人教版初二下册数学知识点教学教材
萌到你眼炸
541次浏览
2021年02月02日 01:35
最佳经验
本文由作者推荐
大快朵颐-葫芦娃图片
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
八年级数学（下册）知识点总结
二次根式
【知识回顾】
1.
二次根式：式子
a
（
a
≥
0
）叫做二 次根式。
2.
最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母
中不含根式。
3.
同类二次根式：
二次 根式化成最简二次根式后，
若被开方数相同，
则这几个二次根式就是同类二次
根式。< br>
4.
二次根式的性质：
a
（
a
＞
0
）
（
1
）
（
a
）
2
=
a
（
a
≥
0
）
；
（
2
）
a
2
a
0
（
a
=0
）
；
5.
二次根式的运算：
a
（
a< br>＜
0
）
（
1
）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能 够开得尽方，那么，就可
以用它的算术根代替而移到根号外面；
如果被开方数是代数和的形式，
那么先解因式，
•
变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正 因式平方后移
到根号里面．
（
2
）二次根式的加减法：先把二次根 式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（
3
）二次根式的乘除法：二次 根式相乘（除）
，将被开方数相乘（除）
，所得的
积（商）仍作积（商）的被开方数并 将运算结果化为最简二次根式．
ab
=
a
·
b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
；
b
b
（
b
≥
0
，
a>0
）
．
a
a
（
4
）有理数的加法交换律、结合律 ，乘法交换律及结合律，
•
乘法对加法的分配
律以及多项式的乘法公式，都适用于二次 根式的运算．
【典型例题】
1
、概念与性质
例
1
下列各式
1
）
1
1
,
2)
5,3)
x
2
2,
4)
4,5)(
)
2
,6)
1
a
,7)
a
2
2
a
1
，
5
3
其中是二次根式的是
___1 3 4 5 ______
（填序号）
．
例
2
、求下列二次根式中字母的取值范围
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
x< br>
5
（
1
）
1
3
x< br>；
（
2
）
(x
-
2)
2
例
3
、
在根式
1)
a
2
< br>b
2
;2)
x
;3)
x
2
xy< br>;4)
27
abc
，最简二次根式是（
C
）
5
A
．
1) 2) B
．
3) 4) C
．
1) 3) D
．
1) 4)
1
x
y
y
1
8
x
8
x
1
,
求代数式
2
2
y
x
4
、已知：
x
y
2的值。
y
x
例
例
5
、
（
2009
龙岩）已知数
a
，
b
，若
(
a< br>
b
)
2
=b
－
a
，则
(B
)
A. a>b
B. a
C. a
≥
b
D. a
≤
b
2
、二次根式的化简与计算
例
1.
将
A.
根号外的
a
移到根号内，得
(
)
；
B.
－
；
C.
－
；
D.
例
2.
把（
a
－
b
）
1
－
a
－
b
化成最简二次根式
例
3
、计算：
例
4
、先化简，再求值：
1
1
b
5
1
5
1
，其中
a=
，
b=
．
a
< br>b
b
a
(
a
b
)
2
2< br>
例
5
、如图，实数
a
、< br>b
在数轴上的位置，化简
：
a
2
b2
(
a
b
)
2
4
、比较数值
（
1
）
、根式变形法
< br>当
a
0,
b
0
时，①如果
a< br>
b
，则
a
b
；②如果
a
b
，则
a
b
。
例
1
、比 较
3
5
与
5
3
的大小。
（
2
）
、平方法
当
a
0,< br>b
0
时，①如果
a
2
b
2，则
a
b
；②如果
a
2
b
2
，则
a
b
。
例
2
、比较
3
2
与
2
3
的大小。
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
（
3
）
、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例
3
、比较
2
1
与
的大小。
3
1
2
1
（
4
）
、分子有理化 法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例
4
、比 较
15
14
与
14
13
的大小。
（
5
）
、倒数法
例
5
、比较7
6
与
6
5
的大小。
（
6
）
、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例
6
、 比较
7
3
与
87
3
的大小。
（
7
）
、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①
a
b
0
a
b
；②
a
b< br>
0
a
b
例
7
、比较
（
8
）
、求商比较法
它运用如下性质：当
a>0
，
b>0
时，则：
①
1
a
b
；
②
1
a
b
b
b
a
a
2
1
2
与
的大小。
3
1
3
例
8
、比较
5
3
与
2
3
的大小。
5
、规律性问题
例
1.
观察下列各式及其验证过程：
，
验证：
；
验证
:
.
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
（< br>1
）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
4
行验证；
< br>4
的变形结果，并进
15
（
2
）针对上述各式反映的规律，写 出用
n(n
≥
2
，且
n
是整数
)
表示的等 式，并给
出验证过程
.
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
勾股定理
1.
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
2
＋
b
2
=c
2
。
2.
勾股定理逆定理：如果三角形 三边长
a,b,c
满足
a
2
＋
b
2
=c< br>2
。
，那么这个三角形是直角
三角形。
3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的 两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那
么另一个叫做它的逆命题。
（ 例：勾股定理与勾股定理逆定理）
4.
直角三角形的性质
（
1
）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠
C=90
°
∠
A+
∠
B=90
°
（
2
）、在直角三角形中，
30
°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠
A=30
°
可表示如下：
BC=
∠
C=90
°
（
3
）
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠
ACB=90
°
可表示如下：
CD=
D
为
AB
的中点
5
、摄影定理
在直角 三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的
摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和< br>斜边的比例中项
∠
ACB=90
°
CD
2
AD
•
BD
1
AB=BD=AD
2
1
AB
2
AC
2
AD
•
AB
CD
⊥
AB
BC
2
BD
•
AB
6
、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB
•
CD=AC
•
BC
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
7
、直角三角形的判定
1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3
、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c< br>有关系
a
2
b
2
c
2
，那么这
个三角形是直角三角形。
8
、命题、定理、证明
1
、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（
1
）命题必须是个完整的句子；
（
2
）这个句子必须对某件事情做出判断。
2
、命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）
命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3
、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4
、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5
、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6
、证明的一般步骤
（
1
）根据题意，画出图形。
（
2
）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（
3
）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9
、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
（
1
）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（
2
）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论
1
：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论
2
：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10
数学口诀
.
平方差公式
:
平方 差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相
混淆。
完全平方公式
:
完全平方有三项，
首尾符号是同乡，
首平方、
尾平 方，
首尾二倍放中央；
首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
四边形
1
．四边形的内角和与外角和定理：
（
1
）四边形的内角和等于
360
°；
（
2
）四边形的外角和等于
360
°
.
A
4
B
C
A
D
2
．多边形的内角和与外角和定理：
（
1
）
n< br>边形的内角和等于
(n-2)180
°；
（
2
）任意多边形的外角和等于
360
°
.
1
B
D
3
2
C
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
3
．平行四边形的性质：
（
）两组对边分别平行；
1
（
2
）两组对边分别相等；
因为ABCD
是平行四边形
（
3
）两组对角 分别相等；
4
）对角线互相平分；
（
（
5
）邻角互补
.
D
O
C
A
B
4.
平行四边形的判定：
（
1
）两组对边 分别平行
（
2
）两组对边分别相等
（
3
）两组对角分别相等
ABCD
是平行四边形
. < br>（
4
）一组对边平行且相等
（
5）对角线互相平分
D
O
C
A
B
5.
矩形的性质：
（
）具有平行四边形的所
有通性
;
1
因为
ABCD
是矩形
（
2
）四个角都是直角
;
3
）对角线相等
.
（
D
C
O
A
D
B
C
A
B
6.
矩形的判定：
（
1
）平行四 边形
一个直角
（
2
）三个角都是直角
四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
） 对角线相等的平行四
边形
D
C
O
A
D
B
C
7
．菱形的性质：
因为
ABCD
是菱形
（
）具有平行四边形的所
有通性；
1
（< br>
2
）四个边都相等；
3
）对角线垂直且平分对
角
.
（
A
O
C
D
A
B
B
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
D
8
．菱形的判定：
（
1
）平行四边形
一组邻边等
（
2
）四个边都相等
四边形四边形
ABCD
是菱形
.
（
3
）对角线 垂直的平行四
边形
A
O
C
B
9
．正方形的性质：
因为
ABCD
是正方形
（
）具有平行四边形的所
有通性；
1
（
2
） 四个边都相等，四个
角都是直角；
3
）对角线相等垂直且平
分对角
.
（
D
C
D
C
O
A
B
（
1
）
A
B
（
2
）
（
3
）
10
．正方形的判定：
（
1
）平行四边形
一组邻边等
一个直角
（
2
）菱形
一个直角
四边形
ABCD
是正方形
. < br>
（
3
）
矩形
一组邻边等
D< br>C
(3)
∵
ABCD
是矩形
又∵
AD=AB
∴四边形
ABCD
是正方形
A
B
11
．等腰梯形的性质：
1
（< br>）
两底平行，两腰相等；
因为
ABCD
是等腰梯形
（
2
）同一底上的底角相等
；
3
）对角线相等
.
（
A
O
B
C
D
12
．等腰梯形的判定：
（
2
）梯形
底角相等
四边形
ABCD
是 等腰梯形
（
3
）梯形
对角线相等
（
1
）梯形
两腰相等
D
A
(3)
∵
ABCD
是梯形且
AD
∥
BC
B
O
C
∵
AC=BD
∴
ABCD
四边形是等腰梯形
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
14
．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，
B
C
A
E
D
并且等于它的一半
.
15
．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，
并
且等于两底和的一半
.
E
D
C
F
B
A
一
基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边 形，平行线间的距离，平
行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形， 直
角梯形，三角形中位线，梯形中位线
.
二
定理：中心对称的有关定理
※
1
．关于中心对称的两个图形是全等形
.
※
2
．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
.
※
3
．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形
关于这一点 对称
.
三
公式：
1
．
S
菱形
=
ab=ch.
（
a
、
b
为菱形的对角线
,c
为菱形的边长
，
h
为
c
边上的高）
2
．
S
平行四边形
=ah. a
为平行四边形的边，
h
为
a
上的高）
3
．
S
梯形
=
（
a+b
）
h= Lh.
（
a
、
b
为梯形的底，
h
为梯形的高
,L
为梯形的中位线）
四
常识：
n
(
n
3
)
※
1
．若
n
是多边 形的边数，则对角线条数公式是：
.
2
矩
形
正
方
形
菱
形
1
2
1
2
2
．规则图形折叠一般“ 出一对全等，一对相似”
.
3
．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系
.
<<<<<<
精品资料》
》
》
》
》
平行四边形