业务员销售技巧培训-何炅刚刚好

2021年2月2日发(作者：星美451)
梯形的面积学情分析


教学内容

教

目

学

标


第五课时

梯形的面积计算
1
．
在自主探索活动中，
经历推导梯形
面积公式的过程。
2
．发展学生空间观念。培养抽象、概括和解决实
际问题的能力。
3
．掌握“转化”的思想和方法，进一步明白事物之
间是相互联系，可以转化

的。

经历推导梯形面积公式的过程。

梯
形（纸）
3
组

剪刀

一、导入新课
1
．复习平行四边形和三角形的面
积推导过程。

怎样求平行四边形的面积？我们是怎样得到它的面积
计算公式的？

怎样求三角形的面积？三角形面积计算公式是怎样推
导得到的？


教学重点

教学准备


教


根据学生回答，
教师画草图。
2
．
练习：
求平行四边形的面积。

想
一想：
有几 种方法？这样计算的根据是什么？如果是这个梯形，
它的
面积计算公式

回事怎样的？
3
．揭示课题：梯形的面积计算。


学


二、探索推导

师：

要推导梯形的面积计算公式，

我们该怎么办
呢？

（把梯形转化成我们学过的图形。

）
1
．操作学具
< br>怎样把梯
形转化成我们学过的图形呢？（学生动手操作、探究、讨论，教师作
适当指
导）
思考

：
梯形转化成了我们学过的什么图形？怎么计算它
的面积？


过

2
．信息反馈，扩展思路。

预设方法一：把两个完全一样的梯形
拼成一个平行四边形；方法二：可以把梯形分解

成两个三角形；

方
法三：把梯形分解成两个小梯形，再转化成平行四边形。
3
．归纳出梯形面积计算的方法。梯形的面积
=
（上底
+
下底）×高÷
2

程

4
．
比较梯形的面积计算公式与平行四边行的面积计算公式的异同
点。

学生独立思考后，回答。
5
．用字母表示梯形的面积公式：
S=
（
a+b
）×
h
÷
2
三、应用知识
1
．我国三峡水电站大坝的横截面的一
部分是梯形（见右图）

，求它的面积。

（
1
）理解“横截面”

，指
出上底、下底、高

（
2
）学生独立尝试完成。师对学习有困难的

学
生给予个别辅导。

（
3
）反馈。
2
．练习

36m
135m 120m

（
1
）求梯形的面积

5cm 10cm

教

6cm 5cm 5cm 10cm
10 cm
8cm
3cm

（
2
）一辆汽车侧面两块玻璃是梯形（如下图）

，它们的面积分
别是多少？

40cm
45cm 40cm
71cm

学

（
3
）探究规律

65cm
15cm
8cm

过

8cm

程


分别计算出下面每一个梯形的面积，你发现了什么？为什么它们
的面积会相等呢？

学生尝试计算，想一想：你有什么发现？

交流：
等底等高的梯形面积相等。

追问：面积相等的两个梯形一定等底等
高吗？

三、
课堂小结

通过这节课的学习，
你有什么收获？
三角形、
平行四边形、梯形的面积推导有一个共同点：转化，把转化成已知，
这

是一种很重要的数学思想。

四、课堂作业

数学课堂作业本练习


《梯形的面积》教学案例分析


合面镇中心小学

杨平

xx
年< br>11
月
23
日星期五，我与先维强校长两人在纳溪区渠坝小学
各上了一 节自主课堂交流课，我上的是五年级数学《梯形的面积》一
课，这节课的学习目标是：


⒈学会灵活运用双拼法、分割法、割补法把梯形转化为学过的图
形，
会 用已有的经验推导出梯形的面积计算公式，
并能应用这个公式
计算梯形面积。

⒉自主合作活动中培养自已的动手操作能力和逻辑
推理能力。

⒊在自主合作探究过程中体验成功的喜悦，树立学好数
学的信心。


二．教材分析


“梯形的面积”是在学生认识了梯形特征，掌握平行 四边形、三
角形面积的计算，并形成一定空间观念而且还有了一定的自主学习、
合作探究、展示交流的基础上进行教学的。
教材上并采用原来的数方
格的方法求梯形的面积，而直接给 出一个梯形，引导学生想，怎样仿
照求三角形面积的方法把梯形转化为已学过的图形来计算它的面积。< br>让学生在自主参与探索的过程中，发现并掌握梯形的面积计算方法，
让学生在数学的再创造过程中 实现对新知的意义建构，解决新问题，
获得新发展。


三、学习设计


【学习重点】推导出梯形的面积计算公式，并能运用次公式进行
计算。


【学习难点】梯形面积公式的推导。


【学习准备】学生准备：剪刀、彩色卡纸、三角尺、彩色笔等


教师 准备：每组一套梯形
:
直角梯形、等腰梯形、一般梯形各两个
完全一样的梯形。
上课前一天下发学案到学生手中，
并要求学生自主
预习完成学案，并在小组内自备材料剪一剪 、拼一拼、自主探索梯形
面积公式的推导方法。教师了解学生自主学习、探究、展示、交流的
方 式习惯等，及时指导孩子们学习展示的方法。


学案内容：


【知识链接】


⒈小学阶段我学过的平面图形有：


⒉我会算面积的平面图形有：

⒊我能转化梯形


㈠我会把两个完全一样的直角梯形拼成一个
_________________
。


㈡我会把两个完全一样的梯形可以拼成一个
________________ _
。


㈢我会把一个梯形剪成两个
____________
。

??

⒋我能在小组内把自己转化的方法说给别的同学听一听


师生课堂对话：


师：同学们还记得我们前两天学习的平行四边形和 三角形的面积
计算公式吗？还记得三角形的面积是怎样推导出来的吗？


生：转化成平行四边形。


（在学生说的同时，教师配以画图展示，让学生注意到图形的转
化。）

（点评：通过复习提问，从而唤起学生的回忆，为沟通新旧
知识的联系，奠定基础。）


师：同学们对前面的知识掌握的真不错。


师：通过 昨天同学们的自主预习梯形的面积到底该怎么计算呢？
今天，让我们共同来研究。（板书课题：梯形的面 积）


学案内容：


【自学展示】


⒈我能推导梯形面积公式


㈠我在探索三角形面积公式中，成功运用双拼法或割补法把求三
角形面积转化为求平行四边形面 积，从而推导出了三角形面积公式，
今天我也能利用手中工具把梯形转化为我会求面积的图形，
从而推导
出梯形面积计算公式：


⑴双拼法：我用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。


①拼成的平行四边形的底等于梯形的
____________

②拼成的平行四边形的高与梯形的高
____________

③拼成的平行四边形的面积表示为
__________________

④而这个平行四边形是由两个完全一样的梯形拼成的，因此这个
梯形的面积等于拼成的平行四边 形面积的
_____
，所以要除以

，最
后我得到的


梯形的面积公式表示为
__________________

⑵分割法：我用剪刀把一个梯形剪成两个三角形。


①

其中一个三角形的面积是
_____________________

②

另一个三角形的面积是
_____________________

③这个梯形的面积是这两个三角形面积之
_,
因此我得到梯形的
面积公式表示为


⑶我还有别的方法或我学到的其它方法是：


我探索的方法或学到的其它方法过程是：


温馨小提示：给别人讲解 你的方法时，可先画出示意图，结合图
讲，别人可能更容易懂哦！


师生课堂对话：


师：通过预习你认为我们该从哪儿入手研究呢？


生：可以先转化为学过的图形


师：在我们生活中有很多这样的梯形 ，而且需要我们计算它的面
积。
那么到底该怎样计算它的面积呢？我有个建议，
发挥小 组的力量，
共同合作探究。


（点评：启发学生运用已学的知识，充 分发挥小组合作学习的作
用，大胆提出猜测，激发学生的探索新知的欲望，又使学生明确了探
索 目标与方向。）


师：现在老师给每组提供一套梯形材料，小组内根据自主预 习学
案所得合作探究图形的转化过程，
并在自己的小组展示区准备好展示
的内容，讲解 员准备说词。


师：下面我们共同来研究梯形的面积计算方法。小组全作的要求
如下：
a.
利用你们小组的梯形学具，先独立思考能把它转化成已学
过的什么图形。
b.
把你的方法与小组成员进行交流，共同验证。

c
．选择合适的方法交流汇报。


生：学生小组合作讨论，动手操作 ，教师巡视参与并给以适当的
指导。各小组在各自展示区上黑板展示。


师：同学们已经用不同的方法转化成了我们学过的图形，哪一个
小组先派代


表给同学们讲解，其他时小组的同学可以随时提问。


生
1
：
我们小组的方法是用两个相同的梯形拼成一个平行四边形。


（学生边动手演示，边说转化过程：梯形上、下底的和等于拼成
后平行四边形的 底，
梯形的高就是平行四边形的高。
梯形的面积是所
拼平行四边形面积的一半。梯形的 面积
=
（上底
+
下底）×高÷
2
）


生
2
：我们小组是把梯形沿两腰中点剪开，变成两个小梯形，再
转化成平行四 边形。
（学生边动手演示，边说转化过程，学生讲解不
清，教师参与点化）


生
3
：我们取了两个相同的直角梯形，因此，拼成的图形是长方
形。（学生边动手演示，边说转化过程。）


学案内容：


【互助探究】


⒈把各种方法得到梯形面积公式写在下面：


双拼法：梯形面积
=_________________________

分割法：梯形面积
=_________________________
法：梯形面积
=

对比各种方法推导出来的梯形面积计算公式，我们可以这样来判
断对与错：

⑴数字验证法：我们可以把“上底”“下底”和“高”
设定为具体的数，
然后分别放进各个梯形 面积公式中去计算，
最后看
看两个算式的结果是否相同。试试吧！


通过计算我们发现：不同公式计算出的结果都相同，说明我们得
到的公式是正确的，但最简洁好 记的公式是：梯形的面积
=

⑵公式化简法：（若探究不明白，课堂上寻求老师帮助。）


⒉我会算
(
公式运用
)

㈠从梯形面积公式中， 我可以得知：要求一个梯形的面积，我们
必须要知道它的
_____
、
___ __
和
_____
。


㈡在例二中我能找出需要的条件，我还能算出它的面积：


____ __________________________________________________ _____
_________________________________________ __________________
___________ _

师生课堂对话：


师：同学们介绍了各种方法，每一种方法中梯形的面积为什么要
除以
2
？

生：因为拼成的平行四边形有两个梯形，求一个梯形就需
要除以
2
。


师：请同学们再任选一种转化方法进行推导，验证梯形的面积计
算公式和刚才的 是否一致。


师：
如果用
S
表示梯形的面积，用
a
、
b
和
h
分别表示梯形的上底、
下底和高 ，那么梯形面积的计算公式应怎样表示？


板书：
S=
（
a+b
）
h
÷
2

（学生在得出梯形面积的计算公式后，安排计算堤坝横截面的面
积）


（点评：这部分内容是这一节课的重点，也是难点。在激发起了
学生的探究欲望 后，
采用了小组合作学习这种方式，
让他们主动探究、
大胆猜测、
积极验证的 教学方法。
使学生在数学学习活动中相互合作，
主动探索，真正处于课堂教学的主体地位，把新 知识转化为旧知识。
新知、
旧知有机的融为一体，
让学生通过实际操作来推导出梯形的 面
积计算公式并运用公式进行计算，
整个过程都由学生自己来完成，
那
怕是学 生语言表述不清、
不准，
在教师的点化下使学生从中体验到了
成功的喜悦。）


《梯形的面积》教学设计


教学内容


《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）五年级上册第
88~91页。


学情与教材分析


“梯形的面 积”是在学生认识了梯形特征，掌握了平行四边形、
三角形面积的计算，
并形成一定空间观念的 基础上进行教学的。
因此，
教材没有安排用数方格的方法求梯形的面积，而直接给出一个梯形，
引导学生想，
怎样仿照求三角形面积的方法把梯形转化为已学过的图
形来计算它的面积 。
让学生在自主参与探索的过程中，
发现并掌握梯
形的面积计算方法，
让学生 在数学的再创造过程中实现对新知的意义
建构，解决新问题，获得新发展。


教学目标

1
、在自主探索、合作交流中经历梯形面积公式的推导过 程，掌握
梯形面积的计算方法，并能灵活运用公式解决相关的数学问题。

2
、通过观察、猜想、操作等数学活动，发展空间观念和推理能力
获得解决问题的多种策略，感受 数学方法的内在魅力。

3
、体验数学“再创造”的乐趣，获得个性化的发展。


教学重难点


教学重点：掌握梯形面积公式并会正确计算梯形的面积。


教学难点：理解梯形面积公式的推导过程。


教学准备


梯形学具、电脑课件。


教学过程


一、铺垫孕伏，以旧引新


师：同学们，我们在学习 平行四边形和三角形面积的计算时，学
到一种非常重要的学习方法，
还记得是什么方法吗？谁来 说说平行四
边形和三角形的面积是怎样推导出来的？


（根据学生所述，教师用电脑演示平行四边形和三角形面积公式
的推导过程。）


师：推导平行四边形和三角形面积公式时，我们都用到了转化的
方法，
把我们要研究的图形转化成已经学过的图形来发现它们之间的
联系，进而推导出面积计算的公式。


【设计意图】：采用多媒体演示，直观地再现平行四边形和三角
形面积公 式的推导过程，吸引了学生的注意力。与此同时，唤起学生
的回忆，沟通了新旧知识的联系，为新知迁移 做好准备。


二、设置情境，提出问题

1
、情境创设。（电脑演示）


师：某厂家要为幼儿园制作一批桌椅 ，桌面是梯形的，上底
80
厘
米，下底
120
厘米，高
70
厘米，做这样一个桌面要用多大的木板是
求什么？


（学生会异口同声说出“梯形的面积”，教师同步演示从实物图
抽象出梯形图。）


（教师板书：梯形的面积）


【设计意图】：数学知 识与学生生活实际相联系，使学生容易感
受、体会到数学知识的实际意义及其用处。所以，从学生的生活 经验
出发，呈现梯形的实际情境，让学生感受计算梯形面积的必要性。

2
、提出问题。


师：
在我们的生活中有很多这样的梯形需 要我们计算它们的面积，
但是梯形面积的计算方法我们还没有学过，
你猜想梯形的面积可能与< br>什么有关？你想怎样推导出梯形面积的计算方法呢？


学情预设：学生 会根据已有的知识经验判断梯形的面积可能与它
的上底、
下底和高有关，
并猜想推导梯 形的面积计算公式要把它转化
成一个已经学过的图形，
学生可能会说出平行四边形、
长 方形甚至是
三角形。教师在这里要对学生的多种猜想都予以积极评价。

师：
同学们都有了推导公式的初步想法，
不管你转化成什么图形，
总的思路都是把 梯形转化成我们学过的图形，
找到图形间的联系，
推
导出梯形的面积公式。任何猜想都 要经过验证，才能确定是否正确。
那你想不想马上动手试一试呢？


【设计意图】：猜想验证的过程也是学生主动参与数学知识探索
的过程。启发学生运用已学的知识，大胆 提出猜测，激发学生探究新
知识的欲望，
又使学生明确了探究的目标与方向，
即用科学 探究的方
法进行研究。
体现了学生的主体地位，
才能让学生真正经历知识的形
成过程。


三、提供材料，自主探究

1
、介绍学具。


师：老师为每位同学都准备了一个一般梯形、一个 直角梯形、一
个等腰梯形。想一想，用这些梯形能完成验证任务吗？如果不能，该
怎么办？

【设计意图】：为学生准备一组这样的学具，是要激起学生学习
的热情 ，激活经验储备，点燃创新思维的火花。只凭学生自己手中的
梯形是完不成拼组的，
需要到同学 手中寻找他所需要的另外一个完全
相同的梯形才能完成任务。

2
、研究建议。


师：在你们动手操作之前，老师要提这样三点建议 ：
（
1
）选择你
们喜欢的梯形，
先独立思考能把它转化成已学过的什 么图形，
再按照
“转化—


找联系—推导公式”的思路来研 究；
（
2
）把你的方法与小组成员
进行交流，
共同验证；
（
3
）
选择合适的方法交流汇报。
我们比一比，
哪个小组想到的方法多 ，动作快。


【设计意图】：由原来向学生提供操作要求转变成向学生提出研
究建议，体现了教师角色的转变。在实际研究中，教师让学生先独立
思考，
每个学生对 问题有了自己个性化的认识后，
再引导学生进行合
作交流。让学生在观察、比较、判断、交流、 反思等活动中自己实现
知识的意义生成和构建，
同时会有多种不同的策略和解决办法，
使学
生在交流中学会倾听，在倾听中拓展思维。

3
、合作学习。


学生小组讨论，动手操作，教师巡视参与，了解情况。


学情预设： 在操作实验中，学生的思维水平不同，选择的学具不
同，可能会出现多种解决问题的策略，有分割的方法 ，也有拼摆的方
法；
有转化为平行四边形进行推导的，
也有转化为三角形进行推导的。
教师要留给学生比较充分的操作和交流的时间和空间，
同时要及时进
行点拔和引导。< br>
4
、汇报展示。


师：同学们已经用不同 的方法把梯形转化成了多种图形，并推导
出梯形面积的计算公式，
真是了不起！
现在让 我们共同来欣赏每个小
组的成果。


（
1
）展台展示“拼组”的方法。


学生一边演示拼组过程，一边介绍方法步骤。


方法一：梯形面积公 式的推导方法与三角形面积公式的推导方法
相同，
运用
“拼”
的方法，
选择两个形状相同、
大小相等
（完全一样）
的梯形可以拼成一个平行四边形，
每个梯形的面积就是所拼成的平行
四边形面积的一半。
梯形上底与下底的和等于拼成的平行四 边形的底，
梯形的高等于平行四边形的高，由此得出：


梯形的面积＝平行四边形的面积÷
2

＝底×高÷
2

＝（上底＋下底）×高÷
2

课件演示变化过程。


师：这个方法很好！老师还发现有的同学拼成 的是长方形，让我
们来看看他们又是怎么拼的呢？


方法二：选择两个形状相同、大小相等的直角梯形可以拼成一个
长方形。


如图：


下底

上底

下底

上底


＋

＝


上底

下底

上底

下底


师：这样拼能推导出梯形的面积公式吗？请一位同学代表你们小
组把拼组的思路 叙述出来。


特别建议：这个环节中要求学生要表述条理、清晰。因为每个梯
形的面积就是所拼成的长方形面积的一半，
直角梯形上底与下底的和
等于拼成的长方形 的长，梯形的高等于长方形的宽，所以，根据长方
形的面积计算公式就可推导出梯形的面积计算公式：< br>

梯形的面积＝长方形的面积÷
2

＝长×宽÷
2

＝（上底＋下底）×高÷
2

师：同学们不仅动手能力特别强，公式的推导过程也叙述得特别
条理、
清晰。
那么两个怎样的梯形可以拼成正方形呢？同学们试着想
象一下。


学 情预设：学生通过观察、想象、实际操作，会得出结论：形状
相同、大小相等的直角梯形且上底与下底的 和正好与梯形的高相等，
这样的两个梯形可以拼成一个正方形。


师：对！只要是两个完全一样的梯形就能拼成一个平行四边形或
长方形或正方形。


师：
刚才展示的两种方法都是把两个完全相同的梯形经过
“拼组”之后转化成一个已学过的图形。
还有哪些同学的方法更有意思呢？快
来展示吧！


（
2
）展台展示“割补”的方法。


师：有的同学只用自己手中的一个梯形就完成了任务，我们快来
分享他们的成果吧！


方法三：把一个梯形分割成两个三角形
a
和
b
。

a
的面积＝上底×高÷
2
b
的面积＝下底×高÷
2

所以，梯形的面积＝
a
的面积＋
b
的面积


＝上底×高÷
2
＋下底×高÷
2

＝（上底＋下底）×高÷
2

如图：


上底

上底


下底

下底


学情预设：对公式的这种推导过程有部分学生感到理解困难， 教
师要发挥引导者、合作者的作用，及时进行点拨指导，帮助学生逐步
理清思路。


师：
在公式的推导过程中应用了乘法分配律，
非常巧妙，
很独特！

师：噢，有的同学也只用自己手中的一个梯形就完成了任务，方法又
与上面的不同，大家动手与 他们一起来验证吧！


方法四：把一个梯形剪成两个梯形再拼成一个平行四边形。


学情预 设：通过实际操作，将梯形对折，使上下底重合，沿折线
将梯形剪开，就可以拼成平行四边形（如下图） 。拼成的平行四边形
的底就是梯形的（上底＋下底），高是梯形高的一半。平行四边形的
面积就 是梯形的面积，所以：


梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷
2

上底


下底

上底


师：同学们能够设法将新问题转化成已经学过的问题来解决，这
本身就是一种了 不起的创造。善于观察，勇于实践，才能给大家带来
如此多的发现。
在这些方法中，
你 最喜欢哪一种？能说说喜欢的理由
吗？（教师大屏幕呈现学生喜欢的方法）


【设计意图】：多媒体演示，能使原来用实物不好展示的部分得
到充分展示，降低了观察的难度 ，突出了观察的重点。随着实物—实
物图—平面图的显示，
学生的空间意识一步步得到增强，< br>空间观念不
断得到发展。同时，由于多媒体提供悦耳的音乐、和谐的色彩，流畅
的动感， 给学生以强烈的美感，在这种情景交融的气氛中，学生的思
维被进一步有效激活，大大提高了教学效果。


特别建议：
在整个汇报展示过程中，
教师要把学生当成教 学资源，
注意反馈学生的不同方法和想法，并组织学生实际操作，互动交流。
或启迪学生深思， 或引发学生争论，或碰撞思维火花，让学生在对话
中达成意义的理解和方法的掌握。


四、归结总结，提高认识

1
、公式。


师：同学们真爱动脑筋，想出了这么多的方法，老师非常欣赏你
们的创新能力。
这些方法虽然操作过程不同，
但是同学们一定感觉到
它们之间是有共同点的，谁来说一 说共同点是什么呢？


知识链接：这个共同点就是用“转化”的方法推导出梯 形的面积
计算公式为：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷
2
。

2
、自学字母公式。


师：前面我们学习了平行四边形和三角形面积 计算公式的字母表
示方法，简单明了，便于记忆，同学们非常喜欢。现在就请同学们自
己用字母 表示梯形的面积计算公式。


知识链接：用
s
表示梯形的面 积，用
a
表示梯形的上底，
b
表示
梯形的下底，
h
表示梯形的高，
s
＝（
a
＋
b
）×
h
÷< br>2
。


五、实践运用，解决问题

1
、出示例题：我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是梯形，求
它的面积。


（课件动态演示横截面的示意图，帮助学生理解横截面的含义，
明确直角梯


形的高也是它的一个腰长。）

2
、师：梯形的的用 途很广泛，在很多物体中经常会看到梯形。下
面我们来解决一些日常生活中的问题。


（
1
）出示篮球场的罚球区图形，请计算出罚球区的面积。

5.8
米

6

米
3.6
米


（
2
）
出示汽车的侧门窗户，
要制作这扇车门的窗户需要多少平方
厘米的有机玻璃？
30
厘米

20
厘米

50
厘米

3
、
（出示图）师：这是学校靠墙的一个花坛，周围篱笆的长度是
46m
，你能


算出它的面积吗？比一比，谁的观察力最强，解决问题的本领最
高？

20
米


【设计意图】：学习生活中的数学是课标精神的体现。练习 题的
设计，
把所学知识与实际生活紧密联系起来，
既有基础知识和基本技
能的 训练，又有综合性的题目，使学生体会到数学与生活的联系。培
养了学生用数学眼光认识事物，
应用数学的意识，
从而进一步体会数
学的应用价值。


六、反思收获，拓展延伸


师：这节课同学们在探索的过程中发挥了 自己的聪明才智，创造
出了多种推导梯形面积计算公式的方法，
而且能够用所学知识解决生活中的的问题，
老师相信同学们一定有许多的收获。
你还有什么疑问
吗？


特别建议：练习和总结的环节要注意三点：一要加强对个别学有
困难的学生的指 导和帮助；
二要对学生学习过程中可能出现的问题及
时进行纠正；
三要关注学生对数学 课堂学习收获的表述，
促使学生形
成积极的学习心理。


本节课设计思路


本课的设计体现了以下几个特点：

1
、力求体现“以学生发展为本”的课堂教学理念


学生已有了平行四边形、三角形面积计算公式推导方法的经验，
本节课在思路上淡化教师教的痕迹，突出了学生学的过程。
为学生创
设了一种
“猜想”
的学习情境，
先让学生大胆猜想，
进而是实践检验。
“猜想”
成为学生自身的需要，
使运用 科学探究的方法进行探究学习
成为可能。

2
、以活动为主线，以“动”促“思”


本节课力求让学生自己去发 现和概括梯形的面积公式，在探究的
过程中发展学生思维的创造性。
为了达到这一目的，
让学生动手操作，
分组合作探究，初步概括出梯形的面积公式。这样，通过“拼、剪、
割”的 活动过程，让学生在活动中发现，活动中体验，活动中发散，
活动中发展。同时，又由于各项活动的设计 环环相扣，步步深入，不
仅激发了学生探索学习的兴趣，
同时学生思维的的深度和广度也得到< br>了有效的培养。

3
、使学生的自主探索在“时空”上得到保证


一系列的教学设计充 分体现学生的主体意识，用眼看、用手做、
用耳听，用嘴说，
用脑想，让每一位学生都在亲自实 践中认识理解新
知。
而教师则体现指导者、
参与者的作用。
当学生受现有知识 的制约，
推导概括公式思维停滞时，
教师实施点拨诱导，
促其思维顺畅、
变通 ，
最后使学生明确，尽管剪拼的方法不同，但都达到了“殊途同归”之
效，即从不同的思维角度 验证了梯形的面积公式。将发散与收敛、直
觉与逻辑这种对立统一的思维方式有机地融为主体动态式的思 维结
构。


《梯形的面积》教学实录与评析


黑龙江省宁安市海浪镇中心小学

执教者：刘言江


黑龙江省宁安市海浪镇中心小学

评析者：李

丽

教学内容
:

人教版
《义务教育课程标准实验教科书

数学》
五年级上册第五单
元“梯形的面积”。


教材分析：


“梯形的面积”是在学生认识了梯形特征，掌握平行四 边形、三
角形面积的计算，并形成一定空间观念的基础上进行教学的。因此，
教材没有安排用数 方格的方法求梯形的面积，而直接给出一个梯形，
引导学生想，
怎样仿照求三角形面积的方法把 梯形转化为已学过的图
形来计算它的面积。
让学生在自主参与探索的过程中，
发现并掌 握梯
形的面积计算方法，
让学生在数学的再创造过程中实现对新知的意义
建构，解决新 问题，获得新发展。


教学目标
:
1.
在自主探索、合作交流中经历梯形面积计算公式的推导过程
,
掌握梯形面积的计算方法
,
并能灵活运用公式解决相关的数学问题。

2.
在探究的过程中继 续渗透
“转化”
思想
,
培养学生用多种策略解
决问题的意识
,
进一步培养学生动手操作能力及识图能力。

3.
通过探索活动激 发学生的学习兴趣
,
培养勇于探索、
乐于合作的
精神
,
并感 受数学与生活的密切联系。教教学学重重点探究梯形面积
计算公式的推导过程
,
并能灵 活运用公式解决相关的数学问题。


教学重难点：


让学生利用已有知识和学习方法自主探究
,
发现并掌握梯形的面
积计算方法。


教具准备：


两个完全相同的梯形学具
(
两种颜色
)
、电脑课件。


教学过程：


（一）复习准备

1
．复习旧知，铺垫引导


师：同学们还记得我们前两天学习的平行 四边形和三角形的面积
计算公式吗？还记得三角形的面积是怎样推导出来的吗？


生：
转化成平行四边形。
（在学生说的同时，
教师配以投影展示，
让 学生注意到图形的转化。）


（点评：通过复习提问，从而唤起学生的回忆，为沟通新旧知识
的联系，奠定基础。）


师：同学们对前面的知识掌握的真不错。


（二）新知探索


（一）呈现实际情境，感受计算梯形面积的必要性


师：这里有一个灌溉堤坝的横截面如下图，它的面积是多少？


师： 梯形的面积到底该怎么计算呢？今天，让我们共同来研究。
（板书课题：梯形的面积）


师：你认为我们该从哪儿入手研究呢？


（学生思考片刻可能会回答：可以先转化为学过的图形）


师：在我 们生活中有很多这样的梯形，而且需要我们计算它的面
积。
那么到底该怎样计算它的面积呢？我 有个建议，
发挥小组的力量，
共同合作探究。


（点评：启 发学生运用已学的知识，大胆提出猜测，激发学生的
探索新知的欲望，又使学生明确了探索目标与方向。 ）


（二）提供材料，自主探究图形的转化过程

1
、提出小组合作的要求


师：下面我们共同来研究梯形的面积计算方法。小组全作的要求
如下：
a.
利用你们小组的梯形学具，先独立思考能把它转化成已学
过的什么图形。
b.
把你的方法与小组成员进行交流，共同验证。

C
．选择合适的方法交流汇报。

2
．自主探究，合作学习

（学生小组合作讨论，动手操作，教师
巡视参与并给以适当的指导。让部分小组上黑板展示）< br>
3
．全班汇报交流


师：同学们已经用不 同的方法转化成了我们学过的图形，哪一个
小组先派代表给同学们讲解，其他时小组的同学可以随时提问 。


生
1
：
我们小组的方法是用两个相同的梯形拼成一个平行四边形。


（学生边动手演示，边说转化过程。）


生
2
：我们小组是把梯形沿两腰中点剪开，变成两个小梯形，再
转化成平行四边形。


生
3
：我们取了两个相同的直角梯形，因此，拼成的图形是长方
形。


（三）探索、归纳梯形的面积计算公式


师：同学们 介绍了各种方法，现以第一种转化为平行四边形为例
（实物投影出示）
，
这一个梯形和 转化后的平行四边形有什么联系？
怎样推导其面积公式？

生：梯形上、下底的和等于拼成后平行四边
形的底，梯形的高就是平行四边形的高。


生：梯形的面积是所拼平行四边形面积的一半。


生：梯形的面积
=
（上底
+
下底）×高÷
2

（教师板书梯形面积计算公式）


师：一个梯形的面积为什么要除以
2
？


生：因为拼成的平行四边形有两个梯形，求一个梯形就需要除以
2
。

师：请同学们再任选一种转化方法进行推导，验证梯形的面积计
算公式和刚才的是否一致。


师：
如果用
S
表示梯形的面积，
用
a
、
b
和
h
分别表示梯形的上底、
下底和高，那么梯形面积的计算公 式应怎样表示？


板书：
S=
（
a+b
）
h
÷
2

（学生在得出梯形面积的计算公式后，安排计算堤坝横截面的面
积）

（点评：这部分内容是这一节课的重点，也是难点。在激发起
了学生的探究欲望后，
采 用了小组合作学习这种方式，
让他们主动探
究、大胆猜测、
积极验证的教学方法。使学 生在数学学习活动中相互
合作，主动探索，
真正处于课堂教学的主体地位，把新知识转化为旧< br>知识。新知、旧知有机的融为一体，让学生通过实际操作来推导出梯
形的面积计算公式并运用公式 进行计算，
整个过程都由学生自己来完
成，使学生从中体验到了成功的喜悦。）


（三）联系实际，巩固运用

1
．试一试


引入：梯形的用途很广泛，在很多物体中都经常看到梯形。下面
我们来解决一些 日常中的问题，计算下列梯形的面积


（
1
）出示篮球场的罚球区图形，请计算出罚球区的面积。


（
2
）
出示汽车侧面玻璃，
要制作这扇门的窗户需要多少平方厘米< br>的有机玻璃？

2
．课后做一做，让学生独立完成。

3
．练习十七
2
、
3
、
4
、
5
让学生独立完成后，集体订正。

4
．思考题


我们经常见到圆木，
钢管等堆成下图的形状
（出示课本第
91
页第
6
题），求图中圆木的总根数，你有几种解答方法？


（四）课堂小结


师：通过今天的上课，谈谈你的收获。


五．教学总评


《数学课程标准》指出：动手实践、 自主探索与合作交流是学生
学习数学的重要方式，
本课的教学应该说较好地落实了这一理念。< br>具
体体现在：

1
．学习方式的变化是本节课最突出的一个特 点。如：在“探索新
知”这一环节中，
改变了过去由教师讲解、代替学生操作的传统教学
方式。通过“动手实践—小组内交流—选择可行的方法”这样三个步
骤，完成了转化和归纳的全过程。 突出体现了“学生是学习的主人”
这一新理念。
充分调动了学生学习的主动性，
激发了 学生探究的欲望。
使学生在不断地探索、
合作、
交流中经历了知识的形成与发展的全过
程，并从中体会到了探究所带来的乐趣。

2
．
第二个突出 的特点是把所学知识与实际生活紧密联系起来。
如
练习题的设计就突出体现了这一点。
通过计算学生比较熟悉的篮球场
中的罚球区图形的面积，
某些汽车侧面的玻璃面积等实际生活中 的问
题，
使学生体会到数学与生活的联系。
培养了学生用数学眼光认识事
物， 应用数学的意识，从而进一步体会数学的应用价值。


程序设计与算法语言
________
实验报告


姓名

实验项目

学号

求梯形面积

、

日期

指导教师
xx.10.15
、


一、上机实验的问题和要求（需求分析）

：

问题描述：计算梯
形的面积，观察其结果。通过该实验了解如何求函数结果。

问题分
析：输入梯形的上底，下底，高；输出梯形的面积。通过编写程序，
修改，求出正确< br>
结果。

运行环境：
C++6.0
二、程序设计的基本思
想，原理和算法描述：

该问题的算法简单，

主要是进行梯形的面积
运算，

数据的输入采用在程序中给变量赋值

的方法。
算法流程序图
如下：
S1
：
a,b,h S2:C=a+b,s=(c*h)/2 S3:s

三、源程序及注释：
#include
void
main()
{
float
a,b,h,c,s;
scanf(

《梯形面积的计算》是人教 版数学第九册内容。听过学区本节公
开课
,
确有可借鉴之处，同时也存在一些问题，值 得深思。


教学成功之处主要体现在以下几点：


一、首尾照应实现数学价值。


由实际事件“帮工人师傅计算花坛面 积”引出探究主题——梯形
面积的计算，得出结论后，
运用公式解决这一实践问题。教师创造性
使用教材，
改变例题为学生身边常见事物，
始终将数学置于生活背景
之中，充 分体现数学“生活，回归于生活”的理念，实现数学的应用
价值。


二、转化推理蕴涵思想方法。


“梯形面积的计算”是在平行四边形 、三角形面积计算的学习基
础之上提出的。
教师首先请学生回忆了三角形面积的推导方法，使学
生意识到梯形也可与学过的其他图形产生联系，
从而计算出面积。
让
学生把陌生的知识自主地转化为已有的知识经验，
体现了迁移、
转化
思想，也落实了< br>“数学要在学生已有的知识背景下学习”这一教学理
念。


三、合作探究促进创造思维。


在学生独立思考、自主探索的基础上 组织合作交流是本节课的重
点环节。苏霍姆林斯基说过：
“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的
需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童
的精神世界中，这种需要特 别强烈。”面对同样的问题，学生会出现
不同的思维方式。
利用梯形与其他图形的联系求梯形面 积，
学生有着
不同的做法：有的利用等腰梯形、有的利用直角梯形、有的利用普通
梯形 ，有的拼成了长方形，
有的拼成普通的平行四边形；有的把梯形
分割为平行四边形与三角形…… 自由的探讨交流带来的是思维的充
分扩展，是质的飞跃。在独立思考的基础上进行合作交流，能满足学< br>生展示自我的心理需要；通过师生互动、生生互动，促使学生从不同
角度去思考问题，
对 自己和他人的观点进行反思与批判，
在各种观点
相互碰撞的过程中迸发创造性思维的火花。

考问教学细节，又发现一些问题：


镜头一 ：利用公式求梯形面积的练习中，一同学列式为（
3.5+2
）
×
8
÷
2
，而原图中，
3.5
为下底，
2
为上底。教师强调：“ 这样做不
对，应为上底加下底，也就是（
2+3.5
）”。


“上底加下底”与“下底加上底”，对于求梯形面积而言，究竟
有何区别呢？教师本不宜如此“ 循规蹈矩、照本宣科”。倘若该同学
反问：
“
把这个梯形倒过来，
面积是不变 的。
那么我的算式是否正确？”
教师该如何应答？可惜，
没有一个同学提出质疑。教师强依公式而下
的结论显然并不合适，为什么却无人指出？“公式是不可不依的”、
“老 师的结论是不可推翻的”……“一言堂”教学的印痕桎梏着师生
的思维，使“探究”有时不免流于形式。 对学习而言，这是可怕的。
“学起于思，思起于疑。”“学贵有疑，疑则进也。”要真正发挥学
生的主体作用，必须鼓励学生善疑、敢疑。当然，这需要教师的能力
与勇气——自我质疑的能力、承认错 误的勇气。


镜头二：学生在练习本上完成了习题，在教师示意下走上讲台，
利用投影把答案展示给大家。第一次展示，同学们趣味盎然；二次、
三次过后，变得兴味索然。 几声简单的“对”、“同意”，使课堂气
氛趋于沉闷。


作为教学辅 助手段，多媒体愈来愈受到师生青睐。但是，多媒体
的运用必须把握好“度”。不是所有环节都适合使用 多媒体，不是任
何步骤的实施都需要多媒体。
学生练习的是几道非常简单的基础性题
目 ，正确率相当高，教师巡视时也能发现这点，那么，以口答的形式
订正不仅简单明了，
更节省了 宝贵的课堂时间。
对于稍有难度的题目，
则可以利用多媒体展示的方式，
组织学生进行 短时间交流，
使学生知
其然亦知其所以然，而不是简单地回答“对”或者“错”。


《曲边梯形的面积》教学设计


一、教学内容解析


本节课是人教
A
版选修
2-2
第一章第五节《定积分的概念》的起
始课．
曲边梯形的面积是定积分概念的几 何背景，
求曲边梯形面积的
过程蕴涵着定积分的基本思想方法，
为引入定积分的概念和 体会定积
分的基本思想奠定基础
.

二、学生学情分析


本节课的教学对象是理科平行班的学生．学生在本节课之前已经
具备的认知基础有：

一是学生学习过如何估计和计算不规则图形的
面积，
比如通过割补的方法将不规则图形 转化为若干规则图形来计算
面积；在学习算法时了解了割圆术的基本思想和操作方法．


二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过


这个结论．


三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对
极限有了初步的认识．

学生在本节课学习中将会面临两个难点：


一是如何“以直代曲”， 即学生如何将割圆术中“以直代曲，近
似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是： 如
何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使
细分的过程程序化且便于 操作和计算．


二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边 图
形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值．


三、教学目标设置


根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，我确定了本节课的
教学目标：
1. < br>理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——
“分割—近似代替—求和—取极限”．

2.
经历求曲边梯形面积的过程，
体验
“以直代曲”
和“无限逼近”
的思想方法，感受数学中的转化与化归思想．

3. 通过曲边梯形的面积这一实例，
了解定积分的几何背景，
借助
几何直观体会定积分 的基本思想．


本节课的重点是：探究求曲边梯形面积的方法．


本节课的难点是：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作
的步骤，理解“ 无限逼近”的思想方法．


四、教学策略分析

< br>根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教
师设疑引导，
学生自主探 究”
的教学方法．
通过问题激发学生的思维，
鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其 在探究中对问题本质的思考
逐步深入，思维水平不断提高．


针对本 节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用
从一般到特殊再到一般的教学过程，
先 通过讨论一般的曲边梯形如何
以直代曲，再通过特例应用实施，小结步骤，最后进行一般推广，共
性归纳，
从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，
突出教学重点．


本节课的难点之一就是如何“以直代曲”．针对这个难点，教学
中采取两个措施．
一是 引导学生在回顾割圆术的过程中思考：
为什么
用正多边形计算圆的面积？为什么让边数逐次加倍 ？
*
“越来越接
近”
？通过以上几个问题的讨论使学生对割圆术的认识不 仅仅停留在
思想和方法层面，
同时使学生对具体的操作程序有一定的认识．
二是
通过分组的方式让学生进行自主探究，
通过分析和比较各种方案优劣
繁简，为后面的具体操作 奠定基础．


本节课的另一个难点是对“极限”和“无限逼近”的理解．针对
这个难点，
教学中先分别采用图形、
数表两种方式呈现逐渐细分和无
限逼近的 过程，
再在此基础上引出取极限的方法，
使学生从感性认识
上升到理性认识的过程水到 渠成．


五、教学过程


为实现本节课的 教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性
原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题 引入，明确
主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼
本质”四个阶段 ．


（一）问题引入，明确主题

这一阶段的教学任务是：

1.
让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形
的区别是什么？
2 .
让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲
边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转 化成我们熟悉的直边
图形面积问题？


（二）类比探究，形成方法


这一阶段的主要问题是如何获得解决曲 边梯形面积问题的思想以
及把思想转化为可操作的方法．为了使学生不偏离本节课主要任务，
这 一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学．

1.
温故知新，铺垫思想


问题
1
：我们在以前的 学习经历中有没有用直边图形的面积计算
曲边图形面积这样的例子？


问题
2
：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为
什么要逐次加倍正多 边形的边数？


设计意图：通过问题
1
引导学生回忆割圆术 的作法，通过问题
2
并结合计算机模拟割圆术，引导学生思考割圆术中的思想方法——
“以直代曲”和“无限逼近”．

2.
类比迁移，分组探究


问题
3
：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积
问题转化为直边图形的面积问题？进而尽可能有规律地减小误差，
使
得直边图形的面积越来越 接近曲边梯形的面积？


学生活动：学生六人一组分组讨论．


设计意图：
通过问题
3
让学生有的放矢，
明确解决问 题的方向．
通
过分组探究发挥学生的主观能动性．
由于在一般的曲边梯形中不能构造出正多边形这么规则的图形，所以不能简单地模仿割圆术的作法，
需要在理解割圆术思想的前提下 灵活地迁移和应用．

3.
汇报比较，形成方法


学生活动：同学代表汇报讨论结果．


问题
4
：< br>请比较不同方案的区别，
哪种方案既实现了
“以直代曲”
和“逐步逼近”，又更 便于实际操作？


设计意图：学生通过讨论、汇报等方式认识到各种不同方案 在实
际操作中的差别，
引导学生选择便于操作的方案，
培养学生化繁为简
的意 识．


（三）特例应用，细化操作


这一 阶段的主要任务是具体地应用前面讨论和比较得出的解决曲
边梯形面积的可行方案，
把思想转化 成具体可操作的步骤，
在具体操
作中体会思想的重要性．


首先给出具体问题：如何求由直线


，


和曲线


所围成的曲边梯形的


面积．针对这个具体问题，设计了以下几个问题：


问题
1
：为了逐步减小误差，需要对曲边梯形进行分割，具体怎
样分割？


问题
2
：对每个小曲边梯形如何以直代曲？


问题
3
：如何得到整个曲边梯形的近似值？


设计 意图：分割和近似代替的方案在前面一个阶段已经解决，问
题
1
—
3
主要是引导学生在具体问题中对方案进行细化操作，初步经
历分割、近似代替及求和的过程．


问题
4
：直边图形的面积和
*
越来越接近曲边梯形面积的准确值？
能否得到准确值？

1.
图形方式


用几何画板动态演示矩形不足近似和矩形过剩近似的 逼近过程，
让学生从图形上直观地感知：当


越来越大，分割越来越细时，两种方案面积的近似值越来越接近
准确值．

2.
数表方式


借助计算机计算两种方案的近似值，观察两个近似值 在现两个近
似值都越来越接近于一个常数．


越来越大时的变化趋势，发


无限增大时，近似值会无限


问题
5
：从图形直观上和数值的变化趋势上，我们发现：当


接近于一个常数，这个常数就是曲边梯形面积的精确值．那我们
能不能直接从近 似值的代数表达式中直接得到这一结论呢？

3.
取极限的方式


学生比较容易接受的的变形：


，所以引导学生对两个近似值的代数式进行适当


，


，


进而发现两个近似值会无限接近这个常数．


设计意图：这是本节课 的难点之一，教学中先分别用图形、数表
两种方式呈现逐渐细分和无限逼近的过程，
再在此基础 上引出取极限
的方法，
使学生经历从直观到抽象的过程，
实现从感性到理性的过渡．< br>

问题
6
：我们用每一个小区间的左、右端点的函数值和作为 近似
值计算


面积，如果取任意又怎样？


处的函数值来计算小曲边梯形面积的近似值，情况


设计意图：借助 几何直观，引导学生发现曲边梯形的面积与近似
代替在每个小区间上选取的点无关．


问题
7
：回顾求曲边梯形面积的整个过程，你能概括出求这个曲
边梯形面积的方法吗？


设计意图：引导学生回顾求曲边梯形面积的过程， 并概括求曲边
梯形面积的方法、
步骤以及其中蕴含的数学思想，
初步形成解决曲边梯形面积问题的一般方法。


（四）一般推广，提炼本质


这一阶段的主要任务是让学生将求特殊曲边梯形面积的方法和步
骤推广到求一般 的曲边梯形面积上，
发现这一类问题的共性，
所以这
一阶段分两个环节进行教学．
1.
一般推广，
强化方法

问题：
对于一般的由直线的面积应该如何
来求？


设计意图：引导学生发现一般的曲边梯形和由直线


，


和曲线


所围


，


，


和曲线


所围成的曲边梯形


成的特殊的曲边梯形相比，只是 区间和函数不同，解决问题的方
法和步骤是完全相同的．
通过由特殊到一般的推广，
让 学生再一次强
化求曲边梯形面积的方法步骤；
通过由具体到抽象的提升，
让学生再一次加深对求曲边梯形面积方法及其中蕴含的思想的理解，
进而发现
一类问题的共性．
2.
归纳共性，提炼本质


回顾本节课，< br>我们发现对一般的曲边梯形面积问题都可以应用
“以
直代曲，无限逼近”的思想，通过“ 分割——近似代替——求和——
取极限”四个步骤来解决．我们还发现一类


问题最终都归结为一个特殊结构的和式的极限，即其定义为一种
新的数学运算——定积分．

，在数学上我们将


通过这个环节的教学， 让学生体会数学概念的发生和发展过程，
同时激起对定积分学习的期待．

< br>总之，曲边梯形的面积这部分的教学，应使学生初步体会定积分
的基本思想是从有限中认识无限、
从近似中认识精确、
从量变中认识

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