-

2021年2月2日发(作者：懒惰的拼音)

4
1
圆锥体积
V
锥
=

π
r²
h
等于


圆柱体积的几何论证

3
3
广东省工业技术研究院（广州有色金属研究院）

510651

邵百成


1
现在的中学生只知道圆锥体积等于同底同高的圆柱体积的
3

错误 ！
未定义书
签。
，除了用容积法和微积分法来测量证明以外，不知道用几何法可以证明 ，这
是除了网上的用水容积法和微积分法外的第三种证明方法，这种方法更直白易
懂，
这个题目是个初等数学问题，
中学课程中学了几何，
所以也应该知道它也是
几何学中的 知识问题，
可以用几何关系证明。
可是，
网上也只有容积法和微积分
法，并无 几何法。本文用几何法推导圆锥体积
V
锥
=

π
r²
h
等于


圆柱体积
的几何论证。

1
圆锥体积公式的几何推导

4
3
1
3

图
1
是圆锥体纵向剖面图，< br>是一个等腰三角形
ABO
，
与圆柱体是同底同高。
△
ABO< br>被圆柱体的中心轴线
OO
1

分割成对称相等的两部分△
A OO
1
和△
BOO
1
。
当△
AOO
1绕
OO
1
旋转一周就形成圆锥体
ABO
。依据理论力学的一个定 理，以本例来说，
一个封闭的几何图形如△
AOO
1
绕着不与此图相交的轴< br>OO
1
旋转
360
度后就形成了
一个圆锥体
ABO< br>。其体积等于△
AOO
1
的面积乘上△
AOO
1
之重 心
F
至
OO
1
轴
的垂直距
离
FG
为半径所走过的圆周之长度。

（
1
）求△
AOO
1
之重心（形心）
F
：

取
AO
1
边长之中点E
，连接
OE
，同理连接
O
1
D
及
A C
线，三根中线的交点
F
即
为△
AOO
1
之重心。

由于中线交点
F
将每一中线分成
2
：
1
之比例。又△
OFG
∽△
OEO1
，故


有FG
O
1
E
O
1
E
•
OF
=

所以
FG=

，由于
FG=
r
X
，
O
1
E=
r
，即得交点
F
到
OO
1
轴的
OF
OE< br>OE
2r
垂直距离
r
X
=

.
3
（
2
）求△
AOO
1
的面积
S
1
：

R
2r
S
1
=

•
h =

•
h = r
•
h
2
2
（
3
）重心
F
绕
OO
1
旋转一周所走过的圆周长度为
L
，则
L=2
r
X
•
π
.

（4
）求
ABO
圆锥的体积
V
锥
（按理论力学之定理）< br>：

V
锥
=S
1
•
2r
X
•

π


,
因为
r
X
=
3

r
,
所以

V
4
π
h
2

•

r²










(1)

锥
=r
•
h

•

π
•
2
•

r=
3
3
2
2
证明圆锥体
ABO
与同底同高的圆柱体
ABNJ
之体积比值为
1
：
3


图
2
圆柱体的纵向剖面

（
1
）求环形锥体< br>AOBNJ
的体积
V
分）
。

环锥
（圆柱体去除
ABO
圆锥体后的剩余部

-

-

-

-

-

-

-

-