卤猪蹄的做法-童年好词好句

2021年2月2日发(作者：不满英文)
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八年级数学下册知识
点复习











第十六章

分式


考点一、分式定义
：如果
A
、
B
表示两个整式 ，并
且
B
中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式。


分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零
的条件分子为零且分母不为零

题型一：考查分式的定义

1
2
2
下列代数式中：
x

,
1
2
x

y
,
a

b
x

y
x

y
a

b
,
x

y
,
x

y
，
1
是分式的有：
a

b
x
2

y
2
a

b
,
x

y
x

y
,
x

y


.
题型二：考查分
式
有意义的条件：

当
x
有何值时，下列分式有意义

（
1
）
x

4
3
x
2
x

4

（
2
）
x
2

2

（
3
）
x
2

1

（
4
）
6

x
|
x
|

3

（
5
）
1
x

1

x
答
：
（
1
）







(2)









(3)
(4) (5)
题型三：考查分式的值为
0
的条件：
5


x
当
x
取何值时，下列分式的值为
0.
3< br>
(
x

1
)
2
（
1
）< br>x

1
|
x
x

3

< br>（
2
）
|

x
2

2
x< br>2


（
3
）
x
4

3
x
2

2
x

3
x
2

5
x

6

答（
1
）
(2) (3)
题型四：考查分式的值为正、负的条件：

（
1
）当
x
为何值时，分式

4
8

x
为正；


（
2
）
当
x
为何值时，
分式

为负；


（
3
）
当
x
为何值时，
分式

为非负数
.
练习
:
（
1
）已知分式
x< br>-
1
x

1
的值是零，那么
x
的值是（

）


A
．
-1


B
．
0


C
．
1


D
．±１

（
2
）当
x_______ _
时，分式
1
x

1
没有意义．

考点二 ：分式的基本性质
：分式的分子与分母同乘
或除以一个不等于
0
的整式，分式 的值不变。

A
1
．分式的基本性质：
B

A
M
B

M

A

M
B
M


a

a
a
2
．分式 的变号法则：

b


a

b



b

b

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例
1
】不改变分式的值，把分子、分母的系
数化为整数
.
1
x

2
（
1
）
2
3
y


（
2
）
0
.
2
a

0
.
03
b
1
0
.
04
a
< br>b

3
x

1
4
y
题型二：分数的系数变号

【例
2
】
不改变分式的值，
把下列分式的分子、
分母的首项 的符号变为正号
.
（
1
）

x

y
a

x

y


（
2
）

a

b


（
3
）


a

b

题型三：化简求值题

【例
3
】
已知：
1
x

1
y

5
，
求
2
x

3
xy

2
y
x

2
xy
y
的
值
.
提示：整体代入，①
x

y

5
xy
，②转化出
1
x

1
y
.
【例
4
】已知：
x

1
x

2
，求
x
2

1
x
2
的值< br>.
【
例
5
】
若
|
x

y

1
|

(
2
x

3
)
2

0
，
求
1
4
x

2
y
的值
.
考点三：分式的运算

1
．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公
倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母
的最高次幂
.
2
．确定最大公因式的方法


①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大
公约数；

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②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂
.
题型一：分式的混合运算

1
、

计算
4
a
1

a
a
2

1

1

a
的结果是
________
．


2
、

计算
a
2
a
2
a
2

2
a
•
(
a

2

4
a

2
)
．


3
、

计算
x

1

1

x



x

x


．

题型二：化简求值题

先化简后求值

（
1
）已
知
：
x


1
，
求
分子
2
1

8
x
2

4
[(< br>x

4
4
x

1
)

(< br>1
1
2

x
)]
的值；

（
2
）
已知：
x
xy

2
yz

3
xz
2

y
3

z
4
，
求
x
2

y
2

z
2
的
值；

题型三：求待定字母的值

【
1
】若关于
x
的分式方程
2
x

3

1

m
x

3
有增
根，求
m
的值
.
【
2
】
若分式方程
2
x

a

2< br>

1
的解是正数，
求
a
x
的取值范围.

提
示
：
x

2

a
3

0
且
x

2
，

a

2
且
a


4
.
【
3
】若

3
x

4

x

1

x

2


A
x

1

B
x

2

，试
求
A
、
B
的值
.
题型四：指数幂运算

（
1
）下列各式中计算正确的是

A
.
3

3

1


B
.

a

5


a
5
27


C
.



3
a

3

2

9
a
6

D
.
a
5

a
3

a
8

（
2
）
(

1

2
3
0
2
)

2

0
.
125

2007

注意：


★分式的通分和约分：关键先是分解因式
★分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分
子的积作为积的分子，分母的积作为分母。









分式除法法则：分式除以分式，把
除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。









分式乘方法则：分式乘方要把分
子、分母分别乘方。

分式的加减法则：< br>同分母的分式相加减，
分母不变，
把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

混合运算
:
运算顺序和以前一样。能用运 算率简算
的可用运算率简算。

★任何一个不等于零的数的零次幂等于
1
，
=1(a
；
< br>正整数指数幂运算性质（请同学们自己复习）
也可以推广到整数指数幂．
特别是一个整数 的
-n
次
幂等于它的
n
次幂的倒数，
a

n

1
a
n

考点四：分式方程
：含分式，并且分母中含未知数
的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以
一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整
式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，
最简公分母有可 能为０，这样就产生了增根，因
此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤

：

(1)
能化简的先化简
(2)
方程两边同乘以最简公
分母，
化为整式方程；
(3)
解整式方 程；
(4)
验根．


增根应满足两个条件：一是其值应使最简公 分
母为
0
，二是其值应是去分母后所的整式方程的
根。


分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公
分母，如果最简公分母的值不为
0，则整式方程
的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分
式方程的解。


列方程应用题的步骤是什么？

(1)
审（作题时
不写 出）；
(2)
设；
(3)
列；
(4)
解；
(5)< br>验

（
6
）
答．

应用题有几种类型基本上有五种：


(1)
行程问题：基本公式： 路程
=
速度×时间而行程
问题中又分相遇问题、追及问题．


(2)
数字问题

在数字问题中要掌握十进制数的表
示法．


(3)
工程问题

基本公式：工作量
=
工时×工效．


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(4)
顺水逆水问题



v
顺水
=v
静水
+v
水．






v
逆水
=v
静水
-v
水．

(5)
盈利问题

基本公式：利润＝（售价－进价）
×件数

利润率＝
利润
进价

100
%

1
、

解方程
2

x
1
x

3

1

3

x
．

2
、

某市今年
1
月
1
日起调整居民用水 价格，每
立方米水费上涨
25
％，小明家去年
12
月份的水费
是
18
元，而今年
5
月份的水费是
36
元．已知小明家今年
5
月份的用水量比去年
12
月份多
6
立方米，< br>求该市今年居民用水的价格．

3
、某一工程队，在工程招标时，接到甲乙工程 队
的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款
1.5
万元，付乙工程队工程款
1.1
万元，工程领导小组
根据甲乙两队的投标书预算，可有三种施工方案：

（
1
）甲队单独完成此项工程刚好如期完工。

（
2
）乙队单独完成此项工程要比规定工期多用
5
天。
< br>（
3
）若甲、乙两队合作
4
天，剩下的工程由乙队
独做也正好 如期完工。

问哪一种施工方案最省工程款？

4
、一辆汽车开往距 离出发地
180
千米的目的地，
出发后第
1
小时内按原计划的速度行 使，
1
小时后
加速为原来速度的
1.5
倍，并比原计划提前
40
分
到达目的地，求前
1
小时的平均行使速度。

考点五
.
科学记数法
：把一个数表示成
a

10
n
的形
式（其中
a
，
n
是整数）的记数方法叫做科学记数
法 ．

用科学记数法表示绝对值大于
10
的
n
位整数
时，其中
10
的指数是整数位数减
1
用科学记数法表示绝对值小于
1
的正小数时
,
其中
10
的负指数是第一个非
0
数 字前面
0
的个数
(
包括
小数点前面的一个
0)








































第十七章




反比例函数

1.
定义：形如
y=k/x
（
k
为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。


2.
图像：反比例函数的图像属于双曲线。


3.
性质
:
当
k
＞
0
时双曲线的两支分别位于第一、第
三象 限，
在每个象限内
y
值随
x
值的增大而减小；




当
k
＜
0
时双曲线的两支分别位于第二、第< br>四象限，
在每个象限内
y
值随
x
值的增大而增大。

4.|k|
的几何意义：表示反比例函数图像上的点向
两坐标轴所作的垂线段与两坐标 轴围成的矩形的
面积。

















考点一：反比例函数定义

1
、
反比例函数的判定：
下列函 数中
,
y
是
x
的反比
例函数的是
D
A
．
y

x
3
B.
y

1
1
x

1
C.y

x
2
D.
y

3
x

2
、
K
值确定：

①已知点
A
（
-1
，
5
）
在反比例函数
y

k
x
(
k

0)
的
图象上，则该函数的解析式为（
C
）




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A
：
y

1
25
B
：
y

C
：
x
x




O
a
O
h
h
h
5
y


D
：
y

5
x

x
3
y


②反比例函数
中，比例系数
k=
5
x
a
y

(
m

1)
x
m
2
③已知

2
是反比例函数，则
m
=
－
1.

④已知
y
－
2
与
x
成反比例，当
x= 3
时，
y=1
，则
y
与
x
的函数关系式为
.
⑤已知
y=y
1
+y
2
,y
1
与x+1
成正比例，
y
2
与
x+1
成反
比例，当
x=0
时
y=-5,
当
x=2
时，
y=-7
（
1
）求
y
与
x
之间的函数关系式

（
2
）当
x=-2
时，求
y
的值






3
、点与解析式的关系：见考点
3
第题第
3
问

考点二：反比例函数图象与性质

（
1
）反比例函数
y=
2
x
的图象位于

A
、第一、二象限
B
、第一、三象限

C
、第二、三象限
D
、第二、四象限

（
2
）
已知三角形的面积一定，
则它底边
a
上的高
h

O
a

(3)
已知反比例函数
y=m

5
x
的图象的一支在第一
象限。

（1
）图象的另一支在哪个象限，常数
m
的取值是
什么？

（
2
）在这个函数图象的某一支上任取点
A(a,b)
和
B
（
a
/
,b
/
）
,
如果
b> b
/
，那么
a
与
a
/
有怎么样的大
小关系？





(4)
、已知关于
x
的函数
y
k
(
x

1
)
和
y

k
x
（
k
≠
0
）
，它们在同一坐标系内的图象 大致是（


）






y
y
y
O
x
O
x
O
x
A
B
与
C

底
边
< br>(5)
已
知
反
比
例
函
数
y
a


1
的
图
象
上
有
两
点
之
x
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
且
x
间
1

x
2
，那么下列结论正
确的是 （




）

的
函
A.
y
1

y
2


B.
y
1

数
y
2


C.
y
1

y
2

关
D
y
1
与
y
2
之间的大小关系不能确定
系

Ex:
反比例函数图象上有三个点
的
（
x
1
,y
1
）< br>（
x
2
,y
2
）
（
x
3
, y
3
）其中
x
1
2
<0图
3
,
试判定
y
1
的大小关系。

象
,y
2
,y
3
与
0

大

致
是
y
O
D

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考点三：反比例函数综合

1
、如图，

已知反比例函数< br>y
＝
k
x
的图象与一次函
数
y
＝
a
x
＋
b
的图象交于
M
（
2
，
m< br>）
和
N
（－
1
，－
4
）
两点．
（
1
）求这两个函数的解析式；

（
2
）求△
MON
的面积；

（
3
）请判断点
P
（
4
，
1
）是否在这个反比例函数的
图象上，并说明理由．





2
、
如图在坐标系中，
直线
y=x+ k
与双曲线

y

k
x
在第一象限交与点
A
，

与
x
轴交于点
C
，

AB
垂直
x
轴，垂足为
B
，且
S
△
AOB
＝
1












1
）求两个函数解析式

2
）求
△
ABC
的面积





考点四：反比例函数应用：见试卷与课本


练习：
1< br>、如图是三个反比例函数在
x
轴上方的图
象，

由此观察得到
k
1,
k
2
,k
3
的大小关系为



















2
、
已知
P
是反比例函数
y

k
x

k

0

图象上一
点

作
PA
垂 直
Y
轴与
A,
若
S
△
AOP
=3,
则这个反比例函数解
析式

为




3
、若反比例函数
y

k

3
x
的图象位于第一、三
象限内，正比例函数
y=(2k-9)x
过 二、四象
限，则
k
的整数值为


4
、
如
图是
一
次函
数
y
1
=kx+b
和
反
比
例函
数
y
m
2

x
在同一个坐标系下的图象，观察
图象写出当
y
1
>y
2

时
x
的取值范围是







5
、如图，已知反比例函数
y
k
1

x
和一次函数
y
2
=ax+1
的图象 相交于第一象限内的点
A
，且点
A
的横坐标为
1
，过点A
作
AB
垂
直
x
轴于点
B
，
S
△
AOB
=1

①求反比例函数与一次函数的解析式

②若一次函数
y
2
=ax+1
的图象与
x
轴交于点
C
，
求
∠
ACO
的度数
③结合①图象直接写出当
y
1
>y
2
>0
时
x
的取值范
围。












6.
为了杀灭空气中的病菌，某学校对 教室采用了熏
毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每
立方米空气中含药量
y(mg)
与时间
x(min)
成正比例；
药物燃烧后，

y
与
x
成反比例，
请根据下图所提供的信息，回答下列问
题。


（
1
）药物





分钟后燃毕；此时空气中每立方米
的含药量是





mg.

（
2
）药物燃烧时，
y
关于
x
的函数式为
y


变量的取值范围是
y




，自
y=k
3
/x
__.
（
y=k
3
）药物燃烧后，
1
/x
y
关于
x
的函数式为



x

变量的取值范围是
y=k
2
/x
-2

1

，自
3
____.







（
4
）研究表明，当空气中每立方米含药量低于
1
题图

x
4
题图

1.5mg
时，学生方可安全进入教室。从药
物燃烧开始，有位同学要回教室取东西，
何时进入教室是安全的？请你给他合理
的建议 。





































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第十八章




勾股定理


基本内容：

1.< br>勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为c
，那么
a
2

b
2

c
2


2.
勾股定理逆定理：如果三角形三边长
a,b,c
满足
a
2

b
2

c
2
。
，
那么这个三角形是直角三角形。


3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。


我们把题设、结论 正好相反的两个命题叫做互逆命
题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做
它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理）

考点分析：

考点一：利用
a
2

b
2

c
2
求未知边。
< br>如①在一直角三角形中有两边长分别是
3
、
4
，
则其
第三边长为
5
或
7
（注意分类讨论）
．．．．．．．

；

②印度数学家拜斯迦罗
（公元
1114
～
11 85
年）
的著
作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式
出现的：
湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵
狂风急，吹倒花儿水中偃
. 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根
．．．．
二尺遥
．．．
，试 问水深尺若干？

问题：这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出
水深是多少尺吗？

分析：设水深为
x
尺，
则荷花高为
（
x+0.5
）
尺 ，
如图形成直角三角形

由勾股定理可列方程：
x
2
2
2

(
x

0
.
5
)2
，
解之：
x=3.75
③一棵大树离地面
9
米高处 折断，树顶落在离树根
底部
12
米远处，

求大树折断前的高度？答
24
米

考点二：直角三角形的判定问题

1
、已知：在△
ABC
中 ，∠
A
、∠
B
、∠
C
的对
边分别是
a、
b
、
c
，
满足
a
2
+b
2
+c
2
+338=10a+24b+26c
。

试判断△
ABC
的形状。

分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三 个非
负数的和为
0
，则都为
0
；⑶已知
a
、
b
、
c
，利用勾
股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

2
、已知：在△
ABC
中，∠
A
、∠
B
、 ∠
C
的对
边分别是
a
、
b
、
c
，
a=n
2
－
1
，
b=2n
，
c=n
2
＋
1
（
n
＞
1
）

求证：∠
C=90
°。

分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三 角
形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边
最大。②分别用代数方法计算出
a
2
+b
2
和
c
2
的值。
③判断
a
2
+b
2
和
c
2
是否相等，若相等，则是直角三< br>角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠
C=90
°，只要证 △
ABC
是直角三角
形，并且
c
边最大。根据勾股定理的逆定理只要 证
明
a
2
+b
2
=c
2
即可。

⑶由于
a
2
+b
2
=
（
n
2< br>－
1
）
2
＋（
2n
）
2
=n
4
＋
2n
2
＋
1
，
c
2
=（
n
2
＋
1
）
2
=
n
4< br>＋
2n
2
＋
1
，从而
a
2
+b2
=c
2
，
故命题获证。

3
、已知：如图， 在△
ABC
中，
CD
是
AB
边上
的高，且
CD
2
=AD
·
BD
。

求证：△
ABC
是直角三角形。


C
分
析
：
∵
AC
2
=AD
2
+CD
2
，
BC
2
=CD
2
+BD
2
∴
B
D
A
AC
2
+BC
2
=AD
2
+2CD
2
+BD
2
=AD
2
+2AD
·
BD+BD
2
=
（
AD+BD
）
2
=AB
2


练习：
1
、
若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，
满足
（
a
－
b
）（
a
2
＋
b
2
－
c
2
）=0
，则△
ABC
是（




）

A
．等腰三角形；

B
．直角三角形；

C
．等腰三角形或直角三角形；

D
．等腰直角三角形。

2
、已知△
ABC
的三边为
x
a
、
X+0.5
b
、
c
，且
a+b=4
，
x
ab=1< br>，
c=
14
，试判定△
ABC
的形状。


3
．
若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，满足
2
a
：
b
：
c=1
：
1
：
2
，试判断△
ABC
的形状。

考点三：互逆命题与互逆定理问题

1
、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命
题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实
数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等。

⑷直角三角形中
30
°角所对的直角边等
于斜边的一半。

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分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题 时注
灯罩，
底色漆成白色，
然后缠绕红色油纸，
如图
（
1< br>）
，
意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，
并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆
命题也有真有假，可能都真，也可能一真一 假，还
可能都假。

考点四：面积问题

1
、
已知 ：
如图，
四边形
ABCD
，
AD
∥
BC
，
AB=4
，
BC=6
，
CD=5
，
AD=3
。

求：四边形
ABCD
的面积。

分析：⑴作
DE
∥
AB
，连结
BD
，则可以证明△
ABD
≌< br>△
EDB
（
ASA
）；

⑵
DE=AB=4
，
BE=AD=3
，
EC=EB=3
；


⑶在△
DEC
中，
3
、
4
、
5
勾股数， △
DEC
为直角三角
形，
DE
⊥
BC
；

⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

2
、
若
△
ABC
的
三
边
a
、
b
、
c满
足
a
2
+b
2
+c
2
+50=6a +8b+10c
，求△
ABC
的面积。


考点五：折叠问题

1
、

如
图
，
有
一
个
直
角
三
角
形
，
两
条
直
角
边
AC=6cm,BC=8cm,
现将

直角边
AC
沿直线
AD
折叠，
使它落在斜边
AB
上 ，且与
AE
重合，

你能求出
CD
的长吗？


2
．如图，已知矩形
ABCD
沿着直线
BD
折叠 ，使点
C
落在
C
/
处，

BC
/
交
AD
于
E
，
AD
=8
，
AB
= 4
，
则
DE
的长为
（

）
．

A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6

考点六：无理数在数轴上表示问题

如 图所示：数轴上点
A
所表示的数为
a
，则
a
的值
是 （
B
）

A
．
5
+1 B
．
5
-1 C
．
-
5
+1
D
．
5



考点七：应用（航海、侧面展开图、最值，是否受
污染问题）

例．为筹备迎 新生晚会，同学们设计了一个圆筒形
已知圆筒高
108
㎝，其截面周长为
36
㎝，如果在
表面缠绕油纸
4
圈，应裁剪多长油纸．

分析：此题的难点在于将圆柱展开后，

纸带会发生什么样的变化，纸带被相

应剪断为相等的
4
段，随着圆柱而展开．

解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图（
2
）

整个油纸也随之分成 相等
A
4
段只需求出
D
AC
长

即可，在
Rt
△
ABC
中，
AB=36
，
BC=
1 08
4

27

∴由勾股定理得
AC
2
= AB
2
B
+BC
2
=36
2
+27
2
E
C
∴
AC=45
，故整个油纸的长为
45
×
4=180
（㎝）
．

说明：此题对空间想象能力要求较高，一条 曲
线怎样随着圆柱的展开成为
4
条线段，同学们可以
用纸卷成一个筒帮助自己 分析一下，将曲线变成直
线来解决问题．

1
．如图，在我国沿海有一艘不明 国籍的轮船进入
我国海域，
我海军甲、
乙两艘巡逻艇立即从相距
13
海里的
A
、
B
两个基地前去拦截，六分钟后同时到
达
C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行
A
120
海
里，乙巡逻艇每小时 航行
50
海里，航向为北偏西
E
40
°，问：甲巡逻艇的航向？


C
B

D

第
1
题图


2
．如图， 小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土
地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面
积，以便 计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得
AB=4
米，
BC=3
米，
CD=13
米，
DA=12
米，又已知∠
B=90
°。


D
C


D
ˊ

B
ˊ
A

ˊ

B

C
ˊ

A



D
B





A

C
3
、
一只蚂蚁如果沿长方体的表面从
A
点爬到
B
’点
,那么沿哪条路最近
,
最短的路程是多少
?
已知长方

体的长
2cm
、宽为
1cm
、高为
4cm.
< br>4
．如图
6
，一圆柱体的底面周长为
24cm
，高
A B

B
A
图
6
图（１）

卤猪蹄的做法-童年好词好句

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