草在结它的籽-感谢你给我机会上场

2021年2月2日发(作者：市场营销是学什么)































高等数学上册重要知识点

第一章

函数与极限

一
.
函数的概念


1
两个无穷小的比较

设
lim
f
(
x
)< br>
0
,
lim
g
(
x
)

0
且
lim
f
(
x
)

l

g
(
x
)
（
1
）
l
= 0
，称
f
(
x
)
是比
g
(
x< br>)
高阶的无穷小，记以
f (x)

= 0[
g
(< br>x
)
]
，称
g(x)
是比
f(x)
低阶的无 穷小。

（
2
）
l
≠
0
，称
f
(
x
)
与
g
(
x)
是同阶无穷小。

（
3
）
l
= 1
，称
f
(
x
)
与
g
(
x)
是等价无穷小，记以
f
(
x
) ~
g
(
x
)

2
常见的等价无穷小

当
x
→
0
时

sin
x
~
x
，
tan
x
~
x
，
arcsin
x

~
x
，
arccos
x

~
x
1
−
cos
x
~
x
^
2
/
2

，

e
x
−
1 ~
x
，
ln(
1

x
)

~
x
，
(
1

x
)


1
~

x

二

求极限的方法

1
．两个准则

准则
1
．单调有界数列极限一定存在

准则
2
．< br>（
夹逼定理
）设
g
(
x
)
≤

f
(
x
)
≤

h
(
x
)
放缩求极限

若
limg
(
x
)

A
,
lim
h
(
x
)

A
，则
lim
f
(
x)

A

2
．两个重要公式

sin
x
公式
1
lim

1

x

0
x
公式
2
lim
(
1
x
)
1
/
x

e

x

0
3
．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

4
．★用泰勒公式

当
x

0
时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
< br>x
2
x
3
x
n
e

1
< br>x



...


o
(
x
n
)
2
!
3
!
n
!

x
3
x
5
x
2
n

1
n
sin
x

x



...

(

1
)

o
(
x
2
n

1
)
3
!
5
!
(
2
n

1
)!
x
2
n
x
2
x
4
n
x
cos
x

1



...

(

1
)

o
(
x
2
n
)

2
!
4
!
2
n
!

页脚

















































n
x
2
x
3
n

1
x
ln(
1

x
)

x


...

(< br>
1
)

o
(
x
n
)
< br>2
3
n
(
1

x
)

< br>1


x


(


1< br>)
2
!
x
2

...


(


1
)...(


(
n

1
))
n
!
x
n

o
(
x
n
)

2
n

1
x
3
x
5
n

1
x
arctan
x

x



...

(

1
)
o
(
x
2
n

1
)

3
5
2
n

1
5
．洛必达法则

定理
1
设函数
f
(
x
)
、
F
(
x
)
满足下列条件：

（
1
）
lim
f
(
x
)

0
，
lim
F
(
x
)

0
；

x

x
0
x

x
0
（
2
）
f
(
x
)
与
F
(
x
)
在
x
0
的某一去心邻域可导，且
F

(
x
)

0
；

f

(
x
)
f
(
x
)
f

(
x
)
（
3
）
lim
存在（或为无穷大）
，则

lim

lim< br>x

x
0
F

(
x
)
x< br>
x
0
F
(
x
)
x

x< br>0
F

(
x
)
f

(
x< br>)
f
(
x
)
f

(
x
)< br>这个定理说明：当
lim
存在时，
lim
也存在且等于
lim
；当
x

x
0
F

(
x
)
x

x
0
F
(
x
)
x

x
0
F

(
x
)
f

(
x
)
f
(
x
)
为无穷大时，
lim也是无穷大．

lim
x

x
0
F

(
x
)
x

x
0
F
(
x
)
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值
的方法称为
洛必达（
L

H
ospital
）法则
.

e
x

1
例
1
计算极限
lim
.
x

0
x
0
解

该极限属于“
”型不定式，于是由洛必达法则，得

0
e
x

1
e
x
lim

lim

1< br>.
x

0
x

0
1
x
s in
ax
例
2
计算极限
lim
．

x

0
sin
bx
0
解

该极限属于“
”型不定式，于是由洛必达法则，得

0
sin
ax
a
cos
ax
a
lim

lim

．

x

0
sin
bx
x
0
b
cos
bx
b
注

若
f

(
x
),
g

(
x
)
仍满足定 理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即

f
(
x
)
f< br>
(
x
)
f


(
x
)< br>lim

lim

lim

x

a
g
(
x
)
x

a
g

(
x
)
x

a
g


(
x
)

二、

型未定式


定理
2

设函数
f
(
x
)< br>、
F
(
x
)
满足下列条件：

（
1
）
lim
f
(
x
)


，
lim
F
(
x
)


；

x< br>
x
0
x

x
0
（
2
）< br>f
(
x
)
与
F
(
x
)
在< br>x
0
的某一去心邻域可导，且
F

(
x
)< br>
0
；

f

(
x
)
f< br>(
x
)
f

(
x
)
（
3< br>）
lim
存在（或为无穷大）
，则

lim

lim
x

x
0
F

(
x
)
x

x
0
F
(
x
)
x

x
0
F

(
x
)

页脚



















































注：上述关于
x

x
0
时未定式型的洛必达法则，对于
x


时未定式
型


同样适用．

x
n
例
3
计算极限
lim< br>x
(
n

0)
．

x

e

解


所求问题是
型未定式，连续
n
次施行洛必达法则，有

< br>x
n
nx
n

1
n
(
n

1)
x
n

2
n
!
lim
x< br>
lim
x

lim


lim
x

0
．

x
x

e
x

x

e
x

e
e
使用洛 必达法则时必须注意以下几点：

（
1
）洛必达法则只能适用于“
” 和“
先化简变形成“
”或“
0
0
0
0

” 型的未定式，其它的未定式须


”型才能运用该法则；


（
2
）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；

（< br>3
）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不
能断定原极限不 存在．

7
．利用导数定义求极限

f
(
x< br>0


x
)

f
(
x
0< br>)

f
'
(
x
0
)
(
如果 存在）


x

0

x
8
．利用 定积分定义求极限

基本公式
lim
1
n
k

基本格式
lim

f
(
)


f
(
x
)
dx
（如果存在）

n


n
n
k

1
0
1
三．函数的间断点的分 类

函数的间断点分为两类：

（
1
）第一类间断点

设
x
0

是函数
y
=
f
(
x
)
的间断点。如果
f
(
x
)
在间断点
x
0
处的左、右极限都存在，
则称
x
0
是
f
(
x
)
的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（
2
）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类 间断点。
常见的第二类间断点有无
穷间断点和振荡间断点。


四．闭区间上连续函数的性质


在闭区间
[
a
,
b
]
上连续的函数
f
(
x
)
，有以下几个基本性质。这些性质以后都
要用到。

定理
1
．
（有界定理）如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续，则
f < br>(
x
)
必在
[
a
,
b
]
上 有界。

定理
2
．
（最大值和最小值定理）如果函数
f < br>(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续，则在这个
区间上一定存在最大值
M
和最小值
m
。


页脚

















































定理
3
．
（介值定理）如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]上连续，且其最大值和最小值
分别为
M
和
m
，
则对于介于
m
和
M
之间的任何实数
c
，
在
[
a
,
b
]
上至少存在一个ξ

，
使得
f
(
ξ
) =
c
推论：
如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[< br>a
,
b
]
上连续，
且
f
(
a
)
与
f
(
b
)
异号，则在
(
a
,
b
)
至少存在一个点ξ

，使得
f
(
ξ
) = 0
这个推论也称为零点定理


第二章

导数与微分

1.
复合函数运算法则

设
y
=
f
(
u
)
，
u
=
ϕ
(
x
)
，如果
ϕ
(
x
)
在
x
处可导，
f
(
u
)
在对应点
u
处可导，则
dy
dy
du
复合函数y
=
f
[
ϕ
(
x
)]
在x
处可导，且有


f
'
(

(x
))

'
(
x
)

dx
d u
dx
对应地
dy

f
'
(
u
)
du

f
'
(

(
x
))

'
(
x
)
dx
，由于公式
dy
f
'
(
u
)
du
不管
u
是自变量或
中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。


2.
由参数方程确定函数的运算法则

设
x
=
ϕ

(
t
)
，
y
=

(
t
)
确定函数
y
=
y
(
x
)
，其中

'
(
t
),
'
(
t
)
存在，且

'
(
t
)
≠
0
，则
dy

'
(
t
)


dx

'
(
t
)
二阶导数

dy
dy
]
d
[
]
d
y
dx

dx
dt


'
'
(
t
)
< br>'
(
t
)


'
(
t
)< br>
'
'
(
t
)


dx
2
dx
dt
dx

'
(
t
)^
3< br>2
d
[
3.
反函数求导法则

设
y
=
f
(
x
)
的反函数
x
=
g
(
y
)
，两者皆可导，且
f
′
(
x
)
≠
0
则
g
'(
y
)

1
1

(
f
'(
x
)

0
)

f
'
(x
)
f
'
(
g
(
y
))
4
隐函数运算法则（可以按照复合函数理解）

设
y
=
y
(
x
)
是由方程
F
(
x
,
y
) = 0
所确定，求
y
′的方法如下：

把
F
(
x
,
y
)
=
0
两边的各项对
x
求导，把
y
看作中间变量，用复合函数求导公式计
算，然后再解出
y
′

的表达式（允许出现
y
变量）


5
对数求导法则

（指数类型

如
y

x
sin
x
）

先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数
y
′。

对数求导 法主要用于：
①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数
（
注意
定义域
P106
例
6
）

关于幂指函数
y
= [
f
(
x
)]
g
(
x
)
常用的一种方法
,
y
=
e
g
(
x)
ln
f
(
x
)
这样就可以直接

页脚

















































用复合函数运算法则进行。


6
可微与可导的关系

f
(
x
)
在
x
0
处可微
⇔

f
(
x
)
在
x
0

处可导。


7
求
n
阶导数（
n
≥
2
，正整数）

先求出

y
′
,
y
′′
,
……
,
总结 出规律性，然后写出
y
(
n
)
，最后用归纳法证明。
有一些 常用的初等函数的
n
阶导数公式

（
1
）
y

e
x
,
y
(
n
)
e
x

（
2
）

y

ax
,
y
(
n
)

a
x
(ln
a
)
n

（
3
）


y

sin
x
,
y
(
n
)

sin(
x

（
4
）

y

c os
x
,
y
(
n
)
n

)

2
n


cos(
x

)

2
(5)
y

ln
x
,
y
(< br>n
)

(

1
)
n

1< br>(
n

1
)!
x

n









页脚

















































第三章

微分中值定理与导数应用

一

罗尔定理

设函数

f
(
x
)
满足

（< br>1
）在闭区间
[
a
,
b
]
上连续；
（
2
）在开区间
(
a
,
b
)
可导；
（
3
）

f
(
a
) =
f
(
b
)
则存在ξ

∈
(
a
,
b
)
，使得
f
′
(
ξ
) = 0

二

★
拉格朗日中值定理（证明不等式
P134 9
、
10
）

设函数

f
(
x
)
满足（
1
）在闭区间
[
a
,
b
]
上连续；
（
2
）在开区间
(
a
,
b)
可导；

f
(
b
)

f
(
a
)
则存在ξ

∈
(
a
,
b)
，使得

f
'
(

)

b

a
推论
1
．若
f
(
x)
在
(
a
,
b
)
可导，且
f
′
(
x
)
≡
0
，则
f
(< br>x
)
在
(
a
,
b
)
为常数。

推论
2
．若
f
(
x
)
，

g
(
x
)
在
(
a
,
b
)
皆可导，且
f
′
(
x
)
≡

g
′
(
x
)
，则在
(
a
,
b
)
f
(
x
) =
g
(
x
)+
c
，其中
c
为一个常数。

三

柯西中值定理

设函数
f
(
x
)
和g
(
x
)
满足：
（
1
）在闭区间
[< br>a
,
b
]
上皆连续；
（
2
）在开区间
(
a
,
b
)
皆
可导；
且
g
′< br>(
x
)
≠
0
则存在
ξ

∈(
a
,
b
)
使得
f
(
b
)< br>
f
(
a
)
f
'
(

)< br>
(
a



b
)

g< br>(
b
)

g
(
a
)
g
'< br>(

)
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形
g< br>(
x
) =
x
时，柯西
中值定理就是拉格朗日中值定理。
）


四

★泰勒公式（①

估值

②

求极限（麦克劳林）
P145 T10
）

定理
1
．
（皮亚诺余项的
n
阶泰勒公式）

设
f
(
x
)
在
0
x
处有
n
阶导数，则有公式

，
称为皮亚诺余项

对常用的初等函数如
e
x
,sin
x
,cos
x
,ln(1+
x
)
和
(
1

x
)


（α

为实常数）等的
n
阶泰勒公式都要熟记。

定理
2
（拉格朗日余项的
n
阶泰勒公式）

设
f
(
x
)
在包含
0
x
的区间
(
a
,
b
)
有
n
+1< br>阶导数，在
[
a
,
b
]
上有
n
阶连 续导数，则对
x
∈
[
a
,
b
]
，
有公式

，

,
称为拉格朗日余项

上面展开式称为以
0
x
为中心的
n
阶泰勒公式。
当
x
0
=0
时，
也称为
n
阶
麦克劳林
公式。


页脚


















































导数的应用

一

基本知识

设函数
f
(
x
)
在
x
0
处可导 ，且
x
0
为
f
(
x
)
的一个极值点，则
f
'
(
x
0
)

0
。

我们称
x
满足
f
'
(
x
0
)< br>
0
的
x
0

称
为
f
(< br>x
)
的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，
反之不然。
极值点只能是 驻点或不可导点，
所以只要从这两种点中进一步去判断。


极值点判断方法

①

第一充分条件



f
(
x
)
在
x
0
的邻域可导， 且
f

(
x
0
)

0
，则①若当
x

x
0
时
,
f

(
x
)

0
，当
x

x
0
时，
f

(
x
)

0
，则
x
0为极大值点；②若当
x

x
0
时，
f

(
x
)

0
，当
x

x
0时，
f

(
x
)

0
，
则< br>x
0
为极小值点；
③若在
x
0
的两侧
f
(
x
)
不变号，
则
x
0
不是极值点
.


②

第二充分条件

f
(
x
)
在
x
0
处二阶可导，
且
f

(
x
0
)

0
，
f


(
x
0
)

0
，
则①若
f


(
x
0
)

0
，
则
x
0
为极大值点；②若
f


(
x
0< br>)

0
，则
x
0
为极小值点
.


二

凹凸性与拐点

1
．凹凸的定义

设
f
(
x
)
在区间
I
上连续，若对任意不同的两点
1 2
x
,
x
，恒有


则称
f
(
x
)
在
I
上是凸（凹）的。

在几何上，曲线
y
=
f
(
x
)
上任意两点的割线在曲线下（上）面，则
y
=
f
(
x
)
是凸
（凹）
的。
如果曲线
y
=
f
(
x
)
有切线的话，
每一点的切线都在曲 线之上
（下）
则
y
=
f
(
x
)
是凸（凹）的。

2
拐点的定义

曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。

3
凹凸性的判别和拐点的求法

设函数
f
(
x
)< br>在
(
a
,
b
)
具有二阶导数
f
'< br>'
(
x
)
，

如果在
(
a
,
b
)
的每一点
x
，恒有
f
'
'
(
x
)
> 0
，则曲线
y
=
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
是凹的；

页脚

















































如果在
(
a
,
b
)
的每一点
x
，恒有
f
'
'
(
x
)
< 0
，则曲线
y
=
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
是凸的。

求曲线
y
=
f
(
x
)
的拐点的方法步骤是：

第一步：求出二阶导数
f
'
'
(
x
)
；

第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点
x
1
,
x2
,...
x
k

；

第三步：对于以上的连 续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该
点就是拐点的横坐标；

第四步：求出拐点的纵坐标。

四

渐近线的求法







五

曲率



页脚






















































第四章

不定积分

一基本积分表：



tgxdx

ln
cos
x

C

ctgxd x

ln
sin
x

C

sec
xdx

ln
sec
x

tgx

C
csc
xdx

ln
csc
x

c tgx

C
dx
1
x

arctg
C

a
2

x
2
a
a
dx< br>1
x

a

ln

x
2

a
2
2
a
x

a

C
d x
1
a

x


a
2

x
2
2
a
ln
a

x

C
dx
x

arcsin

C

a
2
x
2
a

2
n
dx
2
< br>sec

cos
2
x

xdx

t gx

C
dx
2

csc

sin
2
x

xdx


ctgx

C

sec
x

tgx
dx

sec
x< br>
C

csc
x

ctgxdx


csc
x

C
a
x

a
dx< br>
ln
a

C
x

shxdx
< br>chx

C

chxdx

shx

C

dx
x
2

a
2

ln(
x

x
2

a
2
)

C

2
I
n


sin
xdx
< br>
cos
n
xdx

0
0
n
1
I
n

2
n



x2
a
2
2
x

a
dx

x< br>
a

ln(
x

x
2

a
2
)

C
2
2
x
2
a
2
2
2
2
x

a
dx

x

a

ln
x

x
2

a2

C
2
2
x
2
a
2
x2
2
2
a

x
dx

a
< br>x

arcsin

C
2
2
a
2< br>2

页脚

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