-火锅图片

2021年2月2日发(作者：keep的过去式)
20
！
=2432902008Y7664X000
，请问
X-Y= ?
多谢回复！

解：
5*10*15*20*2=30000 => X=0




此数能被
99
整除

=
＞
2+43+29+02+8Y+76+64
是
99
的倍数

=
＞

Y=1

钟表上的追及问题

一个
n(n
≥
2)
位正整数
M
中的相邻的一个、两个、
...(n-1)
个数码组成的数叫的片段数
(
新课标提倡，数学走进生活，教科书 中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在
3
点和
4
点之间的
哪个时刻，钟表的时针与分针：
（
1
）重合；
（
2
）成平 角；
（
3
）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何
解决。实际上， 因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可
看做追及 问题。通常有以下两种解法：

一
.
格数法

钟表面的外 周长被分为
60
个“分格”
，时针
1
小时走
5
个分 格，所以时针一分钟转
个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。

个分格。因为在
3
点这一时刻，
12
时针在分针前
15分格处，所以当分针与时针在
3
点与
4
点之间重合时，分针比时针多走< br>15
个分格，于是得方程
x
4
x


15< br>，解得
x

16
。

12
11
所以
3
点
16
解析


（
1
）设
3
点
x
分时，时针与分针重合，则分针走
x
个分格，时针走
1
12
分格，分针一分钟转
1
x
4
11
分时，时针与分针重合。

（
2
）设
3
点
x
分时，时针与分针成平角。因为在
3
点这一时刻，时针在分 针前
15
分格处，而在
3
点到
4
点
x
< br>45
，
之间，
时针与分针成一平角时，
分针在时针前
30分格处，
此时分针比时针多走了
45
分格，
于是得方程
x

12
1
解得
x

49
。

1 1
所以
3
点
49
1
11
分时，时针与分针成平角。

（
3
）设
3
点
x
分时，时针与分针成直 角。此时分针在时针前
15
分格处，所以在
3
点到
4
点之间 ，时针与分
x
8

30
，解得
x

32< br>。

针成直角时，分针比时针多走了
30
分格，于是得方程
x

11
12
所以
3
点
32

二
.
度数法

对钟表而言，时针
12
小时旋转一 圈，分针
1
小时旋转一圈，转过的角度都是
360
°，所以时针
1< br>分钟转过的
角度是
0.5
°，分针
1
分钟转过的角度是
6
°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。

解析


（
1
）设
3
点
x
分时，时针与分针重合 ，则时针旋转的角度是
0.5x
°，分针旋转的角度是
6x
°。整
3
点时，时针与分针的夹角是
90
°，当两针重合时，分针比时针多转了
90< br>°，于是得方程
6
x

05
.
x

90
，解得
8
分时，时针与分针成直角。

11
x

16
4
。

11
（2
）设
3
点
x
分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了
90
°
+180
°
=270
°，于是得方程
6x

05
.
x

270
，解得
x
49
1
。

11
（
3
）
设
3
点
x
分时，
时针与分针成直角。
此时分针比时针多转了< br>90

90

180

，
于是得方程< br>6
x

05
.
x

180
，
解得
x

32
8
。

11
练一练

1.
钟表上
9
点到
10
点之间，什么时刻时针与分针重合？

2.
钟表上
5
点到
6
点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？

3.
钟表上
3
点到
4
点之间，什么时刻时针与分针成40
°的角？

4.
钟表上
2
点到
3
点之间，什么时刻时针与分针成一直线？

（参考答案：
1. 9
点
49
1
11
分；

2. 5
点
43
7
11
或
5
点
1 0
10
11
分；

3. 3
点
9

1
11
分或
3
点
23
7
7
分；

4. 2
点
43
分。
）

11
11
时钟指针重合问题的公式

根据钟表的构造我们知道，一个 圆周被分为
12
个大格，每一个大格代表
1
小时；同时每一个大格
又 分为
5
个小格，即一个圆周被分为
60
个小格，每一个小格代表
1< br>分钟。这样对应到角度问题上
即为一个大格对应
36 0°/12=30 °；一个小格 对应
360°/60=6°。现在我们把
12
点方向作为角
的始边，
把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，
则
m
时
n
分这个时 刻时针所成的角为
30
（
m+n/60
）度，分针所成的角为
6n< br>度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。若用
α
表示此时两
指针夹的度数，则
α
=30
（
m+n/60
）
-6n
。考虑到两针的 相对位置有前有后，为保证所求的角恒为正
且不失解，我们给出下面的关系式：

< br>α
=|30
（
m+n/60
）
-6n|=|30m-11n/ 2|
。


这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式，例如：求
5< br>时
40
分两指针所夹的角。把
m =5
，
n =4
代
入上式，得
α
=|150-220|=70
（度）


利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。因为两指针重合时，他们 所夹
的角为
0
，即公式中的
α
为
0
，再把时数代入 就可求出
n
。例如：求
3
时多少分两指针重合。解：
把
α< br>=0
，
m=3
代入公式得：
0=|30*3-11n/2|
， 解得
n=180/11
，即
3
时
180/11
分两指针重合 。又如：
求
1
点多少分两指针成直角。解：把
α
=90°，
m=1
代入公式得：
90=|30*1-11n/2|
解得
n=240/11
。
（另一解为
n=600/11
）


上述公式也 可写为
|30m+0.5n-6n|
。因为时针
1
小时转过
30度，
1
分钟转过
0.5
度，分针
1
分钟转
过< br>6
度
.

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周 分为
60
格。当分针走
60
格时，时针正
好走
5
格 ，所以时针的速度是分针的
5÷60=1／
12
，分针每走
60÷（
1
－
5
／
60
）
=65+5
／
11
（分）
，
于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式 ：在初始时刻
需追赶的格数÷
（
1
－
1
／
12）
=
追及时间
（分钟）
，
其中，
1
－
1
／
12
为每分钟分针比时针多走的格数。


时钟问题解法与算法公式

发表时间：
2009-08-28
编辑：
Jakie
来源：

培优教育

编者 按：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为
12
大格，按“分”分为
60
小
格。

解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按< br>“
时
”
分为
12
大格，按
“
分
”< br>分为
60
小格。每小时，时
针走
1
大格合
5
小格，分针走
12
大格合
60
小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针 的速度的，分针每小
时可追及。

1
、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？

分析：两点钟的时候， 分针指向
12
，时针指向
2
，分针在时针后
5×
2
＝
10
（小格）。而分针每分钟可追及
1
－＝
（小格），要两针重合 ，分针必须追上
10
小格，这样所需要时间应为（
10÷
）分钟。

解：

（
5×
2
）
÷
（
1
－）＝
10÷
＝
10
（分）

答：
2
点
10
分时，两针重合。


30×
2÷
（
6-0.5
）

=60÷
5.5
=120/11
=10
又
10/11
分

即
2
时
10
又
10/11
分分针和时针重合

追问

我要解释

回答

这是另一种追击问题

追击时间
=
路程差
÷
速度差

分针每分钟走
6
度，时针每分钟走
0.5
度

2
时整分针与时针相差
30×
2=60
度

在三点与四点钟之间
,
时针和分针什么时候重合
,
什么时候成一条直线< br>?
这个就是一个追击问题呗

分针的速度是时针速度的
12
倍

又时针的速度是
30度
/
小时（即
0.5
度
/
分），则分针的速度是
360
度
/
小时（即
6
度
/
分）


则重合时（
6-0.5
）
t1=90,
解得
t 1=180/11,
所以在大约
3
点
17
分的时候重合

成直线时（
6-0.5
）
t2=90+180
解得
t2= 540/11
，所以在大约
3
点
49
分的时候成一条直线

分针每分行
6
度，时针每分行
0.5
度，以
12
时 为
0
度，
3
点钟时时针在
90
度，分针为
0
度，设需要
x
分钟
重合，根据追及问题得方程：


6x=0.5x+90

5.5x=90

x=180/11=16
又
11
分之
4

即分针 在
3
点
16
又
11
分之
4
分的时候与时针 重合


分针和时针在一条直线上有
2
种情况
:

第一种情况
:
重合


分针和时针在
3
点整时相差
15
个小格


分针每分钟追时针
11/12
个小格
(
分针前进
1
小格< br>,
时针前进
5÷
60
＝
1/12
小格
)

那么分针追上时针需要
:15÷
（
11/12
）＝
180/11
（分）＝
16
又
4/11
（分）


在
3
点与
4
点之间，
3
点
16
又
4/11
分时分针与时针在一条直线上（化成代分数可以让你知道大概的重合时
间，所 以这种题化成代分数较好）



第二种情况：分针超前时针
180
度


分针和时针在
3
点整时相差
15
个小格


分针要超前时针
180
度，也就是要超前
30
个小格


分针要追时针：
15
＋
30
＝
45
（格）


一共需要：
45÷
（
11/12
）＝
540/1 1
（分）＝
49
又
1/11
（分）


在
3
点与
4
点之间，
3
点
49
又
1 /11
分时分针与时针在一条直线上


2
、在
4
点钟至
5
点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？

分析：分针与 时针成一条直线时，两针之间相差
30
小格。在
4
点钟的时候，分针指向12
，时针指向
4
，分针在
时针后
5×
4
＝< br>20
（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（
20
小格 ）并超过时针（
30
小
格）后，才能成一条直线。因此，需追及（
20
＋
30
）小格。

解：

（
5×
4＋
30
）
÷
（
1
－
1/12
）＝50÷
＝
54
（分）

答：在
4
点
54
分时，分针和时针在同一条直线上。

3
、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？

分析：分针与时针 成直角，相差
15
小格（或在前或在后），一点时分针在时针后
5×
1
＝
5
小格，在成直角，分针
必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（
5×
1
＋
15
）小格或追及（
5×
1
＋< br>45
）小格。

解：

（
5×
1
＋
15
）
÷
（
1
－
1/12
）＝
2 0÷
11/12
＝
21
（分）

或（
5×
1
＋
45
）
÷
（
1
－
1/12
） ＝
50÷
11/12
＝
54
（分）

答：在
1
点
21
分和
1
点
54
分时，两针都成直角。< br>
4
、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针 正好处在一条直线上。看完
书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂 钟一共敲过三下。（每整点，是几
点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结 束的？

分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午
12< br>点以后。
12
点以后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：（0
＋
30
）
÷
（
1
－
1/12
）＝
30÷
11/12
＝
32
（分）

即
12
点
32
分。

第二次成一条直线时刻是：（
5×
1
＋
30
）
÷
（
1
－
1/12
）＝
35÷
11/12
＝
38
（分）

即

1
点
38
分。

第三次成一条直线的 时刻是：（
5×
2
＋
30
）
÷
（
1
－
1/12
）＝
40÷
11/12
＝
43
（分）

即

2
点
43
分。

如果从< br>12
点
32
分开始，到
1
点
38
分，只敲< br>2
下，到
2
点
43
分，就共敲
5
下（不合题 意）

如果从
1
点
38
分开始到
2
点43
分，共敲
3
下。因此，小明应从
1
点
38
分开始看书，到
2
点
43
分时结束的。

5
、一只 挂钟，每小时慢
5
分钟，标准时间中午
12
点时，把钟与标准时间对准。现在 是标准时间下午
5
点
30
分，
问，再经过多长时间，该挂钟才能走到
5
点
30
分？

分析：
1
、这钟每小时慢
5
分钟，也就是当标准钟走
60
分时，这挂钟只能走
60
－
5
＝
55
（分），即速度是标准钟
速度的＝

。

2
、因每小时慢
5
分，标准钟从中午
12点走到下午
5
点
30
分时，此挂钟共慢了
5×
（
17
－
12
）＝
27
（分），也就
是此挂钟要差
27
分才到
5
点
30
分。


比较分数大小的若干方法与技巧

比较分数大小问题是初中数学竞赛的一类常见问题， 现介绍几种常用解法，以供同学们学习参考。

一、巧加数字

例
1.
（
1992
年第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）

把

1991
91
1992
92
，

，
< br>，

四个分数从小到大排列是
____________
1992< br>92
1993
93
解：
将每个分数都加上
1
，可得：



1991
1
91
1

1< br>
，


1


1992
1992
92
92
1992
1
92
1

1


1

，


1993
1993
93
93
1
1
1
1



< br>1993
1992
93
92
1992
1991
92< br>91







1993
1992
93
92
所以
所以


二、巧减数字

例
2.
（
1996
年第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）

设
a

（




）

A. a>b>c>d
C. d>b>c>a






B. c>a>d>b
D. a>c>d>b
199619 95
19951996
19951996
19961995
，
b
，
c

，
d

，
则
下列
不
等
式
关
系
中
成
立
的是
1995
1996
1995
1996
解：
设每个分数 都减去
1
，可得

a

1

c

1

19960000
19950000
，
b
< br>1


1995
1996
19950001
1995 9999
，
d

1


1995
1996
显然
a>c>d>b
故选
D

三、巧乘数字

例
3.
（
1995
年第六届“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题）

设
a

A. a>b
1994
1993
，
b

，则
a
、
b
的大小有（




）

1995
1994


B. a

C. a=b


D.
a

b

1994
1994
2

解：
因为

199 5
1995

1994
1993
1993

199 5


1994
1995

1994

(
1994

1
)(
1994

1
)

1995

1994
1994
2

1


1995

1994
所以
1993
1994< br>

1994
1995
即
a>b
故应选
A

四、巧除数字

例
4.
（
1997
年 《中小学数学》
（北京）数学奥林匹克初一综合练习题）

若
a
< br>19951995
19961996
19971997
，
b

，
c

，则（




）

19961996
19971997
19981998




B. bD. aA. a
C. c
解：
用
1
除以
a
，得

1
199 61996
1996

10001
1996
1




1


a
19951995
1995

10001
1995
1995
同理：
1
1
1
1

1

，

1


b
1996
c
1997
1
1
1


a
b
c
所以
a

b

c

故应选
A

五、巧倒数法

例
5.
（第二届“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

比较
111
1111< br>和
1111
11111
的大小。

解：
因为
1111
111

111

10

1
11 1

10

1
111

11111
111 1

10

1111

1
1111
10

1
1111

因为
1
1
111

1111

即
1111
111

11111
1111

所以
111
1111

1111
11111


六、巧求差法

例
6.
同例
2
解：
因为
a

c

19961995

199 51996
1995

0
，所以
a

c

因为
d

b

19961995

199 51996
1996

0
，所以
d

b

又因为
c

d

1995

10
4

1996
1995

1996

10
4

1995
1996

1996
1995
1995
1996

0
所以
c

d

综合以上可得
a

c

d

b

故选
D

七、巧求商法

例
7.
（
2000
年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题）

已知< br>A

1998

1999
2000

200 1
，
B

1998

2000
1998

2001
1999

2001
，
C

19 99

2000
，则有（



A. A>B>C


B. C>B>A
C. B>A>C


D. B>C>A


）

A
1999
2

1

解：
因为

B
2000
2
所以
A

B
，同理可求得< br>B

C

所以
C

B

A
，故选
B

八、巧代换法

例
8.
（江苏省泰州市初中数学竞赛试题）

已知：
A

1997
1996
1996
1995

，
B

< br>，比较
A
、
B
的大小。

1998
1997
1997
1996
解：
设
1997

a
， 则

A

a
a

1
1



a

1
a
a
(
a

1
)
a

1
a

2
1



a
a

1
a
(
a

1
)
B

因为
a
(
a

1
)

a
(
a

1
)

0

所以
A一元一次不等式解题技巧大放送



解一元一次不等式，教材中介绍的是基本方法，
但题目千变万化，遇到每一个题目要善于观察所给不等 式的特
点，结合其他知识，灵活巧妙地变通解题步骤，才可收到事半功倍的效果。

1
、巧去括号

例
1

解不等式
3
4

1
1


3
x



8


x

1
4

3
2
4


2

分析：因为
3
4


1
，所以先去中括号比先去小括号 简便。

4
3
1
1
3
x

6

x

1

2
4
2
解：先去中括号，得
两边同时减去

2
、巧添括号

1
1
x

1
，得
x


7
。

2
4
例
2

解不等式

x

1

1
1
3
x

(
x

17
)
< br>51


4
(
x

17
)

17

2

3


分析：不等式两边都 有（
x
－
17
）
，因此我们不是去括号，而是添括号，将各项整理出 （
x
－
17
）
。

解：原不等式可化为：

(
x

17
)

1

1

1
3
(
x

17
)

(
x

17
)


4
(
x
17
)

0

2

3

< br>即
(
x

17
)

1
8
1

(
x

17
)

(
x

17
)

0

2
3
4
4
1




1



(
x

17
)

0
，
x

17< br>
0
，
x

17

3
4



3
、巧用分式基本性质

例
3

解不等式
3
x

0
.< br>6
2
x

1
.
5
x

4< br>.
2
。



0
.
2
0< br>.
5
0
.
1
分析：直接去分母较繁，若先用分式的基本性质， 可以使化小数为整数和去分母一次到位。

解：由分式的基本性质，得

5< br>
(
3
x

0
.
6
)
2< br>
(
2
x

1
.
5
)
10

(
x

4
.
2
)



5

0
.
2
2

0
.
5
10

0
.
1
即
15
x

3

4
x

3

10
x
42


21
x


42
，
x


2
。


4
、巧化分母为
1
例
4

解不等式
4

6
x
0
.
02

2
x

6
.
5


7
.
5

0
.
01
0
.
02
分析：此题按常规应先利用分数的基本性 质将不等式中的小数化为整数，然后按步骤求解。但我们发现
4

6
x
0
.
02

2
x

7
.
5
6
.
5


1
，

100
(
4

6
x
)
，

1

100
x
。巧妙地去掉分母，从而简化了解题过程。

0
.
01
0
.
02
解：原式可化为
100
(
4

6
x
)

6
.
5

1

100
x

7
.
5
。

移项合并，得

500


400
，即
x


5
、巧凑整

例
5

解不等式

4
。

5

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