八年级数学下册知识点总结-勾股定理
温柔似野鬼°
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2021年02月02日 01:37
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第十八章
勾股定理
知识点一：勾股定理
直角三角 形两直角边
a
、
b
的平方和等于斜边
c
的平方。
（ 即：
a
+b
＝
c
）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，
是直角三角形的重 要性质之一，
其主要应
用：
（
1
）已知直角三角形的两边求第三边
（
2
）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（
3
）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2
2
2
知识点二：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 ：
a
、
b
、
c
，则有关系
a
+b
＝
c
，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（
1
）首先确定最大边，不妨设最长边长为：
c
；
（
2
）验证
c
2
与
a
2
+b
2
是否具有相等关系，若
c
2
＝
a
2
+b
2
，则
△
ABC
是以∠
C
为直角的直角
三角形
（若
c
2
>a
2
+b
2
，则
△
ABC
是以∠
C
为钝角的钝角三角形；若
c
2
< a
2
+b
2
，则
△
ABC
为锐角三
角形）
。
2
2
2
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是 另一个命题的结论和题设，
这样的两个命题叫做互逆
命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另 一个叫做它的逆命题。
规律方法指导
1
．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
< br>2
．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关
系的题目。
3
．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知 识在应用过程中易犯
的主要错
误。
4.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长
a
，
b
，
c
有下列关系：
a
2
+b
2
＝
c
2
，
•
那么这个
三角形是直
角三角形；
该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5 .
•
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加
深对
“
数形结合
”
的理解．
我们把题 设、
结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，
那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
勾股定理练习
一．填空题：
1.
在
Rt△
ABC
中，∠
C=90°
（
1
）若
a=5< br>，
b=12
，则
c=________
；
（
2
）
b=8
，
c=17
，则
S
△
ABC
=________
。
2.
若一个三角形的三边之比为
5
∶
12
∶
13
，则这个三角形是
________
（按角分类）
。
3.
直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为
________
。
4
．传说
,
古埃及人曾用＂拉绳
”
的方法画直角
,
现有一根长
24
厘米的绳子
,
请你利用它拉出一
个周长为
24
厘米的直角三角形
,
那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为
____ ___
厘
米
,______
厘米
,________
厘米< br>,
其中的道理是
______________________.
5.
命题“对顶角相等”的逆命题为
___________________,
它 是
____
命题
.(
填“真”或“假”
)
6
．观 察下列各式：
3
+4
=5
；
8
+6
=10
；
15
+8
=17
；
24
+10
=26
； „„；你有没有发现其
中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：
__________ __________________
。
7
．
利用四个全等的直 角三角形可以拼成如图所示的图形，
这个图形被称为弦图
(
最早由三国
时期的 数学家赵爽给出的
)
．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三
角 形面积．
因而
c
＝
＋
,
化简后即为
c
＝
．
B
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
b
A
第
8
题图
8
．
一只蚂蚁从长、宽都是
3
，高是
8
的长方体纸箱的
A
点沿纸箱爬到
B
点，那么它所行的
最短路线的长是
_____________
。
二．选择题：
9
．
观察下列几组数据
:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.
其中能作为直角三
角形的三边长的有
(
)
组
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10
．三个正方形的面积如图，正方形
A
的面积为（
）
A. 6
B.
４
C. 64
D. 8
11.
已知直角三角形的两条边长分别是
5
和
12
，则第三边为
（
）
Ａ．
１３
Ｂ．
6
10
A
119
Ｃ．１３或
119
Ｄ．
不能确定
12.
下列命题①如果
a
、
b
、
c
为一组勾股数，那么
4a
、
4b
、
4c
仍是勾股数；②如果直角三角
形的两边是
5
、
12
，那么斜边必是
13
；③如果一个三角形的三边是
12
、
2 5
、
21
，那么此
三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是< br>a
、
b
、
c
，
（
a>b=c
），那么
a
2
∶
b
2
∶
c
2
= 2
∶
1
∶
1
。其中正确的是（
）
A
、①②
B
、①③
2
2
C
、①④
D
、②④
13.
三角形的三边长为（
a+b
）< br>=c
+2ab,
则这个三角形是
(
)
A.
等边三角形
;
B.
钝角三角形
;
C.
直角三角形
; D.
锐角三角形
.
14.
如图一轮船以
16
海里
/
时的速度从港口
A
出发向东北方向航行，
另一轮船以
12
海里
/
时的
速度同时从港口
A
出发向东南方向航行，离开港口2
小时后，则两船相距
（
）
A
、
25
海里
B
、
30
海里
C
、
35
海里
D
、
40
海里