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2021年2月2日发(作者：陕西高考志愿填报系统)
八年级数学（下册）知识点总结

二次根式

【知识回顾】

1.
二次根式：
式子
a
（
a
≥
0
）叫做二次根式。

2.
最简二次根式：
必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式。

3.
同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.
二次根式的性质：

a
（
a
＞
0
）

2
2

（
1
）
（
a
）
=
a

（
a
≥
0
）
；

（
2
）
a

a


0
（
a
=0
）
；

5.
二次根式的运算：



a
（
a< br>＜
0
）
（
1
）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能 够开得尽方，那么，就可以用它的算术
根代替而移到根号外面；
如果被开方数是代数和的形式，
那么先解因式，
•
变形为积的形式，
再移
因式到根号外面，反之也可 以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（
2
）二次根式的加减法：先 把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（
3
）二次根式的乘除 法：二次根式相乘（除）
，将被开方数相乘（除）
，所得的积（商）仍作
积（商）的被 开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab
=
a
·
b< br>（
a≥0
，
b≥0
）
；


b
b
（
b≥0
，
a>0
）
．
< br>
a
a
（
4
）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结 合律，
•
乘法对加法的分配律以及多项
式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
勾股定理


1.
勾股定理：
如果直角三角形的两直 角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
＋
b
=c
。

2
2
2
2.
勾股 定理逆定理
：如果三角形三边长
a,b,c
满足
a
＋
b=c
。
，那么这个三角形是直角三
2
2
2
角形。


3.
直角三角形的性质


（
1
）
、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠
C=90
°
< br>∠
A+
∠
B=90
°


（
2
）
、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。


∠
A=30
°


可表示如下：


BC=

∠
C=90
°





1
AB
2
（
3
）
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半


∠
ACB=90
°


可表示如下：


CD=
D
为
AB
的中点

1
AB=BD=AD
2
4
、直角三角形的判定

1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c< br>有关系
a

b

c
，那么这个三角形
是直角 三角形。


2
2
2
5
、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（
1
）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（
2
）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

四边形


1
．四边形的内角和与外角和定理：

（
1
）四边形的内角和等于
360
°；

（
2
）四边形的外角和等于
360
°
.

A
D

B
C
2
．多边形的内角和与外角和定理：

（
1< br>）
n
边形的内角和等于
(n-2)180
°；

（
2
）任意多边形的外角和等于
360
°
.
3
．平行四边形的性质：

（
）两组对边分别平行；
1

（

2
）两组对边分别相等；

因为ABCD
是平行四边形

（


3
）两组对角 分别相等；

4
）对角线互相平分；
（


（
5
）邻角互补
.
A
4
D
3
2
C

1
B
D
O
C
A
B


4.
平行四边形的判定：

（
1
）两组对边分别 平行


（
2
）两组对边分别相等


（
3
）两组对角分别相等

ABCD
是平行四边形
.
（
4
）一组对边平行且相等



（
5
）对角线互相平分

D
O
C

A
B
5.
矩形的性质：

D
C

（
）具有平行四边形的所
有通性
;

1

因为ABCD
是矩形

（


2
）四个角都是直角
;

3
）对角线相等
.
（




O
A
D
B
C
A
B
6.
矩形的判定：


D
C
（
1
）平行四边形

一个直角


（
2
）三个角都是直角


四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
）对角线相等的平行四
边形





7
．菱形的性质：

因为
ABCD
是菱形

D
O
A
D
B
C
A
B

（
）具有平行四边形的所
有通性；

1


（


2
）四个边都相等；

3
）对角线垂直且平分对角
.
（

8
．菱形的判定：

A
O
C
B

（
1
）平行四边形

一组邻边等


（
2
）四个边都相等


四边形四边形
ABCD
是菱形
.
（
3
）对角线垂 直的平行四
边形


9
．正方形的性质：

因为
ABCD
是正方形

（
）具有平行四边形的所
有通性；

1


（


2
） 四个边都相等，四个
角都是直角；

3
）对角线相等垂直且平
分对角
.
（

D
C
D
C
O
A
B
（
1
）

A
B

（
2
）
（
3
）

10
．正方形的判定：

（
1
）平行四边形
一组邻边等

一个直角


（
2
）菱形

一个直角


四边形
ABCD
是正方形
.

（
3
）
矩形

一组邻边等

(3)
∵
ABCD
是矩形

D
C
又∵
AD=AB
∴四边形
ABCD
是正方形

A
B
11
．等腰梯形的性质：


1
（< br>）
两底平行，两腰相等；

因为
ABCD
是等腰梯形

（


2
）同一底上的底角相等
；

3
）对角线相等
.
（

A
O
B
C
D

12
．等腰梯形的判定：



（
2
）梯形

底角相等


四边形
ABCD
是 等腰梯形

（
3
）梯形

对角线相等


（
1
）梯形

两腰相等
D
A
(3)
∵
ABCD
是梯形且
AD
∥
BC

∵
AC=BD
O
∴
ABCD
四边形是等腰梯形

C
B


14
．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且
等于它的一半
.
15
．梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等
于两底和的一半
.


D
A
E
C



B
D
E
C
F
B
A
一次函数

一、正比例函数与一次函数的概念：

一般地，
形如
y=kx(k< br>为常数，
且
k
≠
0)
的函数叫做正比例函数
.
其中
k
叫做比例系数。

一般地，形如
y=kx+b (k,b
为常数，且
k
≠
0)
的函数叫做一次函数
.
当
b =0
时
,y=kx+b
即为
y=kx,
所以正比例函数，是一次函数的特例
.
二、正比例函数的图象与性质：

（
1)
图象
:
正比例函数
y= kx (k
是常数，
k
≠
0))
的图象是经过原点的一条直线，我
们称它为直线
y= kx
。

(2)
性质
:
当
k>0
时
,
直线
y= k x
经过第三，一象限，从左向右上升，即随着
x
的增
大
y
也 增大；当
k<0
时
,
直线
y= kx
经过二
,
四象限，从左向右下降，即随着
x
的增
大
y
反而减小。

三、求函数解析式的方法
:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式 中未知的系数，从而具体写
出这个式子的方法。

1.

一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看
x
为何值时函数
y= ax+b
的值为
0
．

2.

求
ax
+
b
=0(
a
,

b是常数，
a
≠
0)
的解，从“形”的角度看，求直线
y=
ax+b
与

x
轴
交点的横坐标

3.

一次函数与一元一次不等式：

解不等式
ax
+
b
＞
0(
a
，
b
是常数，
a
≠
0)
．
从
“数”
的角度看
，
x
为何值 时函数
y=
ax+b
的值大于
0
．


4.

解不等式
ax
+
b
＞
0(
a
，
b
是常数，
a
≠
0)
．

从“形”的角度看，
求直线
y= ax+b
在

x
轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．

十、一次函数与正比例函数的图象与性质

一


次


函


数

如果
y=kx+b
（
k
、
b
是常数，
k
≠
0
）
，
那么
y
叫
x
的一次函数
.
当
b=0
概

念

时，一次函数
y=kx
（
k
≠
0
）也叫正比例函数
.
图

像

性

质

一条直线

k＞
0
时，
y
随
x
的增大
(
或减小)
而增大
(
或减小
)
；

k
＜
0
时，
y
随
x
的增大
(
或减小
)
而减小
(
或增大
).
（
1
）
k>0
，
b
＞
0
图像经过一、二、三象限；

直线
y=k x+b
（
k
（
2
）
k>0
，
b
＜
0
图像经过一、三、四象限；

≠
0
）的位置与
（
3
）
k>0
，
b
＝
0
图像经过一、三象限；

k
、
b
符号之间
（
4
）
k
＜
0
，
b
＞
0
图像经过 一、二、四象限；

的关系
.
（
5
）
k
＜
0
，
b
＜
0
图像经过二、三、四象限；

（
6
）
k
＜
0
，
b
＝
0
图像经过二、四象限。

一次函数表达
求一次函数
y=kx+b
（
k
、
b
是常数，
k
≠
0
）时，需要由两个 点来确
式的确定

定；求正比例函数
y=kx
（
k
≠
0
）时，只需一个点即可
.

5.
一次函数与二元一次方程组：

解方程组



a
1
x

b
1
y

c
1
从“数”的角度看，自变量（
x
）
为何值时两个函数的

x

y


b
2
c
2
2

a

值相等．并
求出这个函数


a
1
x

b
1
y

c
1
值


解方程组


从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标
.
a
2
x
< br>b
2
y

c
2


数据的分析

数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差

一元二次方程知识点总结

一、知识框架


二、知识点、概念总结

1.
一元二次方程
：
方程两边都是 整式，
只含有一个未知数
（一元）
，
并且未知数的最高次数是
2（二
次）的方程，叫做一元二次方程。

2.
一元二次方程有四个特点：

(1)
含有一个未知数；

(2)
且未知数次数最高次数是
2
；

(3)
是 整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再
对它进行整理。如果 能整理为
ax
+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

（
4
）将方程化为一般形式：
ax
+bx+c=0
时，应满 足（a≠0）

3.
一元二次方程的一般形式
：一般地，任何一个关于x
的一元二次方程，经过整理，
•
都能化成
如下形式
ax
+bx+c=0
（
a
≠
0
）
。

一个一 元二次方程经过整理化成
ax
+bx+c=0
（
a
≠
0）后，其中
ax
是二次项，
a
是二次项系数；
bx
是一 次项，
b
是一次项系数；
c
是常数项。


4.
一元二次方程的解法

（
1
）直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用
2
于解形如
(
x

a
)

b
的一 元二次方程。
根据平方根的定义可知，
当
b

0
时，
x

a
是
b
的平方根，
2
2
2
2
2
x

a


b
，
x


a

b
，当
b<0
时，方程没有实数根。
（
2
）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一 元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也
有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式< br>a

2
ab

b

(
a

b
)
，把公式中的
a
看
做未知数
x
，并用
x
代替，则有
x

2
bx

b

(
x

b
)
。

配方法解一元二次方程的 一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为
1
；常数项移
到右边；
方程两边都加上一次项系数的一半的平方，
使左边配成一个完全平方式；
变形为
(x +p)
=q
的形式，如果
q
≥
0
，方程的根是
x= -p
±√
q
；如果
q
＜
0,
方程无实根．

（
3
）公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

2
一元二次方程
ax

bx

c

0(
a

0
)
的求根公式：

2
22
2
2
2
2

b

b
2
4
ac
2
x

(
b

4< br>ac

0
)

2
a
（
4
）因式分解法

因式分解法就是利用因式 分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次
方程最常用的方法。

5.
一元二次方程根的判别式

2
2
根
的
判
别
式
：
一
元
二
次
方
程
ax

bx

c

0
(
a
< br>0
)
中
，
b

4
ac
叫
做
一
元
二
次
方
程
ax
2

bx

c

0
(
a

0
)
的根的判别式，通常用“

”来表示，即


b
2

4
ac

6.
一元二次方程根与系数的关系

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