八年级下册数学--二次根式知识点整理
余年寄山水
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2021年02月02日 01:36
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二次根式
1
、
算术平方根的定义：
一般地，如 果一个正数
x
的平方等于
a
，那么这个正数
x
叫做
a
的算术平方根。
2
、
解不等式（组）
：尤其注意当不等式两边乘
(
除以
)
同一个负数，不等号方向改变。
如：
-2x
＞
4
，不等式两边同除以
-2
得
x< br>＜
-2
。不等式组的解集是两个不等式解集的
公共部分。如
｛
X
≥
-2
X
＜
5
的解集为
-2
≤
x
＜
5
。
3
、
分式有意义的条件：
分母≠
0
4
、
绝对值：
｜
a
｜
=a
（
a
≥
0
）
；｜
a
｜
= - a
（
a
＜
0
）
一、
二次根式的概念
一般地，我们
把形如
a
（
a
≥
0
）的式子叫做二次根式
，
“
”称为
二次根号
。
★
正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
（
1
）
二
次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“
”
，
“
”的
根指数
为
2
，即“
”
，我们一般省略根指数
2
，写作“
”
。如
5
可以写作
5
。
（
2
）
二
次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（
3
）
式
子
a
表示非负数
a
的算术平方根
，因此
a
≥
0
，
a
≥
0
。其中
a
≥
0
是
a
有意
义的前提条件。
（
4
）
在
具体问题中，如果已知二次根式
a
，就意味着给出了
a
≥
0
这一隐含条件。
（
5
）
形
如
b
a
（
a
≥
0
）的式子也是二次根式，
b
与
a
是相乘的关系
。要注意当
b
是分
8
8
2
2
数时不能写成带分数，例如
2
可写成
，但不能写成
2
2
。
3
3
3
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（
1
）
6
；
（
2
）
-18
；
（
3
）
x
2
+1
；
1
（
4
）
-8
；
（
5
）
x
+2x+1
；
（
6
）
3
｜
x
｜
；
（
7
）
1+2x
（
x
＜
-
）
2
3
2
2
2
1
二、当
x
取什么实数时，下列各式有意义？
（
1
）
2-5x
；
（
2
）
4x
2
+4x+1
二、二次根式的性质：
二
次
根
式
的
性
符号语言
文字语言
应用与拓展
注意
质
一
个
非
负
a
（
a
≥
0
）的
a
≥
0
数
的
算
术
（
1
）二次根式的非负性（
a
≥
0
，
a
（
a
≥
0
）
的最
性质
平
方
根
是
（
a
≥
0
）
非负数。
a
≥
0
）
应用较多，
如：
a+1 +
b-3
小值为
0
。
=0
，则
a+1=0
，
b-3=0
，即
a= -1
，
b=3
；
又如
x-a +
a-x
，
则
x
的取
值范围是
x-a
≥
0
，
a-x
≥
0
，解得
x=a
。
（
2
）具 有非负性的性质：
①
a
2
≥
0
；
②｜
a< br>｜≥
0
；③
a
≥
0
（
a
≥
0
）
。
（
3
）若
a
2
+
｜
b
｜
+
c =0
，则
a=0
，
b=0
，
c=0
，即若几个 非负数的和等
于
0
，则这几个非负数分别等于
0
。
2
2
（
a
）
（
a
≥
0
）
（
a
）
=
a
的性质
（
a
≥
0
）
一
个
非
负
逆用公式可以在实数
正用公式：
（
5
）
2
=5
；
（
m
2
+1
）
数
的算
术
范围内分解因式，如
2
2
平
方
根
的
=m
+1
；逆用公式：若
a
≥
0
，则
a =
2
a
-5=a
2
-
（
5
）
2
平
方
等
于
1
1
2
2
2
（
a
）
如：
2=
（
2
）
，
=
（
）
2
2
它本身。
=(a+
5 )(a-
5 )
的
2
2
（
1
）正用公式：
（
3-
π
)
化简形如
a
的式
算
根
=
｜
3-
π｜
=3-
π
（
2
）逆用
子时，先转化为
个
对
a
的性质
2
一
个
数
=a
（
a
≥
0
）
平
方
的或
术
平
方
等
于
这
2
a
=
｜
a
｜
=
数
的
绝
- a
（
a
＜
0
）
值。
a
=
｜
a
｜
2
公式：
3
1
=
3
1
｜
a
｜形式，
再根据
3
×
=3
3
a
的符号去掉绝对
2
值号。
练习：计算（
1
）
（
（
4
）
-
3
）
2
(2)
（
4
3
）
2
(3)
（
-6
2
)
5
1
2
（
-
）
（
6
）
x
2
-2x+1 +
x
2
-6x+9
（
1
≤
x
≤
3
）
8
★（
a
）
2
（
a
≥
0
）与
a
2
的区别与联系：
2
表示的意义不
同
取值范围不同
读法不同
（
a
）
2
表示
非负数
a
的算术平方根的
平方
a
≥
0
a
2
表示
a
2
的算术平方根
a
为任意实数
区
读作“根号
a
的平方”或“
a
读作“根号
a2
”或“
a
的平方
的算术平方根的平方”
的算术平方根”
被开方数是
a
2
先平方后开方
别
三、代数式
用基本运算符号
（ 基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）
把数或表示数的字母连
s
接起来的式子叫 代数式
。例：
3
，
x
，
x+y
，
3x
（
x
≥
0
）
，
-ab
，
（
t
≠
0
，
x
3
都是代数式
< br>t
注（
1
）单独一个数或字母也是代数式；
（
2
）代 数式中不能含有关系符号（＞，＜，
=
等）
（
1
）
将
两个代数式用关系符号（＞，＜，
=< br>等）连接起来的式子叫关系式，方程和不
等式都是关系式。如
2x+3
＞
3x-5
是关系式。
x-2
练习：下列式子：①
0
；② π
③
2+x=4
；④
＞
1
；⑤
2a+3b
；⑥
2-x (x
≤
2)
，其中
3
2
被开方数不同
运算顺序不同
被开方数是
a
先开放后平方
运算结果，运算
（
a
）
2
=a
，依据平方与开平
依据算术平方根的定义得到
依据不同
作用不同
方互为逆运算得到
（
a
）
2
=
a
（
a
≥< br>0
）
，正向运用可
a
2
=
｜
a
｜
，正向运用可以将根号
化简二次根式，
逆向运用可以将任意
内的非负因式取算 术平方根移到根
一个非负数写成一个数的平方的形
号外，逆用运用可以将根号外的非
式
负因式平方后移到根号内
联
系
①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方
②结果都是非负数；③
a
≥
0
时，
（
a
）
2
=
a
2
是代数式的有（
）
3
列代数式的常用方法：
（
1
）
直
接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（
2
）
公
式法：根据公式列出代数式。
（
3
）
探
究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
练习：列代数式
（
1
）把
a
本书平均分给若干名 学生，若每人分
5
本，还余
3
本，则学生人数为（
）
（
2
）若圆
A
的半径
r
是圆
B
的半径的
5
倍，则这两个圆的周长之和为（
）
典型例题剖析
题型一：二次根式有意义的条件
当
x
取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（
1
）
x+5-
3-2x
；
（
2
）
2x-1
1-x
；
（
3
）
x-3+
3+x
题型二：利用二次根式的非负性化简求值
已知
a
2
+b-2=4a-4
，求
ab
的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用
已知实数
x
，
y满足｜
x-4
｜
+
y-8=0
，
则以
x
，
y
的值为两边长的等腰三角形的周长是
（
题型四：利用
a
2
=
｜
a
｜并结合数轴化简求值
已知实数
a
，
b
在数轴上的位置如图所示。
试化 简：
a
2
+
b
2
+
（
a-b
）< br>2
+
（
b-1
）
2
-
（
a-1）
2
题型五：
a
2
=
｜
a
｜与三角形三边关系的综合应用
在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
是三角形的三边长，化简
（a-b+c
）
2
-2
｜
c-a-b
｜
题型六：逆用（
a
）
2
= a
（
a
≥
0
）在实数范围内分解因式
在实数范围 内分解因式：
（
1
）
x
4
-4
；
（
2
）
x
4
-4x
2
+4
4
）
二次根式的乘除
1
、
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只 在一个
单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2
、
单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对 于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
一、
二次根式的乘法法则
a
．
b =
ab
（a
≥
0
，
b
≥
0
）即：
二次根式相乘 ，把被开方数相乘，根指数不变
（
1
）
进
行二 次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数
a
，
b
均为非负数这一条件。
（
2
）
推
广①
a
．
b
．
c =
abc
（
a
≥
0
，
b
≥
0
，
c
≥
0
）②
a
b
．
c
d =ac
bd
③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
练习：
（
1
）
28
．
7
；
（
2
）
二、二次根式乘法法则的逆用
ab =
a
．
b
（
a
≥
0
，
b≥
0
）即
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
利 用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，
先
将被开方数进
行< br>因式分解或因数分解
，然后
再
将能
开得尽方的因式或因数开方后移到根 号外
。
注：
（
1
）公式中的
a
，
b
可以是数，也可以是代数式，但必须满足
a
≥
0
，
b< br>≥
0
，实际上，
公式中的
a
，
b
是
限制公式右边
的，
对公式的左边，
只要
ab
≥
0
即 可，
如
（
-4
）×（
-9
）
≠
-4
．
-9
。
（
2
）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：
abcd =
a
．
b
．
c
．
d
（
a
≥
0
，
b
≥
0
，
c
≥
0
，
d
≥
0
）
练习：化简
（
1
）
300
；
（
2
）
（
-14
）×（
-112
）
；
（
3
）
200a
5
b
4
c
3
；
（
4
）
13
2
-12
2
；
（
5
）
16x
4
+32x
2
三、二次根式的除法法则
a
=
b
1
．
256
；
（
3
）
4
xy
．
4
1
(4)6
27
．
（
-2
3
）
y
a
（
a
≥
0
，
b
＞
0
）即：
二 次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
。
b
5