
是平 行四边形．



D
C
二、特殊的平行四边形

（一）矩形

O
1
、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

A
B
2
、矩形的性质


①边：对边平行且相等； ②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相
A
D
平分且相等；

O
例
10
．已知：如图，矩形
ABCD
的两条对角线相交于点
O
，且
AC
=2
AB
。

C
B
（
1
）求证：△
AOB
是等边三角形。

（
2）本题若将“
AC
=2
AB
”改为“∠
BOC
=120
°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？





3
、矩形的判定：

（
1
）平行四边形

一个直角


（
2
）三个角都是直角


四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
）对角线相等的平行四边形


A
O
B
C
D
例
11
．已知：如图

，在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
CD
为中线，延长
CD
到点
E
，使得 DE
＝
CD
．连结
AE
，
BE
，则四边形< br>ACBE
为矩形．





（二）菱形

1
、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2
、菱形的性质：

①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；


③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；

例
12
．如图，菱形
ABCD
中，
E
，
F
分别是
CB< br>，
CD
上的点，且
BE=DF
．

（
1
）求证：
AE=AF
．

（
2
）若∠B=60°，点
E
，
F
分别为
BC
和
CD
的中点．求证：△
AEF
为等边三角形．

A


B
D

E
F
C
1 / 1


3
、菱形的判定方法：

（
1
）平行四边形
一组邻边等



四边形
ABCD
是菱形< br>.
（
2
）四个边都相等

（
3
）对角线互 相垂直的平
行四边形


例
13
．如图，在
□ABCD
中，
E
，
F
分别为边
AB
，
CD
的中点，连结
DE
，
BF
，
BD
．

(1)
求证：△
ADE
≌△
CBF
．

( 2)
若
AD
⊥
BD
，则四边形
BFDE
是什么特殊 四边形
?
请证明你的结论．



例
14
．如图，四边形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，
AC< br>平分∠
BAD
，
CE
∥
AD
交
AB
于
E
．

(1)
求证：四边形
AECD
是菱形；

(2)
若 点
E
是
AB
的中点，试判断△
ABC
的形状，并说明理由．






（三）正方形

1
、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形

2
、正方形的性质：

①边：四条边都相等；②角：四角都是直角；


③对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每组对角。

3
、正方形的判定方法：

（
1
）平行四边形
< br>一组邻边等

一个直角


（
2
）菱形
一个直角


四边形
ABCD
是正方形
.

（
3
）
矩形

一组邻边等

(
四）三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半
.
如图
:
∵
DE
是△
ABC
的中位线

1

∴
DE
∥
BC
，
DE=
BC
2

第十九章

一次函数

一
.
常量、变量：

在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做

；数值始终不变的量叫做

。

例
1
．长方形相邻两边长分别为
x
、
y
，面积为
30
，则用含
x
的式子表示
y
为
_______
_
，则这个问题中，
_________
常量；
________
是变 量．

例
2
．小军用
50
元钱去买单价是
8
元的笔记本，则他剩余的钱
Q
（元）与他买这种笔记本的
本数
x
之 间的关系是（

）

A
．
Q=8
x
B
．
Q=8
x
-50 C
．
Q=50-8
x
D
．
Q=8
x
+50
例
3
．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．

（< br>1
）用
20cm
的铁丝所围的长方形的长
x
（
cm< br>）与面积
S
（
cm
2
）的关系．

（
2
）直角三角形中一个锐角
α
与另一个锐角
β
之间的关系．

（
3
）一盛满
30
吨水的水箱，每小时流出
0.5吨水，试用流水时间
t
（
小时）表示水箱中的
1 / 1

海参的做法-带牛的成语

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