国际象棋规则-童年的记忆

2021年2月2日发(作者：深谷幽兰)
新人教版八年级下册数学知识点归纳

二次根式

【知识回顾】

1.
二次根式：
式子
a
（
a
≥
0
）叫做二次根式。

2.
最简二次根式：
必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中
不含开方开的尽的因数或因式
；

⑵被开方数中
不含分母
；

⑶分母中
不含根式
。

3.
同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，
若被开方数相同，
则这几个二次根式就是同类二次根
式。

4.
二次根式的性质：

a
（
a
＞
0
）

（
1
）（
a
）
=
a

（
a
≥
0
）；

（
2
）

a

a


2
2
0
（
a
=0
）
；



a
（
a
＜
0
）
5.
二次根式的运算：

（
1
）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够 开得尽方，那么，就可以
用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因 式，
•
变形为积的形式，
再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后 移到根
号里面．

（
2
）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简 二次根式再合并同类二次根式．

（
3
）二次根式的乘除法：二次根式相乘（ 除），将被开方数相乘（除），所得的
积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ．


1
ab
=
a
·
b
（a≥0
，
b≥0
）；


b
b
（
b≥0
，
a>0
）．


a
a
（
4
）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，< br>•
乘法对加法的分配律
以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

a
2

b
2
;2)
x
;3)
x
2

xy
;4)
27
abc
，最简二次根式是（


）

5
例
3
、

在根式
1)
A
．
1) 2)






B
．
3) 4)





C
．
1) 3)





D
．
1) 4)
例
5
、
已知数
a
，
b
，若
(
a

b
)
2
=b< br>－
a
，则

(
)
A. a>b
B. a


C. a≥b

D. a≤b

2
、二次根式的化简与计算

例
1
.
将
根号外的
a
移到根号内，得

(
)
A.
；

B.
－
；

C.
－
；

D.

例
2
.

把（
a
－b
）
1
－
a
－
b

化成最简二次根式

例
4
、
先化简，再求值：
< br>5

1
5

1
1
1
b
< br>
，其中
a=
，
b=
．

2
2a

b
b
a
(
a

b
)











例
5
、如图，实数
a
、
b
在 数轴上的位置，化简

：
a
2

b
2
< br>(
a

b
)
2




2
4
、比较数值

（
1
）、根式变形法

当
a

0,
b

0
时，①如果
a

b
，则
a

b
；②如果
a
< br>b
，则
a

b
。

例
1
、 比较
3
5
与
5
3
的大小。

（
2
）、平方法

当
a

0,
b

0
时，①如果
a
2

b
2
，则
a

b
；②如果
a
2

b
2，则
a

b
。

例
2
、比较
3
2
与
2
3
的大小。

（
3
）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例
3
、比较
2
3

1
与
1
2

1
的大小。
（
4
）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例
4
、
比较< br>15

14
与
14

13
的大小
。

（
5
）、倒数法

例
5
、比较
7

6
与
6

5
的大小。

（
6
）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例
6
、 比较
7

3
与
87

3
的大小。

3

（
7
）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①
a

b
0

a

b
；②
a

b< br>
0

a

b

例
7
、比 较
2

1
2
3

1
与
3
的大小。

（
8
）、求商比较法

它运用如下性质：当
a>0
，
b>0
时，则：

①
a
b

1

a

b
；


②
a
b

1

a

b

例
8
、比较
5

3
与
2

3
的大小。


【基础训练】

7
.
下列计算正确的是


4
A
．
B
．

5







C
．


D
．

9
．已知等边三角形
ABC
的边长为
3

3
，则Δ
ABC
的周长是
____________
；
10
.
比较大小：３




10
。


6

13
.
函数
15
.
下 列根式中属最简二次根式的是
A.
a
2

1










B.
1
2




中，自变量
的取值范围是

．

C.
8















D.
27
7









19
.
已知二次根式
与
是同类二次根式，则的α值可以是




A
、
5












B
、
6










C
、
7










D
、
8
21
.
若
a

2

b

3

0
，则
a
2

b









．

22
．如图，在数轴上表示实数
15
的点可能是

A
．点
P

23
.
计算：



B
．点
Q


C
．点
M



D
．点
N


8
1
）
2
）
9
（


（


25
.
若

，则
10
的取值范围是

A
．
B
．
11




C
．
D
．
12





26
.
如图，数轴上
和

两点表示的数分别为
1
，点
关于点
13
的对称点为点
，则点
所表示的数是

14

A
．
B
．
15




C
．


D
．





勾股定理知识总结

一．基础知识点：

1
：勾股定理



直角三角形两直角边
a
、
b
的平方和等于斜边
c
的平方。（即：


要点诠释：


a
2
+b
2
＝
c
2
）
16

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，
是直角三角形的重要性质之一，其主< br>要应用：

（
1
）已知直角三角形的两边求第三边（在
ABC
中，

C

90

，则
c
a
2

b
2
，
b

c2

a
2
，
a

c
2
b
2
）

（
2
）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（
3
）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2
：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：
a
、
b
、
c
，则有关系
a
2
+b
2
＝
c
2
，那么这个三角形是直角三角
形。

要点诠释：
< br>勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过
“
数转化 为形
”
来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（
1
）首先确定最大边，不妨设最长边长为：
c
；

（
2
）验证
c
与
a
+b
是否具有相等关系，若< br>c
＝
a
+b
，则
△
ABC
是以
∠C
为直角的
2
2
2
2
2
2
直角三角形

（若
c
2
>a
2
+b
2
，则
△
ABC
是以
∠C
为钝角的钝角三角形；若
c
2
< a
2
+b
2
，则
△
ABC
为锐角
三角形） 。

（定理中
a
，
b
，
c
及
a< br>2

b
2

c
2
只是一种表现形式，不可认 为是唯一的，如若三角形
三边长
a
，
b
，
c
满足< br>a
2

c
2

b
2
，那么以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是直角三角形，但
是
b
为斜边）

3
：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。


17
4
：互逆命题的概念



如果一个命题的 题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，
这样的两个命题叫做
互逆命题。如果把其中一个叫 做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

6
：勾股数


①
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
a
2

b
2

c
2
中，
a
，
b
，
c
为正整数时，称
a
，
b
，
c
为一组勾股数
②
记住常见的勾股数可以提高解题速度，如
3,4,5
；
6, 8,10
；
5,12,13
；
7,24,25
等



勾股定理练习

一．

填空题：

1.
在
Rt
△
ABC
中，
∠
C=90°
（
1
）若
a=5
，
b=12
，则
c=____ ____
；

（
2
）
b=8
，
c=17< br>，则
S
△
ABC
=________
。

2 .
若一个三角形的三边之比为
5
∶
12
∶
13
，则 这个三角形是
________
（按角分类）。





A
第
8
题图

B
8
．

一
只蚂蚁从长、宽都是
3
，高是
8
的长方体纸箱的
A
点沿纸箱爬到
B
点，那么它所
行的最短路 线的长是
_____________
。



18
二．

选择题：

9
．
观察下列几组数据
:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.
其中能作为
直角三角形的三边长的有
(



)
组





A. 1












B. 2









C. 3












D. 4

10
．三个正方形的面积如图，正方形
A
的面积为（






）

6
1
A. 6










B.
４






C. 64










D. 8

A
11.
已知直角三角形的两条边长分别是
5
和
12
，则第三边为

（





）

Ａ．


１３



Ｂ．

119




Ｃ．１３或
119



Ｄ．

不能确定

12.
下列命题①如果
a
、
b
、
c
为一组勾股数，那么
4a
、
4b
、
4c
仍是勾股数；②如果直角
三角形的两边是
5
、
12
，
那么 斜边必是
13
；
③如果一个三角形的三边是
12
、
25、
21
，
那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是
a
、
b
、
c
，
（
a>b=c
）< br>，
那么
a
2
∶
b
2
∶
c
2
=2
∶
1
∶
1
。其中正确的是（


）






A
、①②



B
、①③


C
、①④


D
、②④

13.
三角形的三边长为（
a+b
）
2
=c
2
+2ab,
则这个三角形是
(





)

A.
等边三角形
;


B.
钝角三角形
;

C.
直角三角形
; D.
锐角三角形
.
14.
如图一轮船以
16
海里
/< br>时的速度从港口
A
出发向东北方向航行，
另一轮船以
12
海里
/
时的速度同时从港口
A
出发向东南方向航行，
离开港口
2
小时后，
则两船相距

（


）




A
、
25
海里


B
、
30
海里


C
、
35
海里


D
、
40
海里

15.
已知等腰三角形的腰长为
10
，一腰上的高为
6
，则以底边为边长的正方形的面积为
（


）






A
、
40


B
、
80

C
、
40
或
360

D
、
80
或
360

19
16
．
某市在旧城改造中，
计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，
已知这种草皮每平方米售价
a
元，则购买这种草皮至少需要（


）



A
、
450a
元




B
、
225a
元


C
、
150a
元


D
、
300a
元

北

20m
30m
A
南

第
14
题
东

150
°

三．解答题：

第
16
题图

19
．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个 长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出
1
尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽
4
尺，


求竹竿高与门高。




20
．一架方梯长
25
米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙
7
米，（
1
）这个梯子
的顶端距地面有多高？（
2
）如果梯子 的顶端下滑了
4
米，那么梯子的底端在水平方向
滑动了几米？







O
B
第
20
题图

B
′

A
A
′


平行四边形

平行四边形


20
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“
□

”来表示。

平行四边形性质：

平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分

平行四边形 的面积
等于底和高的积，即
S
□
ABCD
=ah
，
其中
a
可以是平行四边形的任何一
边，
h
必须是
a
边到其对边的距离，即对应的高。

平行四边形的判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形

从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

若一条直线过平行四边形对角线 的交点，
则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点
为中点，且这条直线
二等分平行 四边形的面积。


知识巩固

4.
如图，
ABCD

的对角线
AC
和
B D
相较于点
O
，如果
AC=10
，
BD=12
，< br>AB=m
，那么
m
的取值范围
是

。




1
、已知
ABCD
的 对角线交于
O
，过
O
作直线交
AB
、
CD
的反向延长线于
E
、
F
，求证：

21

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